如下圖，已知：AB=AC，∠A=∠DCA=20°，∠ABE=30°。求：∠CDE。
解法一：（walls老師提供）
在AB邊上取點F使得FC=BC，連接FC、FE。如下圖所示：
由AB=AC以及∠A=20°，知∠ABC=∠ACB=80°。
由FC=BC知，∠BFC=∠FBC=80°，∠FCB=180°-80°-80°=20°。于是
∠ECF=∠ACB-∠FCB=80°-20°=60°
由∠EBC=∠ABC-∠ABE=80°-30°=50°，以及∠BEC=∠ABE+∠A=30°+20°=50°，知CE=BC=FC。
于是CEF為正三角形。
由∠CDF=∠DCA+∠A=20°+20°=40°，以及∠DCF=∠ECF-∠DCA=60°-20°=40°，知DF=FC=FE。
即有∠FDE=∠FED。而∠DFE=180°-∠BFC-∠CFE=180°-80°-60°=40°，于是
∠FDE=(180°-40°)/2=70°
∠CDE=∠FDE-∠BDC=70°-40°=30°
解法二：由題設(shè)知：∠BDC=∠A+∠DCA=40°，CD=AD<AB=AC。
于是在CA上一定有點F，使得CF=CD，連接DF，并延長至點G使得DG=AD，連接AG，如下圖所示：
CDF為等腰三角形，且∠DCA=20°，可知∠CDF=80°，∠ADF=180°-∠BDC-∠CDF=60°
于是ADG為正三角形。
考察△BDC和△FAG，易知∠BDC=∠FAG=40°，∠BCD=∠BCA-∠DCA=80°-20°=60°=∠G，再由CD=AD=AG，可知
△BDC和△FAG全等，于是BC=FG。
另外，由∠BEC=∠ABE+∠BAE=30°+20°=50°，∠CBE=∠CBD-∠ABE=80°-30°=50°，可知BC=CE。
于是CE=FG。
由FD=DG-FG，F(xiàn)E=CF-CE，CF=CD=AD=DG，可知FD=FE，于是∠FDE=∠FED。
再由∠DFC=80°，可知∠FDE=(180°-80°)/2=50°。
于是∠CDE=180°-60°-50°-40°=30°。
解法三：過點D作BC的平行線交AC于點G，連接BG交DC于點F，在AC上取點H使得HC=DC，連接DH。如下圖所示：
由AB=AC，以及∠A=20°，知∠BCA=(180°-20°)/2=80°，于是∠BCF=∠BCA-∠DCA=80°-20°=60°
由對稱性，同樣有∠CBF=60°，于是BCF為正三角形。由DG//BC，知DFG也是正三角形。
由∠BEC=∠ABE+∠BAE=30°+20°=50°，∠CBE=∠CBD-∠ABE=80°-30°=50°，可知BC=CE。
于是有CF=CE。再由CD=CH，知HE=DF=DG。
由DG//BC，知∠AGD=∠ACB=80°。再由CDH為等腰三角形且∠DCA=20°，知∠DHC=80°。于是有
∠HGD=∠GHD，HGD為等腰三角形，知HD=DG=HE。HDE為等腰三角形，于是
∠HDE=(180°-∠DHE)/2=(180°-80°)/2=50°
∠CDE=∠CDH-HDE=80°-50°=30°
解法四：過點D作BC的平行線交AC于點G，連接BG交DC于點F，連接EF。如下圖所示：
同解法三一樣，知BCF和DFG為正三角形，且有CF=CE，于是∠CFE=80°，繼而有∠GFE=180°-∠BFC-∠CFE=180°-60°-80°=40°
而∠BGE=∠ABG+∠A=20°+20°=40°
于是EF=EG，△EGD和△EFD全等（三條邊對應(yīng)相等），∠CDE=∠GDE=(∠FDG)/2=60°/2=30°
解法五：（三角函數(shù)法，無需添加輔助線，由葛永超提供）
在△ABE中，利用正弦定理有
AB/AE=sin130°/sin30°=2sin50°=2cos40°
在△BCD中，利用正弦定理有
CD/BC=sin80°/sin40°=2sin40°cos40°/sin40°=2cos40°
由∠CBE=80°-30°=50°，∠BEC=∠ABE+∠A=30°+20°=50°，知BC=CE
于是AB/AE=CD/BC=CD/CE，再結(jié)合∠A=∠DCE=20°，知△ABE~△CDE
于是∠CDE=∠ABE=30°
附言：
最初是在《遇見數(shù)學(xué)》公眾號一篇文章里看到這個題的，里面介紹這個題是著名的幾何難題：湯普森問題，我嘗試了一陣沒做出來。然后看了文章里提供的兩個解法之后受到啟發(fā)才有了上面的解法二。而解法一是walls老師在完全不知情的情況下獨立做出來的，相比解法二以及公眾號文章里的兩個解法，這個解法顯得更加自然。解法三和解法四是像解法一那樣在三角形ABC內(nèi)部構(gòu)造正三角形嘗試出來的兩個新解法。
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