「加一個(gè)公式，少一個(gè)讀者?！?/p>
——霍金
被封面騙進(jìn)來(lái)的各位一定很好奇我們這次到底要講什么？
相信我，如果你能夠耐心看完這篇文章，一定會(huì)發(fā)現(xiàn)自己真是一個(gè)非常有毅力的人~~~呵呵。
言歸正傳，今天我們要給大家科普一下機(jī)器學(xué)習(xí)、量化投資里面熱門(mén)的不得了的隱馬爾科夫模型（Hidden Markov Model，HMM）到底是個(gè)什么鬼。
你知道據(jù)說(shuō)馬上就要取代人工翻譯的機(jī)器翻譯很多都是用隱馬爾科夫模型做的嗎？
你知道很多APP軟件之所以能聽(tīng)懂你的話(huà)就是靠隱馬爾科夫模型做的語(yǔ)音識(shí)別嗎？
你知道身價(jià)長(zhǎng)年位列全球?qū)_基金經(jīng)理年度收益榜首位的吉姆·西蒙斯據(jù)說(shuō)也是靠隱馬爾可夫模型發(fā)家致富賺了17億（注意，美元）的嗎？
（什么？沒(méi)聽(tīng)說(shuō)過(guò)他？去看我們以前的文章！去，現(xiàn)在就去！）
吉姆·西蒙斯
不廢話(huà)了，我們開(kāi)始吧。
我們先來(lái)認(rèn)識(shí)一下什么叫馬爾科夫鏈。
（以下例子一切從簡(jiǎn)，不要問(wèn)我為什么假設(shè)的那么簡(jiǎn)單，因?yàn)榧僭O(shè)的復(fù)雜一點(diǎn)不但你看不懂連我都看不懂。。。）
首先我要解釋我為什么要放這張封面，原因是上周我去看了《血戰(zhàn)鋼鋸嶺》（這和隱馬爾科夫有毛關(guān)系？繼續(xù)看）。
然后我立刻對(duì)太平洋戰(zhàn)爭(zhēng)產(chǎn)生了濃厚的興趣（注意注意，我是說(shuō)熱愛(ài)歷史不是熱愛(ài)戰(zhàn)爭(zhēng)，大家三觀要正）。。。
于是我決定強(qiáng)行為硫磺島戰(zhàn)役刷一下存在感，接下來(lái)我們關(guān)于隱馬爾可夫模型的例子就以硫磺島為舞臺(tái)展開(kāi)上。
假設(shè)硫磺島上一共只有三種天氣情況：晴天，陰天，雨天。
并且第二天的天氣只和第一天的天氣有關(guān)。不明白？看圖:
這張圖的意思是如果今天是晴天，那么明天會(huì)有10%的可能下雨，50%的可能是陰天，40%的可能還是晴天。
但是如果今天陰天，那么明天就有40%的可能會(huì)下雨，30%的可能是還是陰天，然后30%的可能是變成晴天。
同樣，如果今天是雨天，那么明天的天氣到底是什么又是另外一種概率變化了。
綜上所述翻譯成人話(huà)還是那句話(huà)，明天的天氣由今天的天氣決定。
把這個(gè)天氣之間互相轉(zhuǎn)換的概率寫(xiě)成矩陣的樣子就是這樣。
我們把每天的天氣情況認(rèn)為是一種狀態(tài)（晴天狀態(tài)，陰天狀態(tài)，雨天狀態(tài)）的話(huà)，這個(gè)矩陣就稱(chēng)之為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，表示天氣之間的互相轉(zhuǎn)換。
比如我想預(yù)測(cè)連續(xù)三天內(nèi)的天氣狀態(tài)，就可以用這樣的圖表示：
這張圖說(shuō)明每一種狀態(tài)都是由前一天三種狀態(tài)轉(zhuǎn)換的疊加。比如請(qǐng)看第二天出現(xiàn)晴天的可能就是由第一天的
晴天——晴天（橙線(xiàn)）
陰天——晴天（橙線(xiàn)）
雨天——晴天（橙線(xiàn)）
三種概率的總和（“——”表示狀態(tài)的轉(zhuǎn)換）。
像這種當(dāng)前狀態(tài)只和前一個(gè)狀態(tài)相關(guān)的連續(xù)狀態(tài)轉(zhuǎn)換過(guò)程，就可以理解為一條馬爾科夫鏈了。
好，知道了天氣是如何變化的以后，我們繼續(xù)硫磺島上的故事。
戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期么，所以島上的美國(guó)大兵們每天只做兩件事：打仗或者休息
至于他們到底是打仗還是休息不是看心情，而是看天氣。
（喂，不要吐槽我的設(shè)定！你去看看電視里的抗日劇比我的設(shè)定腦殘多了。。。）
如果島上的天氣是晴天的話(huà)，太陽(yáng)比較好，美軍想曬曬太陽(yáng)，所以他們有40%的可能會(huì)去打仗，而60%的可能會(huì)選擇休息。
（再說(shuō)一遍，不要和我辯論歷史，這都是我編的例子好么。。。）
如果碰到陰天，難得沒(méi)有太陽(yáng)也沒(méi)有下雨，這可是打仗的好機(jī)會(huì)啊，所以他們有70%的可能會(huì)去打仗，而30%會(huì)休息。
如果遇到雨天，大家都懂，雨天總是讓人心情郁悶，干什么都無(wú)所謂，所以美軍要么會(huì)去打打日本人消磨時(shí)間，要么因?yàn)橛晏蠖x擇休息，兩者都是50%的可能。
上面這個(gè)天氣和行動(dòng)之間的概率關(guān)系也可以寫(xiě)成一個(gè)矩陣，我們叫它觀察矩陣：
而“休息”、“打仗”這兩個(gè)可以直接觀察到的行為我們稱(chēng)之為現(xiàn)象。
到這里，我們先來(lái)總結(jié)一下我們到底知道了些什么。
島上每天的天氣變化（晴天，陰天，雨天）是一條馬爾科夫鏈，天氣狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換由轉(zhuǎn)移概率矩陣決定。
每天的天氣決定了美軍的行動(dòng)（打仗，休息），不同天氣對(duì)行動(dòng)的影響由觀察矩陣決定。
好了，如果理解了這些基礎(chǔ)知識(shí)，我們就可以進(jìn)入正題了。
當(dāng)時(shí)日本軍隊(duì)中有個(gè)司令，連續(xù)窩在山洞里睡了三天。他醒過(guò)來(lái)后開(kāi)始檢查士兵人數(shù)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)少了很多人，于是他就問(wèn)身邊的秘書(shū)：這些人去哪里了？是不是逃走了啊？
秘書(shū)說(shuō)：不是，這些士兵被美國(guó)人打死了。
第一天，美國(guó)人在睡大覺(jué)，于是我們也睡大覺(jué)。
但是沒(méi)想到第二天，美國(guó)人竟然打過(guò)來(lái)了，而我們還在睡大覺(jué)，于是很多士兵就被打死了。
打完以后第三天，也許是打夠了，美國(guó)人繼續(xù)睡大覺(jué)。
司令聽(tīng)完后，并不相信秘書(shū)的話(huà)。
他想，秘書(shū)說(shuō)士兵在第二天被美國(guó)人打死了，但是說(shuō)不定這三天美國(guó)人都在睡大覺(jué)，而士兵其實(shí)是逃跑了。
于是學(xué)過(guò)馬爾科夫模型又?jǐn)?shù)學(xué)不錯(cuò)又碰巧知道那么多亂七八糟天氣轉(zhuǎn)移概率和美軍行動(dòng)的觀察概率的司令覺(jué)得，我要親自算一算，秘書(shū)說(shuō)的事情是不是靠譜。
（不要問(wèn)我這個(gè)司令為什么知道那么多和他為什么吃飽了撐著非要算這個(gè)模型。。。）
按照秘書(shū)的說(shuō)法，這三天里，美軍的行動(dòng)是：休息，打仗，休息
司令記得他在睡覺(jué)前看了看窗外，所以他知道第一天的天氣情況是晴天（100%的晴天，0%的陰天，0%的雨天），也就是說(shuō)第一天的天氣狀態(tài)是[1,0,0]。
所以只要把天氣狀態(tài)乘以對(duì)應(yīng)的休息的概率，
晴天——休息（1×0.6）
陰天——休息（0×0.3）
雨天——休息（0×0.5）
注意看圖（從現(xiàn)在開(kāi)始請(qǐng)仔細(xì)看圖中的數(shù)字是如何計(jì)算的）：
