P1第Ⅵ期問(wèn)題★★★★

數(shù)列滿足: . 求證：

本期問(wèn)題是關(guān)于數(shù)列的性質(zhì)和求和，難度4顆星，做出來(lái)的朋友可以在公眾號(hào)后臺(tái)發(fā)消息圖片過(guò)來(lái)，署上名字或代號(hào)哈！我會(huì)一一收集并發(fā)布到公眾號(hào)，若不方便請(qǐng)?zhí)貏e說(shuō)明~

P2上期問(wèn)題及解答

1題目

一袋中有 3 個(gè)白球和 4 個(gè)黑球。從中任取一球, 如果取出白球, 則把它放回袋中; 如果取出黑球, 則該黑球不再放回, 另補(bǔ)一個(gè)白球放到袋中。在重復(fù) 次這樣的操作后, 記袋中白球的個(gè)數(shù)為的概率為，設(shè) ，請(qǐng)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

2答案

分別令 , 則 , 依題意,

由(3)式可知數(shù)列是首項(xiàng)公比均為的等比數(shù)列, 易得 , 代入(2)式得， , 等式兩邊同除以可得,

即

利用累加法可得, , 化簡(jiǎn)得, , 代入(1)式可得,

等式兩邊同除以可得,

即

利用累加法可得,

則

3優(yōu)秀解答

4反思

此題如果直接通過(guò)前幾項(xiàng)去推導(dǎo)通項(xiàng)公式會(huì)有一定的難度，構(gòu)造中間數(shù)列層層遞進(jìn)得到最終數(shù)列的通項(xiàng)公式是一個(gè)不錯(cuò)的策略，當(dāng)然本題還考查了概率的知識(shí)和數(shù)學(xué)理解能力，綜合性較強(qiáng)，可以拿來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的思維~

有興趣的朋友可以做做下面的變式~

5變式

我去過(guò)很多地方，有些地方非常奇怪。其中就包括一個(gè)名叫奇想島的神秘地方。奇想島是一個(gè)與世隔絕的小島，位于地圖上很難找到的位置。當(dāng)我第一次聽(tīng)說(shuō)它的時(shí)候，我的好奇心就被激發(fā)了起來(lái)。據(jù)說(shuō)奇想島是世界上最奇特的地方之一，它充滿了種種超自然的現(xiàn)象。

3月的最后一天，我乘船抵達(dá)了島上的小港口，那里依然保留著古老漁村的風(fēng)貌。我在岸邊漫步，遇到了一位老人，他告訴我，島上的天氣變化非常奇妙。這里的天氣不受四季影響，只有雨天、陰天、晴天和雨陰晴混合四種天氣，每個(gè)月的天氣是獨(dú)立的，無(wú)論月底是什么天氣，下個(gè)月第一天的天氣一定是雨天或陰天，概率分別是七分之三和七分之四；從每月第一天開(kāi)始，如果今天是雨天，明天一定是雨天或陰天，概率分別是七分之三和七分之四；如果今天是陰天，明天一定是陰天或晴天，概率分別是七分之四和七分之三；如果今天是晴天，明天一定是晴天或雨陰晴混合天氣，概率分別是七分之五和七分之二；如果今天是雨陰晴混合天氣，明天一定也是雨陰晴混合天氣。我感覺(jué)難以置信，決定探索一下這里的天氣變化規(guī)律。

我嘗試計(jì)算4月每天雨天、陰天和晴天的發(fā)生概率，發(fā)現(xiàn)它們都可以構(gòu)成有規(guī)律的數(shù)列，如果是你，能求出這3個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？