如果三角形的三個角的度數(shù)都是10的整數(shù)倍，三角形內一點與三角形的三個頂點分別連結后，得到的所有的角也都是10的倍數(shù)，我們稱這樣的點為三角形中的格點．求解三角形中的格點問題，常可利用對稱點．利用對稱點求解三角形中的格點問題，方法簡單易行，解法簡潔巧妙，題面新穎有趣，是學生鞏固知識，培養(yǎng)能力，陶冶情操，提高素質的寶貴資料．
證明角格點的方法是作軸對稱圖形，即構造軸對稱的全等三角形。
例1 在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝20°，M為∠ACB的平分線上一點，∠MBC＝20°．求∠MAB的度數(shù)．
解：如圖，設∠MBA的平分線交AC于D，連DM．顯然，BM平分∠DBC，而CM平分∠DCB，即M為△DBC的內心．可知∠MDB＝∠MDC＝60°．有∠ADB＝60°＝∠MDB．故點A與點M關于BD對稱．則∠MAB＝90°－∠DBA＝70°．
這里證得“點A與點M關于BD對稱”是問題的關鍵。
例2 如圖， 已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=80，點D是△ABC內一點，且∠CBD=10°，∠ADC=20°，求∠ADB的度數(shù)．
解法1：把△BDC沿直線CD作軸對稱變換至△EDC．則∠ECB=2∠BCD=60°，EC=BC，∴△BCE是正三角形，又∵ AB=AC，∴直線AE是△EBC、△ABC的對稱軸，∴∠AEC=∠AEB=30°=∠ECD，∴易證△AEC≌△DCE，即四邊形ADCE為等腰梯形，∴∠ADC=150°，又∠BDC=140°，∴∠ADB=70°．
解法2：作BC邊的高AH，延長CD交AH于點F，連結BF．∵ AB=AC，∴AH是△ABC的對稱軸，∴FB=FC，∵∠BCF=30°=∠FBC，∴∠BFD=120°=∠BFA，∠BDF=40°=∠BAF，BF=BF，∴△AFB≌△DFB，∴FA=FD，∠ADF=30°，∴∠ADB=70°．
解法3：延長CD交AB于G．由題知∠CGA=∠CAG=80°，∠GBD=∠GDB=40°，∴CG=CA=AB，GD=GB，∴CD=AG，以CD為底邊構造等腰△PCD，使PC=PD=AC，且P、A在直線CD同側，∴∠PCD=∠PDC=80°，∠CPD=∠ACG=20°，∴∠PCA=60°，△PAC是等邊三角形，∠APD=40°，∠PDA=70°，∴∠ADC=150°，∠ADP=70°=∠ADB.
解法4：如圖，作正三角形ABE連結EC,ED，易證BD=BE=AB，故∠ADB=(180-40)÷2=70°。
例3 如圖，△ABC中，AB=AC，點P是三角形內一點，∠1=40°，∠2=30°，∠3=20°，
（1）求∠4的度數(shù)；
?。?）求證：AP=BP CP。
解：（1）作高AD，作點P關于AD的軸對稱點E，作點P關于AB軸對稱點F，易證PE=CE=PB，△PBF為正三角形，F(xiàn),P,C共線，△AFP≌△APE，∴以A為頂點的每個最小的角都為10°，即∠4=10°；
?。?）顯然∠FAC=∠FCA=50°，AP=FA=FC=FP CP=BP CP.
例4 如圖，AB=AC，∠A=20°，點D在AB上，AD=BC，求∠BDC的度數(shù)。
解法1：作正三角形ACE，連DE，這樣△ADE≌△ABC，于是△ADE和△DCE均為等腰三角形，且頂角為20°和40°，于是不難求出∠BDC=30°．
解法2：作正三角形BCE，不難證明△CEA≌△ADC，于是不難求出∠BDC=30°．
解法3：作△ABC的角平分線CE，在AC上取點F使CF=CB，在AB上取點D’使D’F=FC，不難證明AD’=BC=AD，即D’與D重合，從而可以計算∠BDC=30°．
解法4：作正三角形BCC’，連DC’，不難證明四邊形ADC’C是等腰梯形，所以C’D=C’B=C’C，即C’是△DBC的外心，所以∠BDC=∠BC’C÷2=30°．
例5 在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝30°，Q為形內一點，∠QBA＝∠QCA＝20°．求∠QAB的度數(shù)．
解：如圖，設BQ交AC于D，過點D作BC的垂線交QC于Ｅ．連BE．
由∠QBC＝30°＝∠ACB，可知DE為BC的中垂線．由∠QCB＝10°，可知∠EBC＝10°，∠QBE＝20°＝∠QBA．
由∠EDB＝60°＝∠EDC，可知∠BDA＝60°＝∠BDE．有點A與點E關于BD對稱． 則∠QAB＝∠QEB ＝∠EBC＋∠ECB＝20°．
這里注意到BQ是∠AQC的平分線，故想到在QC上取點E，使∠EQB＝∠ABQ，則點E為點A關于BQ的對稱點．為此想到滿足條件的點E，恰為BC中垂線與QC的交點。又由∠QBC＝30°＝∠ACB，想到BQ與AC的交點D應為BC中垂線上的另一點．于是，我們選擇了如上的方法找到點A關于BQ的對稱點E．
例6 在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝30°，Q為形內一點，∠QCA＝∠QAB＝20°．求∠QBC的度數(shù)．
解：如圖，設BC的中垂線分別交BA、AC于D、E，F(xiàn)為垂足．連QE、BE、DC．
由∠ACD＝20°＝∠ACQ，∠DAC＝80°＝∠QAC，可知點D與點Q關于AC對稱．有 ∠AEQ＝∠AED＝∠FEC＝60°．
由∠BEF＝∠FEC＝60°，可知∠AEB＝60°＝∠AEQ．有B、Q、E三點共線． 則∠QBC＝∠EBC＝30°．
這里注意到AC是△AQB的∠QAB的外角平分線（這一點并不引人注目），在BA延長線上取一點D，使DA＝QA，則點D為點Q關于AC的對稱點．為此我們通過BC的中垂線，把∠ABC“翻折”到∠DCB的位置，是非常恰當?shù)模?div>