我們把這樣計(jì)算的出來(lái)的概率叫做前向概率α，1表示第一天。
知道了第一天休息的概率后，我們開(kāi)始計(jì)算第二天打仗的概率。
根據(jù)天氣轉(zhuǎn)換模型，我們知道第二天的天氣是由第一天決定的，于是我們先計(jì)算第二天天氣的變化。
如下圖所示，因?yàn)槲覀円呀?jīng)計(jì)算出第一天休息的概率是 [0.6,0,0]，所以通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，分別計(jì)算它們轉(zhuǎn)換為晴天的概率，然后相加起來(lái)就是總的晴天的概率。
不理解的話(huà)仔細(xì)看圖中的計(jì)算方法：晴天——晴天（0.6×0.4）+陰天——晴天（0×0.3）+雨天——晴天（0×0.2）=總的轉(zhuǎn)換為晴天的概率（0.24）。
同理，我們可以計(jì)算它們分別轉(zhuǎn)換成陰天和雨天的概率，這樣我們就得到到了第二天天氣轉(zhuǎn)換后的概率：
[0.24,0.3,0.06]
然后根據(jù)第二天是打仗的行動(dòng)，和第一天計(jì)算休息的時(shí)候一樣，我們把上述概率到實(shí)現(xiàn)打仗這個(gè)行為的概率也分別計(jì)算：
最后就能得到第一天休息第二天打仗的概率：
★需要注意的是，這里，第二天打仗的概率（α2）不單單是指第二天打仗這一天一個(gè)行為，而是包含了第一天休息然后第二天打仗的一個(gè)連續(xù)行為的概率。
之后重復(fù)之前的一步，根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算第三天的天氣情況：
然后根據(jù)第三天是休息這個(gè)行為，繼續(xù)計(jì)算每種天氣情況下休息的概率得到α3：
再解釋一下，α3中有3個(gè)概率，分別表示晴天——休息的概率（0.06444），陰天——休息的概率（0.0378），雨天——休息的概率（0.0513）。
最后把三種天氣狀態(tài)下計(jì)算出來(lái)的結(jié)果相加，就得到了最終概率，這個(gè)概率表示：美軍第一天休息，第二天打仗，第三天休息的概率。
這樣司令就可以根據(jù)之前的經(jīng)驗(yàn)來(lái)判斷這個(gè)概率是不是合理，秘書(shū)有沒(méi)有騙他。
如果大家不容易理解的話(huà)可以這樣想，假設(shè)這個(gè)概率計(jì)算出來(lái)很小很小只有0.0000000001，就說(shuō)明美軍第一天休息第二天打仗第三天休息的這個(gè)行為基本不可能發(fā)生，所以顯然秘書(shū)在騙他。
總之我們舉這個(gè)例子是為了說(shuō)明：在已經(jīng)知道了狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，和觀察概率（也就是已知這個(gè)隱馬爾可夫模型的所有參數(shù)），就可以計(jì)算得到出現(xiàn)某種觀察現(xiàn)象的可能性。
比如你可以計(jì)算美軍連續(xù)一個(gè)月打仗的可能性（打仗，打仗，打仗.....）。
這就是隱馬爾可夫模型主要處理的三類(lèi)問(wèn)題中的第一類(lèi)：預(yù)測(cè)出現(xiàn)某種結(jié)果的可能性。
剛才我們通過(guò)從初始狀態(tài)（第一天是晴天）開(kāi)始，計(jì)算第二天的狀態(tài)，然后計(jì)算第三天的狀態(tài)，得到了最終概率，這種從第一天開(kāi)始逐步迭代的算法叫做前向算法。
有前向算法，當(dāng)然還有后向算法。
至于后向算法。。。只可意會(huì)不可言傳，當(dāng)初看了網(wǎng)上的各種科普我都沒(méi)明白，然后有天突然就頓悟了。
好了，接下來(lái)的內(nèi)容，請(qǐng)自行選擇看不看。
