直線是幾何中最基本的圖形之一，很多幾何圖形，如射線、線段、三角形、四邊形等都可以由直線得到。直線是原始概念，只有描述性的定義，沒(méi)有嚴(yán)格的定義。關(guān)于直線的公理之一是：兩點(diǎn)確定一條直線。在歐氏幾何中，我們?cè)谥庇^感知、操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上，依據(jù)有關(guān)的公理、概念和定理，運(yùn)用邏輯演繹規(guī)則，研究幾何圖形的性質(zhì)，包括形狀、大小、位置關(guān)系等，也就是我們通常所說(shuō)的綜合法。
當(dāng)把直線放入平面直角坐標(biāo)系后，我們對(duì)直線及其有關(guān)問(wèn)題的研究又有了新的方法。由于點(diǎn)可以用坐標(biāo)表示，直線是滿足一定規(guī)律的點(diǎn)的集合，我們可以對(duì)直線“量化”：用二元一次方程
表示直線。對(duì)有關(guān)直線的問(wèn)題：如平行、垂直，交點(diǎn)坐標(biāo)，距離等進(jìn)行定量的研究，也就是我們說(shuō)的解析法（坐標(biāo)法）。
在解析法中，直線的斜率扮演著重要的角色。斜率是直線固有的，它是中學(xué)數(shù)學(xué)課程中重要的概念之一。無(wú)論是在一次函數(shù)中，還是在“直線與方程”這章內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，直線的斜率都是基礎(chǔ)而且重要的內(nèi)容。本文首先從兩個(gè)方面對(duì)《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)2》（必修）A版第三章直線與方程“直線的傾斜角與斜率”這堂課進(jìn)行了思考：（1）從直線上的點(diǎn)滿足的規(guī)律引入直線的傾斜角，（2）刻畫(huà)直線斜率的過(guò)程本質(zhì)上是建立直線方程的過(guò)程，它是解析法淋漓盡致的表現(xiàn)；在此基礎(chǔ)上，談到教材的作用以及如何運(yùn)用教材對(duì)本堂課進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)；最后概述了直線的斜率在高中數(shù)學(xué)課程中的地位作用。
一、從直線上的點(diǎn)滿足的規(guī)律引入直線的傾斜角
“直線的傾斜角與斜率”是平面解析幾何第1課時(shí)的內(nèi)容。解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)。圖形的幾何性質(zhì)是指圖形的形狀、大小、位置關(guān)系。所謂代數(shù)方法就是在坐標(biāo)系中用坐標(biāo)表示直角坐標(biāo)系中最基本的元素——點(diǎn)，圖形（或曲線）是點(diǎn)的集合；這些點(diǎn)滿足某種規(guī)律，這種規(guī)律可以用代數(shù)關(guān)系式——方程表示；通過(guò)方程的加、減、乘、除等代數(shù)運(yùn)算，把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系，間接達(dá)到研究幾何圖形的目的。
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》明確提出：“在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素。”我們知道，兩點(diǎn)確定一條直線。既然兩點(diǎn)確定一條直線，為什么還要研究“探索確定直線位置的幾何要素”？
這首先說(shuō)明解析幾何的研究對(duì)象是幾何圖形，研究幾何圖形首先就要尋求確定圖形的幾何要素，幾何要素清楚了，我們才能用代數(shù)方法刻畫(huà)這些幾何要素。所以我們先研究確定直線位置的幾何要素。盡管學(xué)生可能不太理解，但是隨著后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生會(huì)逐步理解為什么要結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素：一個(gè)定點(diǎn)以及直線的傾斜程度。這種引入方式，在提出直線的傾斜程度時(shí)，總感覺(jué)不太自然，有些生硬，“強(qiáng)加”的味道比較濃。
