13世紀，意大利數(shù)學家斐波那契（Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo）在他的《算盤書》（Liber Abaci）中提出了一道免子繁殖問題。如果每對兔子(一雄一雌)每月能生殖一對小兔子(也是一雄一雌)，這些小兔子出生以后第二個月就能再生一對小兔，假定這些兔子都沒有死亡現(xiàn)象，從養(yǎng)剛出生的一對兔子開始算起，求12 個月以后會有兔子的對數(shù)。^[2]

根據(jù)問題，可以逐一列出每個月的兔子對數(shù)，如下表所示。^[2]

如果將每月的兔子數(shù)量以數(shù)列形式排列：這個數(shù)列就被稱為斐波那契數(shù)列，也稱為黃金分割數(shù)列。^[2][4]

1634年，此時距斐波那契去世已經(jīng)過去了400年，數(shù)學家吉拉德(A.Girard)發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列之間有如下遞推關(guān)系，也就是從第三個數(shù)開始，每個數(shù)等于前兩個數(shù)的和。^[4]

1680年，卡西尼(G.D.Cassini,1625一1712)發(fā)現(xiàn)了斐波那契數(shù)列項間的一個重要關(guān)系式：^[4]

18世紀初，棣美佛(A.de Moivre,1667一1754)在其所著《分析集錦》(MiscellaneaAnalytica)中，給出斐波那契數(shù)列的通項表達式。^[4]

它又稱為比內(nèi)公式，這是以最初證明它的法國數(shù)學家比內(nèi)(J.PMBinet，1786-1856)命名的，這是一個以無理數(shù)來表達有理數(shù)數(shù)列的通項公式。^[2][4]

1753年，西姆森(Simson,1687-1768)發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列中前后兩項之比是下面連分數(shù)的第n個漸進數(shù)。^[4]

1864年，法國數(shù)學家拉梅(GLame)利用斐波那契數(shù)列證明:應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除法(歐幾里得除法)的步數(shù)(即輾轉(zhuǎn)相除的次數(shù))不大于較小的那個數(shù)的位數(shù)的5倍。這是斐波那契數(shù)列的第一次有價值的應(yīng)用。在這之后，人們又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了斐波那契數(shù)列的諸多性質(zhì)，斐波那契數(shù)列也應(yīng)用于越來越多的場景，人們也意識到這是個非常重要的數(shù)列。^[4]

斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，指的是這樣一個數(shù)列。在數(shù)學上，斐波納契數(shù)列以如下遞歸形式定義，即前兩項為1，從第3項開始，每一項都等于前兩項之和。斐波那契數(shù)列的每一項都被稱為斐波那契數(shù)。^[2][4]

斐波那契數(shù)列的通項公式有多種表達形式。^[5]

斐波那契數(shù)列的通項公式可以使用如下表達式，這又稱為“比內(nèi)公式”，是以最初證明它的法國數(shù)學家比內(nèi)(J.PMBinet，1786-1856)命名的，該通項公式給出了生成斐波那契數(shù)的方法。^[2][4][3]

斐波那契數(shù)列的通項公式可以由以下n階行列式來表示。該行列式對應(yīng)的矩陣也被稱為斐波那契矩陣。^[5]

斐波那契數(shù)列還可以使用矩陣和向量乘積形式來表達，如下式所示。^[6]

,

事實上，由上述公式可知，若令，則^[6]

可見該形式蘊含了斐波那契數(shù)列的構(gòu)造方式。^[6]

斐波那契數(shù)列通項表達式還可通過楊輝(賈憲)三角表示。如右圖所示，如果把楊輝三角改寫一下，按照右圖所示連線，沿著各線上所有的數(shù)字分別相加，則^[7]

第一個數(shù)：1

第二個數(shù)：1

第三個數(shù)：1+1=2

第四個數(shù)：1+2=3

第五個數(shù)：1+4+3=8

這些數(shù)字構(gòu)成的數(shù)列恰好為斐波那契數(shù)列。因此，斐波那契數(shù)列與楊輝三角類似，同樣可以由組合數(shù)的和形式來表達，具體公式如下：^[7]

式中，表示的是不超過的最大正整數(shù)，并且。

由遞推形式可知，斐波那契數(shù)列是一個二階循環(huán)序列。所謂的二階循環(huán)序列，指的是從第三項開始，每一項可以表示前兩項的線性組合。^[8]

且多項式稱為該數(shù)列的特征多項式，如果該多項式存在兩個不同的根，根據(jù)二階差分方程的性質(zhì)，該二階循環(huán)序列的通項公式可由線性組合來表示。^[8]

利用上述結(jié)論可以證明比內(nèi)公式是斐波那契數(shù)列的通項公式。^[8]

顯然，斐波那契數(shù)列也就是系數(shù)a₁和a₂均取1的情況，因此為斐波那契數(shù)列的特征多項式。^[8]

是該特征多項式的兩個根。^[8]