我就按照個(gè)人理解來(lái)給你們說(shuō)說(shuō)后向算法和前向算法到底是個(gè)什么不可描述的關(guān)系。
首先請(qǐng)復(fù)習(xí)一下，我們之前是如何通過(guò)一步步迭代計(jì)算出α1，α2，α3的。
提示：1. 初始狀態(tài)×觀察矩陣；2. 把1的結(jié)果×轉(zhuǎn)移概率矩陣×觀察矩陣；3. 重復(fù)2
所以如果我們假設(shè)對(duì)于連續(xù)出現(xiàn)i個(gè)觀察現(xiàn)象（在上面的例子中，i=3，因?yàn)槭?天的行為：休息，打仗，休息）的概率是A，那么最后一個(gè)狀態(tài)的 αi（就像我們之前計(jì)算的α3）就是我們要計(jì)算的最終概率A，我們把 αi稱(chēng)為前向概率。
好了，我們現(xiàn)在開(kāi)始定義后向概率（注意這兩個(gè)字：定義！?。。?/strong>βi，βi表示如果我知道了當(dāng)前狀態(tài) αi，那么總概率A就等于兩者的乘積。
我承認(rèn)這句話(huà)不是人話(huà)，我們還是用前面的例子說(shuō)明。
我們已經(jīng)計(jì)算出 α3 就是第一天休息，第二天打仗，第三天休息的概率了是吧，但是如果我只計(jì)算到 α2，也就是說(shuō)我剛計(jì)算完第二天打仗的概率還來(lái)不及計(jì)算第三天，但是如果此時(shí)我已經(jīng)知道了對(duì)應(yīng)的 β2，我不用繼續(xù)計(jì)算 α2 就可以知道最終結(jié)果。
A=α2×β2
也就是說(shuō)，β定義為α的互補(bǔ)概率，對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)度為 i 的觀察現(xiàn)象序列，兩者的乘積就等于出現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象序列的概率。
所以：
也就是說(shuō)之前例子中計(jì)算得到的 α1，α2，α3都有對(duì)應(yīng)的 β1，β2，β3，
使得：
所以一般用后向算法計(jì)算的時(shí)候，都會(huì)設(shè)定初始 β=1。
很多人解釋說(shuō)是因?yàn)楹竺鏇](méi)有現(xiàn)象了所以當(dāng)然等于1。
當(dāng)年我死活聽(tīng)不懂這句話(huà)，什么叫后面沒(méi)有了，這是什么鬼話(huà)？
（好吧，估計(jì)有更多的人覺(jué)得我寫(xiě)的才是鬼話(huà)。。。）
總之我是這樣理解的，還是舉之前的三種觀察現(xiàn)象的例子（休息，打仗，休息），因?yàn)樽詈笠豢痰目偢怕示褪铅?，所以β3當(dāng)然等于1。
（注意β的計(jì)算是從末尾的β3，β2，β1逆向開(kāi)始的，β3是初始值。）
再次回顧，還記得我們是怎么計(jì)算 αi 的嗎？
我們先計(jì)算根據(jù)初始狀態(tài)計(jì)算 α1，然后把 α1×天氣的轉(zhuǎn)移概率×觀察概率得到新的α2，然后再把 α2×天氣的轉(zhuǎn)移概率×觀察概率得到 α3。
所以 α2 和 α3 之間其實(shí)只差了×天氣的轉(zhuǎn)移概率×觀察概率。
根據(jù)這個(gè)分析，我們發(fā)現(xiàn)：
最終我們就得到了 β的迭代計(jì)算公式。
不理解的話(huà)我們還是直接用計(jì)算說(shuō)明吧。
根據(jù)之前的解釋?zhuān)蠹覒?yīng)該可以理解初始的 β3=[1,1,1]。由于是后向算法，所以想當(dāng)然是逆向計(jì)算，第三天休息——第二天打仗——第一天休息（是逆的，逆的?。?/p>
用轉(zhuǎn)移概率矩陣的每一行乘以觀察概率中對(duì)應(yīng)現(xiàn)象的列，最后乘以前一狀態(tài)的β：轉(zhuǎn)移概率× 觀察概率 ×β3，得到新的β2。
