在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力
北京教育學(xué)院石景山分院 張嶺
一、問題的提出
每個(gè)人在一生中都會遇到各式各樣的問題，解決問題成了人生活中重要的、不可或缺的組成部分。因此，培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力一直成為各國教育中倍受關(guān)注的重大問題。
美國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)教學(xué)綱要應(yīng)注重于問題解決，使之成為理解數(shù)學(xué)的一部分，從而使所有學(xué)生通過他們在問題上的努力學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識；養(yǎng)成在數(shù)學(xué)內(nèi)外建立公式、表達(dá)、抽象、一般化的傾向；應(yīng)用眾多的策略去解決問題，并使各種策略適應(yīng)新的情況；對在解決問題中的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行監(jiān)控和反思。
日本小學(xué)生問題解決活動的過程主要表現(xiàn)為如下幾個(gè)基本階段：（1）兒童直接面對問題；（2）明確問題；（3）確立問題解決的線索和計(jì)劃；（4）收集資料；（5）確立假說；（6）驗(yàn)證假說。
英國小學(xué)生問題解決能力水平從這幾個(gè)方面進(jìn)行劃分：明晰問題、嘗試解決問題、對結(jié)果進(jìn)行檢查和評價(jià)。在學(xué)生成長的各個(gè)不同階段，這幾方面的要求是不一樣的，隨著年齡的增長難度加大。
加拿大問題解決能力評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)中有以下幾方面：獨(dú)立解決問題；通過分析澄清問題；設(shè)計(jì)解決問題的方案；做出計(jì)劃；記錄過程和結(jié)果；檢驗(yàn)方案和結(jié)果；評價(jià)計(jì)劃、方案和結(jié)果；設(shè)計(jì)不同的解決方法；在不同的問題和方案之間建立聯(lián)系；對新問題采取相應(yīng)的對策；對原設(shè)想進(jìn)行改進(jìn)以達(dá)到問題的解決；解決問題有邏輯性。
目前我國小學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題及問題解決能力很匱乏，對其能力培養(yǎng)仍是每個(gè)教師義不容辭的義務(wù)。
在我國的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)要“讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展”?？梢娦碌臄?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將解決問題作為一個(gè)重要目標(biāo)，這是課程改革和學(xué)生發(fā)展的需要。
因此，我們要積極探索如何培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力，使學(xué)生成為比較有效的、成功的問題解決者。
二、影響小學(xué)生問題解決能力的因素分析。
1、“讓學(xué)生全部都懂”的教學(xué)理念。
袁振國教授在《反思科學(xué)教育》中說：“中國衡量教育成功的標(biāo)準(zhǔn)是將有問題的學(xué)生教得沒問題，美國衡量教育成功的標(biāo)準(zhǔn)是將沒問題的學(xué)生教育的有問題。”由此可見，在不同的教育理念的指導(dǎo)下，學(xué)生“問題意識”的培養(yǎng)在教學(xué)中所處地位迥然不同。
讓學(xué)生“全部都懂”是我們所追求的，所以中國的學(xué)生年齡越大，年級越高，問題越少；在美國，如果提出的問題老師都解決不了，那算是非常成功的，所以美國的學(xué)生年級越高，越富有創(chuàng)意，越會突發(fā)奇想。不同的教育理念造成了學(xué)生不同的問題意識。
2、傳統(tǒng)教學(xué)方式的影響。
在傳統(tǒng)的“講授——模仿”的接受性學(xué)習(xí)中，重結(jié)果，輕過程；重大量的灌輸，輕方法的指導(dǎo)；重標(biāo)準(zhǔn)答案，輕智慧的開發(fā)。在這種學(xué)習(xí)方式下，學(xué)生的思維程式化、刻板化，不敢越雷池一步。積極主動探究的意識淡薄，久而久之，解決問題的能力被屏棄于傳統(tǒng)的教學(xué)過程之外。另外，學(xué)生習(xí)慣于接受現(xiàn)成的知識，習(xí)慣于找標(biāo)準(zhǔn)答案，習(xí)慣于勤加練習(xí)、考出高分。而輕視了自我探究、小組合作等學(xué)習(xí)方式的合理運(yùn)用，扼制了自己解決能力的發(fā)展。
