循序漸進(jìn)學(xué)物理——物理教學(xué)中的必備數(shù)學(xué)知識(shí)——圓的知識(shí)更重要（磁偏轉(zhuǎn)、磁聚焦的徹底攻克）

欲防失聯(lián)，請(qǐng)關(guān)注、加星標(biāo)：

一、圓的定義與方程

在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫作圓。圓也是一種圓錐曲線（二次曲線），由平行于圓錐底面的平面截圓錐而得到。    

不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。圓心是三邊中垂線的交點(diǎn)，它到三個(gè)點(diǎn)的距離相等。

以點(diǎn)O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的參數(shù)方程是：

x=a+r·cosθ，y=b+r·sinθ，（其中θ為參數(shù)）。

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以寫為：

(x﹣a)²+(y﹣b)²=r²．

圓的一般方程為：

x²+y²+Dx+Ey+F=0 (D²+E²﹣4F>0)，

或表示為：(x+D/2)²+(y+E/2)²=(D²+E²﹣4F)/4。

圓心在極點(diǎn)O、半徑為r的圓O的極坐標(biāo)方程為：ρ=r。

圓心在極軸上但不在極點(diǎn)、半徑為r=a、圓心為C(a，0)的圓的極坐標(biāo)方程為：ρ=2acosθ，此時(shí)極點(diǎn)在圓上。其它情形更加復(fù)雜。

二、有關(guān)圓的一些基本概念

1、半徑：圓上一點(diǎn)與圓心的連線段。

2、直徑：連接圓上兩點(diǎn)且經(jīng)過圓心的線段。

3、弦：連接圓上兩點(diǎn)的線段（直徑也是弦，并且是最長的弦）。

4、?。簣A上兩點(diǎn)之間的曲線部分。半圓周也是弧。    

（1）劣?。盒∮诎雸A周的弧。

（2）優(yōu)?。捍笥诎雸A周的弧。

5、圓心角：以圓心為頂點(diǎn)，半徑為角的邊。也就是兩條半徑所夾的角。

6、圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

7、弦心距：圓心到弦的垂線段的長。

三、有關(guān)圓的一些重要性質(zhì)（跟物理關(guān)系較為密切的）

1、圓的對(duì)稱性。

(1)圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是直徑所在的直線。

(2)圓是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是圓心。

(3)圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。

2、垂徑定理。

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，且平分這條弦所對(duì)的兩條弧。

(2)推論：平分弦(非直徑)的直徑，垂直于弦且平分弦所對(duì)的兩條弧。平分弧的直徑，垂直平分弧所對(duì)的弦。

3、圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧度數(shù)的一半（即對(duì)應(yīng)圓心角的一半）。

圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。

(1)同弧所對(duì)的圓周角相等。

(2)直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角為直角，則它所對(duì)的弦是直徑。

4、夾在平行線間的兩條弧相等。

5、圓的周長、面積（半徑為r）    

圓的周長是直徑的π倍，即L=2πr。π≈3.14，叫做圓周率。

弧長公式：l=rθ，θ為對(duì)應(yīng)的圓心角。

圓的面積公式：S=πr²。

扇形的面積公式：S_扇=

6、兩相切圓的連心線（兩個(gè)圓心相連的直線）過切點(diǎn)。

7、如果兩圓相交，那么連接兩圓圓心的線段（直線也可）垂直平分公共弦。

8、弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半（即圓心角的一半）。

弦切角就是切線與弦所夾的角，弦切角等于對(duì)應(yīng)的圓周角。

9、經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)，并且垂直于這條半徑的直線，是這個(gè)圓的切線。    

（1）經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

（2）圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。

10、從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)與這點(diǎn)之間連線段的長叫這個(gè)點(diǎn)到圓的切線長。

從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線的長相等，這點(diǎn)與圓心的連線平分切線的夾角。

四、有關(guān)兩圓相交的一些重要結(jié)論

相交兩圓的連心線（經(jīng)過兩個(gè)圓心的直線），垂直平分兩圓的公共弦。

1、大小不等的兩圓相交

兩圓相交，連心線與公共弦垂直；根據(jù)對(duì)稱性知，∠O₁MO₂=∠O₁NO₂。

特別是，當(dāng)∠O₁MO₂=∠O₁NO₂=90°時(shí)，交點(diǎn)處的半徑分別與另一個(gè)圓相切：

2、兩個(gè)等大的圓相交

兩個(gè)等大的圓周相交，連心線與公共弦相互垂直且平分；四條半徑構(gòu)成一個(gè)菱形O₁MO₂N。

特別是，當(dāng)∠O₁MO₂=∠O₁NO₂=90°時(shí)，交點(diǎn)處的半徑分別與另一個(gè)圓相切，此時(shí)菱形O₁MO₂N成為正方形：

幾個(gè)等大的圓相交于同一點(diǎn)P時(shí)，圓O₁跟其它幾個(gè)圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別是Q₁、Q₂、Q₃……，其它幾個(gè)圓各自在交點(diǎn)Q₁、Q₂、Q₃……處的切線是相互平行的，并且這些切線都跟PO₁垂直：    

上邊的結(jié)論用下圖容易證明：

如下圖所示，兩個(gè)等大的圓O₁、O₂相交于P、Q兩點(diǎn)，由于四邊形PO₁QO₂是一個(gè)菱形，所以PO₁∥O₂Q，可知圓O₂在Q點(diǎn)處的切線跟O₂Q和PO₁都垂直。

有了上邊的結(jié)論，就容易理解帶電粒子在磁場(chǎng)中受洛侖茲力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的磁聚焦現(xiàn)象了：    

五、兩圓相切定理  

1、兩圓相切

相切的兩圓有定理：相切兩圓的連心線經(jīng)過切點(diǎn)。這說明兩圓的圓心和切點(diǎn)三點(diǎn)共線。

2、兩圓的公切線

兩圓的公切線定理：兩圓的兩條外公切線的長相等；兩圓的兩條內(nèi)公切線的長也相等。兩個(gè)圓如果有兩條外（內(nèi)）公切線，則它們的交點(diǎn)一定在連心線上。

有關(guān)帶電粒子射入磁場(chǎng)區(qū)域在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的相關(guān)例題，我們將另行推出。