請(qǐng)仔細(xì)看圖上的計(jì)算方法！
同理，得到 β2以后，我們用相同的方法計(jì)算β1。
得到 β1以后，根據(jù)初始條件（你會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)就是我們之前計(jì)算的α1），就可以得到最終結(jié)果了。
顯然和第一次計(jì)算出來(lái)是一樣的（廢話(huà)，當(dāng)然是一樣的，不然就是錯(cuò)了）。
如果你高興，你可以試試看用之前計(jì)算的α2 去計(jì)算α2×β2的結(jié)果，你會(huì)發(fā)現(xiàn)還是0.15354這個(gè)概率，再一次說(shuō)明：
講了那么多你肯定要問(wèn)，有了簡(jiǎn)單明了的前向算法，我干嘛還要什么后向算法？
因?yàn)槟壳斑@個(gè)例子，我們只是在已知模型參數(shù)（轉(zhuǎn)移概率，觀察概率）的情況下，預(yù)測(cè)觀察現(xiàn)象序列出現(xiàn)的可能性。
我說(shuō)過(guò)，這是隱馬爾科夫模型處理的第一類(lèi)問(wèn)題。
而隱馬爾科夫模型一共可以處理三類(lèi)問(wèn)題，第二類(lèi)是尋找最佳概率，其實(shí)和預(yù)測(cè)概率差不多，你等下就可以看到。
第三類(lèi)問(wèn)題其實(shí)才是隱馬爾科夫模型的精髓，就是你在不知道轉(zhuǎn)移概率，不知道觀察概率，只能看到觀察現(xiàn)象的條件下，反過(guò)來(lái)推測(cè)轉(zhuǎn)移概率和觀察概率。
這就是隱馬爾科夫模型在機(jī)器學(xué)習(xí)的精華。
然而要解決這個(gè)問(wèn)題。。。
你就要用到前向概率和后向概率了。
這個(gè)問(wèn)題比較復(fù)雜我們下次再講，我們還是先解決直觀的問(wèn)題。
現(xiàn)在我們來(lái)看一下隱馬爾科夫模型的第二類(lèi)應(yīng)用，尋找最優(yōu)概率狀態(tài)。
還是用之前的例子，如果你看懂了計(jì)算過(guò)程你就應(yīng)該發(fā)現(xiàn)我們計(jì)算得到的最終概率0.15354是各種天氣狀態(tài)混合下，休息打仗休息的概率。
（請(qǐng)看計(jì)算最后一步的α3是把三種天氣——休息的概率相加的結(jié)果。）
假設(shè)之前那位日本司令除了負(fù)責(zé)打仗以外還要負(fù)責(zé)記錄每天的天氣，但是他連續(xù)睡了三天，這三天的天氣根本不知道怎么辦？
不要問(wèn)我他為什么還要記錄天氣！
不要問(wèn)我他為什么不去問(wèn)別人天氣到底是怎么樣的！
因?yàn)樽髡呶乙?guī)定：他的角色設(shè)定就是要記錄天氣但是又不能問(wèn)別人！
總之就是司令連睡了三天，完全不知道這三天的天氣，但是他從秘書(shū)那里知道這三天里美軍的行動(dòng)（這次他相信秘書(shū)），而且他依然知道那堆島上的天氣轉(zhuǎn)移概率和天氣影響行動(dòng)的觀察概率，于是他就可以計(jì)算出產(chǎn)生“休息打仗休息”這一行為所對(duì)應(yīng)的最可能的天氣狀態(tài)。
用人話(huà)說(shuō)，總有一個(gè)連續(xù)三天的天氣狀態(tài)（也許是下雨下雨下雨，也許是晴天陰天下雨。。。）能夠讓“休息打仗休息”這些行為發(fā)生的可能性最大。
所以處理這類(lèi)問(wèn)題也叫做“解碼”，一般使用維特比算法（viterbi）處理。
什么什么算法聽(tīng)起來(lái)是不是很煩？
沒(méi)關(guān)系，我給你看幾張圖你就立刻懂了。
首先，大家還記得這張圖嗎？
我要再?lài)Z叨一遍，這張圖的意思就是說(shuō)當(dāng)前狀態(tài)中的每一個(gè)分量都是由前一個(gè)狀態(tài)的三個(gè)分量貢獻(xiàn)的疊加而來(lái)。