3、問題沒有價(jià)值。
所需解決的問題是否有價(jià)值，直接影響到學(xué)生的動機(jī)與情感，也影響到學(xué)生的興趣。同時(shí)，問題的價(jià)值還體現(xiàn)在它對于學(xué)生問題解決能力的促進(jìn)作用上。傳統(tǒng)的教學(xué)講求“實(shí)效”，以課本為中心，脫離學(xué)生的實(shí)際，使學(xué)生感到書本上的問題沒有解決的價(jià)值，從而失去了對解決問題的興趣。
因此，新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把學(xué)生解決問題的能力提高到基本目標(biāo)領(lǐng)域。要求“能運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會，去解決日常生活中和其它學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。”
另外，有關(guān)影響學(xué)生問題解決水平因素的研究還表明，問題表征的適當(dāng)性、學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、問題的解決策略、動機(jī)強(qiáng)度、成敗的情緒體驗(yàn)和焦慮等，這些因素與解決問題的速度與能力有關(guān)，學(xué)生問題解決活動常因知識缺陷或問題解決技能欠缺出現(xiàn)各種錯誤。
三、數(shù)學(xué)問題解決與一般解題的差異性
數(shù)學(xué)問題解決與一般解題有什么差異呢？如果將“問題解決”與“一般解題”作一個(gè)比較的話，不難發(fā)現(xiàn)它們之間存在著許多不同。第一，一般解題是注重尋找答案，學(xué)生只不過是在學(xué)習(xí)一種事實(shí)和算法（技巧），而問題解決注重的是尋找解決問題的過程、策略及思維方式。第二，一般解題往往針對某個(gè)知識或技能，著重對某項(xiàng)數(shù)學(xué)技能（算法）進(jìn)行練習(xí)，而問題解決著重“如何”將一般知識和策略應(yīng)用到新情況中，具有綜合性的特點(diǎn)。第三，一般解題著重快速獲得正確答案，而問題解訣著重如何尋求創(chuàng)造性的用法（用新穎的方法組合兩個(gè)或更多的法則去解訣一個(gè)問題）。問題解訣適合于學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)和探索的技巧，適合于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力及如何學(xué)。第四，一般解題可以對某一類習(xí)題反復(fù)演練。往往是“以前感知的事物的表象或者根據(jù)所給的描述、圖式、圖形等等而形成的形象”，屬再造性想象。而問題解訣中的“問題”具有新穎性。問題解決更多以“與以往經(jīng)驗(yàn)的改造、加工，使它們構(gòu)成新的結(jié)合，新的組合相聯(lián)系的”創(chuàng)造性想象。
四、關(guān)于小學(xué)生問題解決能力培養(yǎng)的研究。
1、為學(xué)生提供有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題。
問題類型也會對學(xué)生問題解決能力產(chǎn)生影響。按問題的創(chuàng)造性，美國的梅克把問題類型分為五類：類型一是教師和學(xué)生知道該問題及其解法，但問題的正確答案只是教師知道，對學(xué)生來講是未知的；類型二是問題已為師生所知，但問題的解法及其答案只有教師知道，而且答案只有一個(gè)；類型三是師生都知道該問題，但方法和答案只有教師知道，這類問題通常用歸納法解決，可有一個(gè)或一系列的公認(rèn)的答案；類型四是問題為師生所知，但方法和答案師生都不知道，這種開放式的問題，可用多種方法解決，并有不止一個(gè)正確的或被認(rèn)可的答案；類型五是問題和解決問題的方法及答案對師生來說都是未知的，問題情境中的問題可從多方面來確定。