實(shí)際上，我們完全可以改進(jìn)這種引入方式。本章的研究對(duì)象是直線，沒(méi)有平面直角坐標(biāo)系的時(shí)候，兩點(diǎn)確定一條直線?，F(xiàn)在有了平面直角坐標(biāo)系，對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的直線，我們可以用代數(shù)方法研究它。
在初中的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)知道，一次函數(shù)的圖象是一條直線；反過(guò)來(lái)，平面直角坐標(biāo)系中的一條直線可以用解析式表示。這給我們一種啟示，可以用一個(gè)二元一次方程表示平面直角坐標(biāo)系中的直線。但是它研究問(wèn)題的途徑是：先有數(shù)量關(guān)系，然后建立數(shù)量關(guān)系的直觀表示——函數(shù)的圖象。在解析幾何中，我們是先有圖形（或曲線），然后根據(jù)圖形（或曲線）的幾何特征確定圖形（或曲線）的代數(shù)表達(dá)式——方程。
直線的幾何特征是什么？也就是說(shuō)，直線是點(diǎn)的集合，這些點(diǎn)有什么規(guī)律？提出這個(gè)問(wèn)題后，學(xué)生開(kāi)始思考，可能會(huì)感到茫然，不知所措。確實(shí)，這不是一個(gè)容易的問(wèn)題。這時(shí)，需要教師進(jìn)行引導(dǎo)。如果看不出來(lái)，我們不妨“跳出”這條直線。在這條直線外任選一點(diǎn)，與這條直線上的任意一點(diǎn)連接，會(huì)發(fā)現(xiàn)這是兩條完全不同的直線。顯然，這兩條直線的傾斜程度不同（圖1）。因此，一點(diǎn)和傾斜程度可以唯一確定一條直線的位置。
如何刻畫(huà)傾斜程度，這時(shí)自然引出直線的傾斜角的概念。很顯然，在平面直角坐標(biāo)系中，一點(diǎn)和傾斜角可以唯一確定一條直線。任意一條直線上的點(diǎn)的規(guī)律是：經(jīng)過(guò)其上任意兩點(diǎn)確定的傾斜角是相同的。下面我們就要刻畫(huà)這個(gè)規(guī)律，也就是逐步建立直線的代數(shù)表示——直線的方程。通過(guò)這樣的引入，學(xué)生對(duì)于為什么在建立直線的方程前，先學(xué)習(xí)直線的傾斜角和斜率有了一定的認(rèn)識(shí)。
二、刻畫(huà)直線斜率本質(zhì)上是建立直線方程的過(guò)程，它是解析法淋漓盡致的表現(xiàn)
傾斜角是一個(gè)幾何量，在直角坐標(biāo)系中如何刻畫(huà)它？教科書(shū)舉了生活中刻畫(huà)傾斜程度的例子——坡度。用升高量和前進(jìn)量之比表示坡度，這是自然的表示，也就是說(shuō)，坡度是傾斜角的正切值。但是坡度不會(huì)大于90°，按照傾斜角的定義，直線的傾斜角可以大于90°。這時(shí)，我們用傾斜角的正切值表示傾斜程度——斜率，即。這樣，我們建立了傾斜角與斜率的關(guān)系。但是，在平面直角坐標(biāo)系中僅僅這樣刻畫(huà)是不夠的，我們還需要把斜率坐標(biāo)化，用直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示直線的斜率。結(jié)合直角三角形、正切以及平行的有關(guān)知識(shí)，我們能夠推導(dǎo)出經(jīng)過(guò)任意兩點(diǎn)，，的直線的斜率公式（圖2）。
圖2
通過(guò)上面的過(guò)程，我們不難看出，用坐標(biāo)刻畫(huà)直線斜率的過(guò)程是解析法淋漓盡致的表現(xiàn)。從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，刻畫(huà)直線斜率的過(guò)程就是建立直線的點(diǎn)斜式方程的過(guò)程。即如果一條直線經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，在其上任取一點(diǎn)，那么由直線的斜率公式，通過(guò)刻畫(huà)不變量——斜率，我們可以得出直線的點(diǎn)斜式方程：。這種把直線看成點(diǎn)的軌跡，求其軌跡方程的過(guò)程，就是尋求其不變量，建立變量與不變量的數(shù)量關(guān)系的過(guò)程。以后我們根據(jù)圓、橢圓、雙曲線、拋物線的幾何特征，建立其方程的過(guò)程，也是抓住運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的不變量。但是這些不變量不是角度，而是某種距離，非常直觀、具體。不像直線的這種不變量——角度，需要探索、發(fā)現(xiàn)。因此，比之圓、橢圓、雙曲線、拋物線幾種曲線，盡管直線是非常簡(jiǎn)單的圖形，但其方程建立的過(guò)程，比其他稍顯復(fù)雜。通過(guò)上面過(guò)程的分析，學(xué)生對(duì)建立直線方程前，先講直線的傾斜角和斜率有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。