繼續(xù)說(shuō)人話(huà)，就是比如第二天的晴天出現(xiàn)的概率是第一天的晴天——晴天，陰天——晴天，雨天——晴天的概率總和。
維特比算法就是一種動(dòng)態(tài)規(guī)劃尋找最短路徑的過(guò)程，比如我們剛才說(shuō)的第二天的晴天是由前一天的三種天氣轉(zhuǎn)換而來(lái)的，那么其中一定有一條轉(zhuǎn)換路徑是概率最大的。
我們來(lái)回顧下這張圖，看到嗎？晴天的概率是三條路徑的總和。
我們繼續(xù)用計(jì)算說(shuō)明問(wèn)題，這次我們把初始狀態(tài)變一變，不再是明確是晴天，而是一個(gè)初始的天氣概率，就是說(shuō)我們也不知道第一天天氣到底是什么，如圖 ，初始狀態(tài)是[0.3,0.4,0.3]。
然后老方法計(jì)算第一天休息的概率得到[0.18,0.12,0.15]。
第二天天氣狀態(tài)要進(jìn)行轉(zhuǎn)換了，這次我不做疊加了，我們分別計(jì)算第一天的不同天氣狀態(tài)轉(zhuǎn)換到第二天的晴天、陰天、雨天，然后用其中最大的作為轉(zhuǎn)換后的天氣狀態(tài)，然后記住這些最大概率是從哪個(gè)天氣轉(zhuǎn)換來(lái)的。
也許我說(shuō)的話(huà)太繞，所以還是直接看圖：
再次解釋上圖，比如我們可以發(fā)現(xiàn)從前一天的晴天——第二天的晴天的概率最大，而雨天是從第一天的陰天——第二天的雨天的概率最大。
然后用這些最大概率值，計(jì)算第二天打仗的概率，方法和之前一樣。
注意！下圖中括號(hào)內(nèi)的晴天晴天陰天并不是筆誤，而是說(shuō)明第二天的晴天是由前一天的晴天轉(zhuǎn)換而來(lái)，第二天的陰天也是由第一天的晴天轉(zhuǎn)換而來(lái)，而第三天的雨天是由第一天的陰天轉(zhuǎn)換而來(lái)。（因?yàn)槭且畲蟾怕剩。?/strong>
之后再進(jìn)行第三天的天氣轉(zhuǎn)換，同樣是分別計(jì)算第二天的三種天氣轉(zhuǎn)換成第三天的天氣，然后在其中選取概率最大的作為當(dāng)天的天氣情況。
你可以看到第三的晴天、陰天，雨天都是由第二天的陰天轉(zhuǎn)換過(guò)來(lái)的概率最大。
最后我們根據(jù)天氣狀態(tài)計(jì)算第三天休息的概率：
結(jié)果發(fā)現(xiàn)第三天是陰天的話(huà)，整體的概率，也就是我們要求的概率是最大的，結(jié)果是0.0126。
于是我們就從這個(gè)雨天這個(gè)最大概率
還是不理解的話(huà)，我們來(lái)看一張總的路徑轉(zhuǎn)移圖：
我們看第三天，如果整體概率最大的話(huà)，那么第三天的天氣就是雨天，這個(gè)雨天是從第二天的陰天轉(zhuǎn)換過(guò)來(lái)的，而第二天的陰天是由第一天的晴天轉(zhuǎn)換過(guò)來(lái)的。
所以“第一天晴天，第二天陰天，第三天雨天”是最可能讓美國(guó)大兵們實(shí)現(xiàn)“休息打仗休息”行為的天氣組合。
至此，日本司令就可以估計(jì)在他睡覺(jué)的這三天里，天氣分別是：晴天，陰天，雨天。
這就是用維特比算法尋找最優(yōu)路徑，換句話(huà)說(shuō)，就是在計(jì)算過(guò)程中，選擇狀態(tài)轉(zhuǎn)換后概率最大的那條路徑。
這就是隱馬爾科夫模型能處理的第二類(lèi)問(wèn)題。
今天我們就講到這里。能看到最后的小伙伴們都是真愛(ài)，請(qǐng)給自己點(diǎn)贊。
能力有限很多細(xì)節(jié)什么的表達(dá)不清楚，不過(guò)還是希望大家可以稍微學(xué)到點(diǎn)東西，了解個(gè)大概吧。
每天學(xué)點(diǎn)知識(shí)，離夢(mèng)想更近一步！
加油！
END
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