我們對梅克問題類型體系加以分析就會發(fā)現(xiàn)：第一、二和三類的部分問題正是我們傳統(tǒng)教學(xué)中常常為學(xué)生提供的，通常是智力測驗(yàn)中所設(shè)計(jì)的問題類型，它們屬于“完善的問題類型”，是一般性的問題。解決這些問題對于創(chuàng)造性的要求較低，這類問題在日常實(shí)踐和現(xiàn)實(shí)生活中并不多見，它對于幫助學(xué)生掌握書本知識是相宜的，但對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神和實(shí)踐能力缺乏足夠的效能。第三類型問題的另一部分，以及第四、第五類型問題則是屬于“缺陷性的問題”。其中有的問題對師生雙方來說，解決方法不確定，有的連問題也不確定，答案更不是唯一的，它們正是現(xiàn)實(shí)中大量存在的問題類型，提供這類問題有利于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、進(jìn)行發(fā)散思維、綜合運(yùn)用多方面的知識，培養(yǎng)解決實(shí)際問題和創(chuàng)造性解決問題的能力，并可為學(xué)生發(fā)揮自己的個(gè)性和特長提供空間。
而在我們現(xiàn)行教材中提供的大多是“定義完善”的問題，“缺陷性的問題”極少出現(xiàn)。在新課程標(biāo)準(zhǔn)下，目前雖然有個(gè)別“缺陷性的問題”，但學(xué)生缺乏相應(yīng)的應(yīng)對策略，常常表現(xiàn)出束手無策。例如：九年義務(wù)教育六年制小學(xué)實(shí)驗(yàn)課本數(shù)學(xué)第七冊95頁有這樣一題：甲、乙兩種不同品牌的袖珍收音機(jī)售價(jià)分別是48元和64元，學(xué)校買了4臺獎勵給優(yōu)秀教師，問一共花了多少元。課堂上教師讓學(xué)生解答，當(dāng)時(shí)只有兩位學(xué)生舉起了手，其中一位說出根據(jù)不同情況有多種答案，并具體說出兩種答案后，其他表情茫然的學(xué)生才紛紛舉起手，可是又出現(xiàn)了只認(rèn)可都買48元，或者都買64元的情況，待老師一一講清各種理由后，幾位學(xué)生才點(diǎn)頭認(rèn)可。
還有第七冊有這樣一題：糧食加工廠原來每天加工糧食420噸，現(xiàn)在每天加工糧食的噸數(shù)是原來的2倍，比原來每天多加工420噸。把現(xiàn)在每天加工的糧食平均分給4個(gè)糧店，問每個(gè)糧店分到多少噸？這是一道條件多余的應(yīng)用題，去掉題中“是原來的2倍”或者去掉“比原來每天多加工420噸”，都是一道數(shù)量關(guān)系極為明顯的兩步應(yīng)用題，可是學(xué)生依原題解答時(shí)，全班37人，其中全對的只有24人，占全班人數(shù)的64.8%，近1/3的學(xué)生答案錯誤。
從上面的事例，我們可以看出“缺陷性的問題”對于學(xué)生解決問題的能力要求更高，也正是這樣的問題更能夠培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力。學(xué)生接觸的現(xiàn)實(shí)生活中的問題大多是“缺陷性的問題”。因此，我們要把現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)出來，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型解決問題。例如：①家里用電每度0.52元，煤氣每千克4元，做飯使用電和煤氣，到底哪個(gè)更合算？②學(xué)校要為學(xué)生定一批“酸奶”，春游時(shí)發(fā)給大家。請你先進(jìn)行調(diào)查，再給學(xué)校提出你的建議并算出一共要用多少錢？
又例如：讓學(xué)生估計(jì)一滴水合多少毫升，可以讓學(xué)生想辦法，比如用試管滴10滴、20滴水，看一共有多少毫升，再算出一滴水有多少毫升。全國13億人口，如果每人節(jié)約一滴水，是多少毫升？合多少升？多少立方米？這些水用10立方米的水車?yán)嗌佥v車才能拉完？每人每天共用水0.05立方米，可供100萬人用多少天？
現(xiàn)實(shí)生活中包含著許多數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法。我們的教學(xué)應(yīng)該挖掘這些素材。只有當(dāng)問題與學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活密切結(jié)合時(shí)，數(shù)學(xué)才是活的，富有生命力的，才是有價(jià)值的，才能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和解決數(shù)學(xué)問題的興趣。
2、運(yùn)用探究性學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生問題意識和解決問題的能力。