三、教材是溝通“學(xué)術(shù)形態(tài)”與 “教育形態(tài)”的橋梁，教學(xué)設(shè)計(jì)適切與否是教學(xué)成敗的關(guān)鍵
由上，我們不難得到這樣的結(jié)論：作為平面解析幾何的起始課，是非常難上的，特別是如何引入。從學(xué)術(shù)形態(tài)或知識(shí)內(nèi)容的角度看，這堂課非常簡(jiǎn)單。落實(shí)到知識(shí)點(diǎn)上，無(wú)非就是傾斜角的概念、斜率是傾斜角的正切值、過(guò)任意兩點(diǎn)的直線的斜率公式。但要把學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，成為教材，具體一堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)，進(jìn)而到一堂課的具體實(shí)施，需要發(fā)揮我們的主觀能動(dòng)性。因?yàn)閷W(xué)術(shù)形態(tài)的知識(shí)往往是演繹的，教育形態(tài)的知識(shí)兼有歸納和演繹。年級(jí)越低，歸納的成分越重；年級(jí)越高，演繹的成分越重。這就要求作為教學(xué)基本素材的教材，把握適當(dāng)?shù)?#8220;度”，成為溝通“學(xué)術(shù)形態(tài)”與“教育形態(tài)”的橋梁。一個(gè)重要的舉措是把教學(xué)設(shè)計(jì)的成分“糅”入到教材中，設(shè)置了“觀察”“思考”“探究”等諸多欄目，提出了大量具有思考價(jià)值的問(wèn)題，讓學(xué)生帶著問(wèn)題學(xué)習(xí)，盡可能展示知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程。教材中“確定直線位置的幾何要素→傾斜程度→傾斜角→斜率→過(guò)任意兩點(diǎn)的斜率公式”這個(gè)過(guò)程很好地體現(xiàn)了上述思想。
教材既不是完全學(xué)術(shù)形態(tài)的專著，也不是具體的每堂課教學(xué)設(shè)計(jì)的集合。如何落實(shí)教材的內(nèi)容、要求以及編寫(xiě)意圖，教師還需要一個(gè)再加工、再創(chuàng)造過(guò)程，也就是把它變成適合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的具體的教育形態(tài)——教學(xué)設(shè)計(jì)。使學(xué)生感受“數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)是清楚的，數(shù)學(xué)是水到渠成的”。把“冰冷的美麗”的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為“火熱的思考”的教育形態(tài)，用“火熱的思考”融化“冰冷的美麗”。
從這種角度把握這堂課的內(nèi)容，在教學(xué)設(shè)計(jì)中貫穿：（一）從直線上的點(diǎn)滿足的規(guī)律引進(jìn)直線的傾斜角，（二）刻畫(huà)直線斜率的本質(zhì)是建立直線方程的過(guò)程，它是解析法淋漓盡致的表現(xiàn)，那么這堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)是適切的，而且容量很大，思維層面也很高，解析幾何的思想方法能夠得到很好的體現(xiàn)。只有這樣，才能切實(shí)保證課堂的教學(xué)質(zhì)量和效益。
四、直線的斜率在高中數(shù)學(xué)課程中的地位作用
隨著后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，我們逐漸發(fā)現(xiàn)，一點(diǎn)和傾斜程度確定直線的很多應(yīng)用：直線的方向向量、直線的參數(shù)方程等等。另外，從加強(qiáng)知識(shí)內(nèi)容的聯(lián)系性，從不同角度看待同一數(shù)學(xué)內(nèi)容的角度看，如果把函數(shù)看作描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，那么從變化的角度看，直線是線性的，它描述的是均勻變化，是最簡(jiǎn)單的變化之一。即直線在某個(gè)區(qū)間聯(lián)系客服
