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模型一　垂線段最短

如圖，已知直線 l 外一定點(diǎn) A 和直線 l 上一動(dòng)點(diǎn) B，求 A、B 之間距離的最小值 .

通常過點(diǎn) A 作直線 l 的垂線 AB，利用垂線段最短解決問題，即連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．

【典型例題】

1. 如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 是 ∠BAC 的平分線，點(diǎn) E 是 AB 上任意一點(diǎn)．

若 AD＝5，AC＝4，則 DE 的最小值為 (　　)

A. 3 　　　B. 4 　　　C. 5 　　　D. 6

答案：A .

當(dāng) DE⊥AB 時(shí)，DE 最小，此時(shí) DE = CD，在 Rt△ACD 中，根據(jù)勾股定理易得 CD = 3 .

2. 如圖，在 △ABC 中，AB＝AC＝5，BC 邊上高 AD＝4，若點(diǎn) P 在邊 AC 上 ( 不含端點(diǎn) ) 移動(dòng)，

則 BP 長(zhǎng)的最小值為 ________．

答案：24/5 .

如圖，延長(zhǎng) CA，過點(diǎn) B 作 BP'⊥CA 于點(diǎn) P'，此時(shí) BP' 的長(zhǎng)最小 .

在等腰 △ABC 中根據(jù) “三線合一” 的性質(zhì)可知 BD = CD = 3 ,

S△ABC = 1/2 × BP' × AC = 1/2 × AD × BC，可得 BP' = 24/5 . （等積求距）

3. 如圖，點(diǎn) A 坐標(biāo)為 (－2，0)，點(diǎn) B 在直線 y＝x－4 上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段 AB 最短時(shí)，點(diǎn) B 坐標(biāo)為________．

答案：（1，-3）.

如圖，當(dāng) AB'⊥直線 y＝x－4 時(shí)，此時(shí)線段 AB 最短 .

設(shè)直線 AB' 的解析式為 y = kx + b （k ≠ 0）,

∵ AB'⊥BB'，KBB' = 1，（KBB' 為直線 y＝x－4 的斜率 ）

∴ KAB' × KBB' = - 1 ，（兩條直線垂直斜率乘積為 -1）

∴ KAB' = - 1 ， 即 k = -1 ,

∴ 直線 AB' 的解析式為 y = -x + b ,

∵ 點(diǎn) A（-2,0）在直線 AB' 上，

∴ 0 = 2 + b , 解得 b = -2 ,

∴ 直線 AB' 的解析式為 y = -x - 2 .

聯(lián)立直線 y = x - 4 , 解方程可得 B'（1，-3）.

模型二　胡不歸問題

“胡不歸” 問題即點(diǎn) P 在直線 l 上運(yùn)動(dòng)時(shí)的 “ PA＋k·PB ( 0 < k < 1 ) ” 型最值問題 .

問題：

如圖 ①，已知 sin∠MBN＝k，點(diǎn) P 為 ∠MBN 其中一邊 BM 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

點(diǎn) A 在射線 BM、BN 的同側(cè)，連接 AP，則當(dāng) “ PA＋k·PB ” 的值最小時(shí)，點(diǎn) P 的位置如何確定？

解題思路：

本題的關(guān)鍵在于如何確定 “ k·PB ” 的大小 .

過點(diǎn) P 作 PQ⊥BN 于點(diǎn) Q，則 k·PB＝PB·sin∠MBN＝PQ，

∴ 可將求 “ PA＋k·PB ” 的最小值轉(zhuǎn)化為求 “ PA＋PQ ” 的最小值 ( 如圖 ② )，

∴ 當(dāng) A、Q、P 三點(diǎn)共線時(shí)，PA＋PQ 的值最小 ( 如圖 ③ )，此時(shí) AQ⊥BN .

【典型例題】

1. 如圖，四邊形 ABCD 是菱形，AB＝6，且 ∠ABC＝60°，

M 為對(duì)角線 BD ( 不與點(diǎn) B 重合 ) 上任意一點(diǎn)，則 AM＋1/2 BM 的最小值為________．

答案：3√3 .

如圖，過 A 點(diǎn)作 AE⊥BC 于點(diǎn) E，交 AB 于點(diǎn) M' ，則 AM＋1/2 BM 的最小值為 AE .

在 Rt△AEB 中，AB = 6，∠ABC = 60°，

∴ AE = AB ? sin∠ABC = 6 × √3 / 2 = 3√3 .

拓展應(yīng)用：

對(duì)于求“ m·PA＋k·PB” 的最值，若 m > k ≥ 1，可轉(zhuǎn)化為 “ m ( PA + k/m · PB ) ” 的最值 , 此時(shí) 0< k/m < 1.

(1) 本題若要求 “ 2AM＋BM ” 的最小值，你會(huì)嗎？請(qǐng)求解．

答案：6√3 .

(2) 本題若要求 “AM＋BM＋CM” 的最小值，你會(huì)嗎？請(qǐng)求解．

答案：6√3 .

AM＋BM＋CM 最小時(shí)，此時(shí)點(diǎn) M 為 △ABC 的 “費(fèi)馬點(diǎn)”，

所以 AM＋BM＋CM = BD = 2 × √3 / 2 × 6 = 6√3 .

2. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) y＝ax2 + bx＋c 的圖象經(jīng)過點(diǎn) A(－1，0)、B(0，－√3 )、

C(2，0)，其對(duì)稱軸與 x 軸交于點(diǎn) D .

若 P 為 y 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 PD，則 1/2 PB＋PD 的最小值為_______．

答案：3√3 / 4 .

如圖

1/2 PB＋PD = PD + 1/2 PB 的最小值為 DE，則 ∠PBE = 30°，可解得 DE = 3√3 / 4 .