探究性學(xué)習(xí)就是圍繞問題展開學(xué)習(xí)的一種方式。所謂探究性學(xué)習(xí)，是指學(xué)生在學(xué)科領(lǐng)域或現(xiàn)實(shí)生活的情景中，通過發(fā)現(xiàn)問題、調(diào)查研究、動手操作、表達(dá)與交流等探究性活動，獲得知識、技能和態(tài)度的學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)過程。
探究性學(xué)習(xí)是一種使學(xué)生獨(dú)立工作、自行發(fā)現(xiàn)問題并掌握知識的一種方法。它特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生自已去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造。它要求利用課本和教師等提供的材料信息，通過自己的獨(dú)立思考，找到解決問題的方式和方法，進(jìn)而形成正確的結(jié)論與概念。該方法的倡導(dǎo)者、美國心理學(xué)家布魯納認(rèn)為：實(shí)現(xiàn)教學(xué)計(jì)劃，完成教學(xué)任務(wù)的一最可靠的方法是引導(dǎo)學(xué)生自己主動去“發(fā)現(xiàn)”、去“探究”或者解決問題。要使學(xué)生在決定應(yīng)該教什么和應(yīng)提供什么學(xué)習(xí)環(huán)境的時(shí)候都有真正的發(fā)言權(quán)。
如，在小學(xué)數(shù)學(xué)《三角形面積的計(jì)算》教學(xué)時(shí)，課前，學(xué)生自己先分好探究學(xué)習(xí)小組，教師準(zhǔn)備好教具、小組學(xué)習(xí)材料、輔助教學(xué)課件、記錄本等。緊接著根據(jù)所提供材料和教師的要求，學(xué)習(xí)小組共同想辦法，探究出三角形面積的計(jì)算公式。然后小組再一次相互交流。最后推導(dǎo)得出三角形面積的計(jì)算公式："三角形的面積=底×高÷2"這一重要結(jié)論。隨之而來便是學(xué)生鞏固練習(xí)，驗(yàn)證結(jié)論的同時(shí)，解決一些生活實(shí)際問題。如，計(jì)算房屋裝修所需材料的面積等。其實(shí)，學(xué)生在探究出三角形面積的計(jì)算公式這一過程，學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，學(xué)生學(xué)習(xí)的合作、協(xié)作性，思維的創(chuàng)造性都得以淋漓盡致的展現(xiàn)。所以，學(xué)生推導(dǎo)得出三角形面積公式就有三種方法之多。真出乎了老師的預(yù)料！
又例如，在講“圓的認(rèn)識”時(shí)，不是直接告訴學(xué)生什么是圓心，什么是半徑、直徑以及它們之間的關(guān)系，而是以游戲的方法讓學(xué)生在活動中發(fā)現(xiàn)問題，并獲得有關(guān)的數(shù)學(xué)知識。
在活動前，先提出要求，全班同學(xué)排兩列縱隊(duì)，中間放一個(gè)小圓盒，讓同學(xué)扔沙包，誰扔進(jìn)去了誰就勝利。這時(shí)，有些同學(xué)就有意見了，認(rèn)為不公平：站在中間的同學(xué)最占便宜，而兩頭的同學(xué)就吃虧。老師讓同學(xué)想辦法，大家一致認(rèn)為站成圓形最公平。怎樣才能站成圓形呢？一個(gè)同學(xué)提出：讓一個(gè)同學(xué)站在中心，讓他拉著一根繩子的一頭，另一頭拴一支粉筆，讓另一個(gè)同學(xué)拉直了在地上轉(zhuǎn)一圈，就是一個(gè)圓。畫完之后同學(xué)們發(fā)現(xiàn)每個(gè)人離中心的距離是一樣的，而且發(fā)現(xiàn)了兩點(diǎn)都在圓上面的線段中只有通過中心的是最長的。這時(shí)，再講什么叫圓心、圓的半徑和圓的直徑以及同圓或等圓中所有的半徑都相等，所有的直徑也都相等，直徑是半徑的2倍。這樣，學(xué)生在游戲中獲得了新知識，并且有了深刻的認(rèn)識。
3、教師要轉(zhuǎn)變觀念，提高教學(xué)策略。
學(xué)生問題解決能力的培養(yǎng)主要是指學(xué)生自主問題解決能力的培養(yǎng)，一方面取決于學(xué)生自身的知識能力背景，另一方面與教師的教學(xué)策略和方法密切關(guān)聯(lián)。為此，必須做到①充實(shí)學(xué)生知識基礎(chǔ)；②提高設(shè)問藝術(shù)，表現(xiàn)在問題本身的科學(xué)性，問題的數(shù)量要求，問題提出的時(shí)間，問題的可接受程度等方面；③運(yùn)用延遲評價(jià)，即面對問題情境，教師有意對問題的是非對錯不做出評價(jià)，為學(xué)生留下廣闊的思維空間；④加強(qiáng)元認(rèn)知能力的培養(yǎng)，元認(rèn)知是主體對自己認(rèn)知活動的自我意識和自我調(diào)節(jié)；⑤把握問題解決規(guī)律；可以運(yùn)用“一題多敘”來發(fā)散思維、“一題多變”培養(yǎng)思維的靈敏性和創(chuàng)造性、“一題多解”建立知識間聯(lián)系、提取信息等來開拓思路，活躍思維，進(jìn)而提高解題能力。
