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二次函數(shù)圖象的平移變換就是將二次函數(shù)的圖象向某個(gè)方向平行移動(dòng)。根據(jù)平移變換確定函數(shù)關(guān)系式問(wèn)題是一種重要的題型，在中考試題中時(shí)常出現(xiàn)，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是先把二次函數(shù)的關(guān)系式化為頂點(diǎn)式 y = a(x-h)^²+k (a≠0) 的形式，然后根據(jù)平移的特征確定 a、h、k 的變與不變。

平移拋物線 y=a(x-h)^²+k，不變的是決定拋物線的形狀和開(kāi)口的a，變化的是決定拋物線位置的頂點(diǎn)坐標(biāo)（h,k）。

一、上下平移

當(dāng)拋物線 y=a(x-h)^²+k 向上平移 m（m>0）個(gè)單位后,

所得的拋物線的關(guān)系式為 y=a(x-h)^²+k+m ;

當(dāng)拋物線 y=a(x-h)^²+k 向下平移 m ( m>0 ) 個(gè)單位后,

所得的拋物線的關(guān)系式為 y=a(x-h)^²+k-m 。

二、左右平移

當(dāng)拋物線 y=a(x-h)^²+k 向左平移 n (n>0) 個(gè)單位后 ,

所得的拋物線的關(guān)系式為 y= a(x-h+n)^²+k;

當(dāng)拋物線y=a(x-h)^²+k 向右平移 n (n>0) 個(gè)單位后,

所得拋物線的關(guān)系式為 y=a(x-h-n)^²+k 。

注：在具體的題目中可能包含兩種平移,需要靈活分析平移的特點(diǎn),根據(jù)平移的方式分步確定函數(shù)關(guān)系式。

三、典型例題

例題1、二次函數(shù) y=x^² 的圖象向右平移 3 個(gè)單位，得到新的圖象的函數(shù)表達(dá)式是( D )

例題2、將拋物 y = -(x-1)^2 向左平移 1個(gè)單位后，得到的拋物線的關(guān)系式是 ．

分析:

所給的拋物線的關(guān)系式已經(jīng)是頂點(diǎn)式的形式,所以只要根據(jù)平移的平移規(guī)律代入計(jì)算即可。

解:

因?yàn)閽佄锞€y=-(x-1)^²向作平移1個(gè)單位,根據(jù)上面的平移規(guī)律可得平移后所得函數(shù)的關(guān)系式為y=-(x-1+1)^² , 即 y=x^² 。

例3、將拋物線 y=x^² 向左平移 4 個(gè)單位后，再向下平移 2 個(gè)單位，則此時(shí)拋物線的關(guān)系式 是 ．

分析:

本題的平移包括兩次平移,可以根據(jù)平移的先后順序以及平移的變化規(guī)律,逐步確定平移后的函數(shù)關(guān)系式。

解:

拋物線 y=x^² 向左平移 4 個(gè)單位后得到的拋物線的關(guān)系式為 y=(x+4)^²;

將拋物線 y=(x+4)^² 向下平移 2 個(gè)單位后,所得拋物線的關(guān)系式為 y=(x+4)^²-2 。

也可以寫成 y=x^²+8x+14。

例4、已知 y = 2x^2 的圖象是拋物線，若拋物線不動(dòng)，把 x 軸，y 軸分別向上、向右平移 2個(gè)單位，那么在新坐標(biāo)系下拋物線的關(guān)系式是（B ）

分析:

本題是一道逆向思維問(wèn)題,把 x 軸，y 軸分別向上、向右平移 2 個(gè)單位,可以理解為把拋物線先向左平移 2 個(gè)單位,然后再向下平移 2 個(gè)單位。

由此比較容易確定平移后的拋物線的關(guān)系式。

解:拋物線y=2x^² 向左平移 2 個(gè)單位后所得的拋物線的關(guān)系式為 y=2(x+2)^²,

把 y=2(x+2)^² 向下平移 2 個(gè)單位后的關(guān)系式為 y=2(x+2)^²-2 。

例題5、將拋物線

先向左平移 2 個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移 5 個(gè)單位長(zhǎng)度,所得拋物線關(guān)系式為_(kāi)______。

分析:

本題所告訴的函數(shù)關(guān)系式不是頂點(diǎn)式的形式,所以應(yīng)先將函數(shù)關(guān)系式化為頂點(diǎn)式的形式,然后再根據(jù)平移規(guī)律確定平移后所得的函數(shù)關(guān)系式。

解:

所以向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后的所得的函數(shù)關(guān)系式應(yīng)為