【分析方法導(dǎo)引】
當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)角平分線和平行線的組合關(guān)系式，就可以想到要應(yīng)用等腰三角形的基本圖形進(jìn)行證明。然后就應(yīng)用將角的邊的平行線與角平分線及角的另一邊相交或?qū)⒔瞧椒志€與角的一邊及另一邊的反響延長(zhǎng)線相交的方法找到等腰三角形的基本圖形。再應(yīng)用角平分線、平行線、等腰三角形中任何另兩個(gè)性質(zhì)成立就可以推得第三個(gè)性質(zhì)成立的方法來(lái)完成分析。
例11 如圖3-33，已知：平行四邊四ABCD中，AB>AD，∠A、∠D的角平分線相交于E,∠B、∠C的角平分線相交于F。求證：EF=AB-AD。
分析：本題的條件中出現(xiàn)了AE是∠A的角平分線，且四邊形ABCD是平行四邊形，DC∥AB，所以就是一個(gè)角平分線和平行線的組合問(wèn)題，這樣就可以想到要應(yīng)用等腰三角形的基本圖形進(jìn)行證明。由于DC∥AB出現(xiàn)的是一條邊AB的平行線，所以這條平行線應(yīng)與角的另一邊以及角平分線相交構(gòu)成等腰三角形，而現(xiàn)在的圖形中DC尚未與角平分線AE相交，所以應(yīng)首先將它們延長(zhǎng)到相交，于是延長(zhǎng)AE交DC于G（如圖3-34），這樣由∠BAG=∠DAG和DC∥AB、∠DGA=∠BAG，DA=DG。這樣要證明的結(jié)論就轉(zhuǎn)化為EF=AB-AD=DC-DG=GC（其中后兩個(gè)等號(hào)已成立）。
又因?yàn)樵谧C明了△DAG是等腰三角形以后，由于條件中還出現(xiàn)DE是∠D的角平分線，這樣就出現(xiàn)具有重要線段的等腰三角形的基本圖形（如圖3-35），應(yīng)用這個(gè)基本圖形的性質(zhì)可得E是AG的中點(diǎn)，EG=1/2AG。以上的分析是對(duì)于∠A、∠D這兩條角平分線的條件來(lái)進(jìn)行的，那么對(duì)于∠B、∠D這兩條角平分線來(lái)講也可以用同樣的方法來(lái)進(jìn)行分析，于是延長(zhǎng)CF交AB于H，可得AH=AB-BC=AB-AD=GC，F(xiàn)H=FC=1/2CH。
現(xiàn)由AH=GC和AH∥GC，可得四邊形AHCG是平行四邊形，GA∥CH，GA=GH，再由E、F分別是GA、CH的中點(diǎn)，EG=1/2AG=1/2CH=CF，可得四邊形EFGC也是平行四邊形，所以EF=GC就可以證明。
在上述分析過(guò)程中，如果在得到DA=DG和AE=EG=1/2AG后，考慮圖形中出現(xiàn)的AE和CF是位于平行四邊形ABCD中的中心對(duì)稱部分的兩條對(duì)應(yīng)線段，那就可以想到要應(yīng)用中心對(duì)稱型全等三角形來(lái)進(jìn)行證明，而根據(jù)平行四邊形中的中心對(duì)稱部分就可以找到這一對(duì)全等三角形是△ADE和△CBF（如圖3-36），在這兩個(gè)三角形中，應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)和已經(jīng)給出的四條角平分線的條件，可以得到AD=CB，∠DAE=∠BCF，∠EDA=∠FBC，所以這兩個(gè)三角形全等可以證明，那么AE就等于CF，就可得EG=FC。
由于現(xiàn)在的問(wèn)題是要證EF=GC，那么在四邊形EFCG中，就出現(xiàn)了兩組對(duì)邊相等，所以這個(gè)四邊形必定是平行四邊形，但要證明這個(gè)四邊形是平行四邊形時(shí)，EF=GC這個(gè)性質(zhì)是不能用的，所以只能證明EG和FC不但相等，而且平行。由于EC和FC可以看作是被DC所截，而且我們已經(jīng)證明∠DGE=∠DAE=∠BCF=∠DCF，所以EG∥FC，四邊形EFCG是平行四邊形，從而也就可以完成分析。
例12 如圖3-37，已知：平行四邊形ABCD中，AD=2AB，將AB向兩方分別延長(zhǎng)至E、F，使AE=AB=BF。求證CE⊥DF。
分析：本題條件中出現(xiàn)了BC=AD=2AB，且由AE=AB可得BE=2AB，所以就有BC=BE，這樣就出現(xiàn)了兩條具有公共端點(diǎn)的相等線段，它們就可以組成一個(gè)等腰三角形。又因?yàn)闂l件中給出四邊形ABCD是平行四邊形，CD∥BE，是等腰三角形一條腰的平行線，這樣就出現(xiàn)了等腰三角形與腰的平行線的組合關(guān)系，就必定出現(xiàn)了角的平分線。于是由BE=BC，可得∠E=∠BCE，由DC∥EB，可得∠DCE=∠E，從而就可得到∠BCE=∠DCE。
根據(jù)同樣的道理，由BF=AB，AF=2AB=AD和DC∥AF出發(fā)進(jìn)行分析，也可以得到∠ADF=∠CDF。
由條件AD∥BC，這一組平行線可以看作是被DC所截，那么∠ADC+∠DCB=180°，從而可推得∠DCE+∠CDF=90°，分析就可以完成（如圖3-38）。
在上述分析中，在得到了EC、FD分別是∠DCB和∠CDA的角平分線以后，由于AD∥BC，所以又出現(xiàn)了一次角平分線和平行線的組合關(guān)系，這樣也就必定可以再得到一個(gè)等腰三角形的基本圖形（如圖3-39）。由于DA∥CB可以看作是∠DCB的一條邊的平行線，所以它一定與角的另一邊以及角平分線相交構(gòu)成等腰三角形，這樣就可找到等腰三角形應(yīng)是△DHC，也就是由∠BCE=∠DCE和DA∥CB，∠DHC=∠BCE，可推得∠DHC=∠DCH，DH=DC。而在等腰△DHC中，出現(xiàn)了FD是頂角的角平分線，因此它必定和底邊垂直，分析也就可以完成。
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