如：上“分?jǐn)?shù)應(yīng)用題復(fù)習(xí)課”時(shí)，出示一題多解的練習(xí)，某工程隊(duì)修一條長1200米公路，前3天修了全長的了，照這樣計(jì)算，修完這條公路共要幾天？
① 1200÷（1200×1/4÷3）
② 1200×（1-1/4）÷（1200×1/4÷3）+3
③ 3×[1200÷（1200×1/4）]
④ 1200÷[1200×（1/4÷3）]
⑤ 1÷（1/4÷3）
⑥ （1-1/4）÷（1/4÷3）+3
⑦ 3×（1÷1/4）
⑧ 3÷1/4
⑨ 3×4
設(shè)計(jì)這樣有針對性的練習(xí)，可以激勵不同層次的學(xué)生，從不同角度去積極參與教學(xué)，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造思維能力。
更重要的是，要培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，教師必須積極主動地在教學(xué)過程中要認(rèn)識到應(yīng)用題與實(shí)際問題的聯(lián)系和差異；創(chuàng)設(shè)實(shí)際問題的情境進(jìn)行模擬訓(xùn)練；進(jìn)行解決實(shí)際問題的專項(xiàng)訓(xùn)練，從而營造問題解決的氛圍，提供問題解決的空間，教給問題解決的方法，達(dá)到將教師教學(xué)過程轉(zhuǎn)化為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題能力的培養(yǎng)。
構(gòu)建好的數(shù)學(xué)問題實(shí)施“問題解決”教學(xué),首先是要能設(shè)計(jì)出好的問題,這就要求我們能從現(xiàn)實(shí)生活中挖掘出好的問題“原型”。例如“百分?jǐn)?shù)”的學(xué)習(xí)有四個(gè)要點(diǎn):①．它表示兩個(gè)量的比；②．比的后項(xiàng)是100；③．它在實(shí)際生活中有廣泛應(yīng)用;④．它有特殊的寫法。一位教師以比較“兩杯糖水哪杯更甜些？”為例,引導(dǎo)學(xué)生探究怎樣用一個(gè)數(shù)來表示水的“甜度”,使學(xué)生經(jīng)歷了百分?jǐn)?shù)從產(chǎn)生到應(yīng)用的全過程,使學(xué)生認(rèn)識到糖水的甜度是由糖的含量和水的含量這兩者的關(guān)系即它們的比所決定的,且為了便于觀察和計(jì)算,在數(shù)學(xué)中比的后項(xiàng)經(jīng)常定為100,在實(shí)際生活中諸如此類的問題是很多的。
問題意識即一種懷疑精神，一種探索意識，它是創(chuàng)造的起點(diǎn)，沒有問題意識就沒有創(chuàng)造性。“問題解決”是一種數(shù)學(xué)教育模式和學(xué)習(xí)活動，指當(dāng)人們遇到一個(gè)用已有知識和方法不能直接解決，而又沒有現(xiàn)成對策、答案或解法的問題時(shí)，所引起的尋求解決這個(gè)問題的復(fù)雜心理活動。這對強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)意識、訓(xùn)練學(xué)生的思維能力、培養(yǎng)學(xué)生的個(gè)性品質(zhì)及探究精神等素質(zhì)和促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力發(fā)展，都是十分必要和有效的。
使學(xué)生成為有效的問題解決者，既是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)，又是對小學(xué)數(shù)學(xué)教師的挑戰(zhàn)。問題解決是數(shù)學(xué)課程的中心，它也應(yīng)該成為每天數(shù)學(xué)教學(xué)的一部分。作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)該使學(xué)生有機(jī)會在有現(xiàn)實(shí)意義的事情上應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和問題解決技能，并能使學(xué)生在解決問題的過程中體驗(yàn)到成功，這樣他們才會成長為自信而成功的問題解決者。
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