則斐波那契數(shù)列的通項公式可以由以下形式表達，^[8]

代入數(shù)列的前兩項可解得^[8]

從而^[8]

斐波那契數(shù)列具有非常多的性質(zhì)，以下列出其中的一部分。^[4][9]

（前n項和）

（偶數(shù)項和）

（奇數(shù)項和）

（正負相間項和）

如右圖所示，把一條線段分成兩段，使其滿足，這被稱為黃金分割。線段AC的長度為被稱為黃金分割數(shù)。^[16]

黃金分割數(shù)是自然之美的一種概括，在自然界和人類本身都能體現(xiàn)這種比例。例如，人的肚臍的高度差不多就是人身高的 0.618。黃金分割數(shù)蘊含的美學概念在古希臘就已經(jīng)為人所運用，如希臘時期的巴特農(nóng)神殿其高與寬的比例正好是 0.618，埃及金字塔的側(cè)棱線與底線的比例也正好是0.618。除了建筑，黃金分割還廣泛應(yīng)用于繪畫、攝影、音樂等領(lǐng)域中。^[17][18]

斐波那契數(shù)列與黃金分割數(shù)有著緊密的聯(lián)系，例如在比內(nèi)公式中就出現(xiàn)了黃金分割數(shù)，此外，前后兩項的斐波那契數(shù)之比的極限恰好為黃金分割數(shù)。斐波那契數(shù)列在自然界中的廣泛分布，與其蘊含的這種聯(lián)系密不可分。^[17][18]

如果一個矩形的長寬比為黃金分割數(shù)，該矩形被稱為黃金矩形。如右圖所示，首先在黃金矩形內(nèi)部取最大的正方形，并將其去掉，則余下的矩形同樣為黃金矩形，繼續(xù)上述操作，并按照右圖方式繪制正方形的內(nèi)接四分之一圓，將這些圓以此連接可以得到一條螺旋線，被稱為黃金螺旋線。在很多植物、動物的軀體構(gòu)造中都能看到黃金螺旋線的身影。^[18]

在自然界中，斐波那契數(shù)列廣泛存在于許多事物中。例如，同一種植物的葉子在莖上呈現(xiàn)相同的周期性排列規(guī)律，對于榆樹來說每兩片葉子繞莖一圈為一個周期，可記為1/2；類似的，櫻桃每五片葉子繞莖兩圈為一個周期，可記為2/5；這些數(shù)字恰好為斐波那契數(shù)列的第n項與第n+2項之比，許多植物的莖葉排布與這個規(guī)律有關(guān)。在生物學中，有一條“魯?shù)戮S格定律”，描述的是樹木生長過程中各個年份的枝條數(shù)，這與兔子問題類似，也構(gòu)成斐波那契數(shù)列。此外，植物的花瓣、葉子、花蕊的數(shù)目大多數(shù)都為3、5、8、13這類斐波那契數(shù)列中的項，例如，梅花有5片花瓣，萬壽菊的花瓣有 13 片等等。除此之外，菠蘿表面的鱗片分布、仙人掌的結(jié)構(gòu)、向日葵種子的排列方式等存在關(guān)聯(lián)。不單是植物，一些動物的行為也與斐波那契數(shù)列有關(guān)，如蜜蜂進蜂房，雄峰家系每一代的數(shù)量等。^[2]

數(shù)學中的許多問題也與斐波那契數(shù)列有關(guān)，以下面的爬梯子問題為例，對于一個有十級臺階的樓梯，規(guī)定每一步只能跨一級或者兩級臺階，求爬完這個樓梯的方法數(shù)量。分析可知，爬上一級臺階只有一種方法，二級臺階有兩種方法，三級臺階有三種方法，四級臺階有五種方法，五級臺階有八種方法，六級臺階有十三種，以此類推，爬完一個n級臺階的方法數(shù)量恰好呈斐波那契數(shù)列排布（從第二項開始）。^[2]

在代數(shù)中，使用迭代的方法求得方程的正近似解恰好依次為其分子、分母均構(gòu)成一個斐波那契數(shù)列。在古典概率中，對于下列拋硬幣問題：連續(xù)拋一枚硬幣,直到連出兩次正面為止，求發(fā)生在第n次拋擲時出現(xiàn)的可能序列數(shù)目。經(jīng)過分析，序列的數(shù)目隨著n的遞增同樣呈現(xiàn)斐波那契數(shù)列排布。^[19]

1984年，美國科學家謝赫特曼(D.Shechtman)等人宣布在一種材料中發(fā)現(xiàn)了準晶體結(jié)構(gòu)，這改變了經(jīng)典晶體學中傳統(tǒng)的物態(tài)理論，即自然界中不存在介于晶體和玻璃體的中間形式，從此開拓了一個嶄新的研究領(lǐng)域。研究發(fā)現(xiàn)，準晶體產(chǎn)生的準周期性明銳衍射斑點分布與斐波那契數(shù)列也存在一定關(guān)聯(lián)。^[20]

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