幾何最值的計算是考試中的一個難點，解決此類計算一般可借助以下定理：
（1）利用軸對稱轉(zhuǎn)化為：（將兩點之間的折線轉(zhuǎn)化為兩點之間的直線段）
兩點之間的距離——兩點之間，線段最短；
（2）利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；
（3）利用一點到直線的距離：
垂線段最短——將點到直線的折線段轉(zhuǎn)化為點到直線的垂線段；
（4）利用特殊角度（30°，45°，60°）將成倍數(shù)的線段轉(zhuǎn)化為首尾相連的折線段，在轉(zhuǎn)化為兩點之間的直線段最短；
（5）找臨界的特殊情況，確定最大值和最小值 .
因此，在以上定理的基礎(chǔ)之上，關(guān)鍵在于特征的轉(zhuǎn)換，減少變量，從而快速高效率解題 .
該類問題的幾種常見模型：
一、兩點之間線段最短
【例題1】如圖，有 A , B , C , D 四個村莊，現(xiàn)準備打一口井，使得水井到四個村莊的距離之和最短，請確定水井的位置 .
【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)：兩點之間，線段距離最短；結(jié)合題意，要使它與四個村莊的距離之和最小，
就要使它在 AD 與 BC 的交點處 .
【解析】如圖所示，連接 AD , BC，它們的交點是 E，點 E 就是水井的位置，這一點到 A , B , C , D 四
點的距離之和最小 .
【解題策略】如果不在 E 點，假設在 T 點，那么根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可得到：
AT + DT > AD , 且 CT + BT > CB , 于是 AT + DT + CT + BT > AD + CB .
所以水井所在位置只能在 AD 與 CB 的交點處，才能使其到四個村莊的距離之和最小 .
二、點到直線的距離中垂線段最短
【例題2】如圖，在 △ABC 中，點 P 為邊 AC 上一動點，若 AB = AC = 5 , BC = 6 ,
則 AP + BP + CP 的最小值是多??？
【分析】若 AP + BP + CP 最小，就是說當 BP 最小時，AP + BP + CP 才最小，
因為無論點 P 在 AC 上的哪一點，AP + CP 都等于 AC .
那么就需要從 B 向 AC 作垂線段，交 AC 于點 P .
先設 AP = x , 再利用勾股定理可得關(guān)于 x 的方程，解即可求出 x，
在 Rt△ABP 中，利用勾股定理可求出 BP，那么 AP + BP + CP 的最小值即可求解 .
【解析】過點 B 作 BP⊥AC，垂足為 P，設 AP = x , 則 CP = 5 - x .
【解題策略】將一些定長的線段剔除掉，專注于去考慮變化的線段的取值，
轉(zhuǎn)化為定點到定直線的距離，再利用 “點到直線的距離中，垂線段最短” 來求解 .
三、利用軸對稱圖形
【例題3】如圖，在矩形 ABCD 中，AB = 5 , AD = 3 , 動點 P 滿足 S△PAB = 1/3 S矩形 ABCD，
則點 P 到 A 、B 兩點距離之和 PA + PB 的最小值是多少？
【分析】首先由 S△PAB = 1/3 S矩形 ABCD，得出動點 P 在與 AB 平行且與 AB 的距離是 2 的直線 l
上，作 A 關(guān)于直線 l 的對稱點 E , 連接 AE 、BE，則 BE 就是所求的最短距離.
然后在直角三角形 ABE 中，由勾股定理求得 BE 的值，即 PA + PB 的最小值 .
【解析】設 △ABP 中 AB 邊上的高是 h ,
∵ S△PAB = 1/3 S矩形 ABCD，
∴ 1/2 AB ? h = 1/3 AB ? BC ,
∴ h = 2/3 BC = 2/3 × 3 = 2 .
∴ 動點 P 在與 AB 平行且與 AB 的距離是 2 的直線 l 上，如圖，作 A 關(guān)于直線 l 的對稱點 E ,
連接 AE 、BE，則 BE 就是所求的最短距離.
在 Rt△ABE 中，
∵ AB = 5 , AE = 2 + 2 = 4 ,
即 PA + PB 的最小值是 √41 .
【解題策略】本題考查了軸對稱——最短路線問題，三角形的面積，矩形的性質(zhì)，勾股定理，
兩點之間線段最短的性質(zhì)，得出動點 P 所在的位置是解題的關(guān)鍵 .
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