在人類的知識寶庫中有三大類科學(xué)，即自然科學(xué)、社會科學(xué)、認(rèn)識和思維的科學(xué)。自然科學(xué)又分為數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、天文學(xué)、地理學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、農(nóng)學(xué)、醫(yī)學(xué)等學(xué)科。數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的一種，是其它科學(xué)的基礎(chǔ)和工具。在世界上的幾百卷百科全書中，它通常
是處于第一卷的地位。
從本質(zhì)上看，數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)?；蚝唵沃v，數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的科學(xué)。對這里的數(shù)與形應(yīng)作廣義的理解，它們隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，而不斷取得新的內(nèi)容，不斷擴大著內(nèi)涵。
數(shù)學(xué)來源于人類的生產(chǎn)實踐活動，即來源于原始人捕獲獵物和分配獵物、丈量土地和測量容積、計算時間和制造器皿等實踐，并隨著人類社會生產(chǎn)力的發(fā)展而發(fā)展。對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的人們來講，可以從三個大的發(fā)展時期來大致了解數(shù)學(xué)的發(fā)展。
一、初等數(shù)學(xué)時期
初等數(shù)學(xué)時期是指從原始人時代到17世紀(jì)中葉，這期間數(shù)學(xué)研究的主要對象是常數(shù)、常量和不變的圖形。
在這一時期，數(shù)學(xué)經(jīng)過漫長時間的萌芽階段，在生產(chǎn)的基礎(chǔ)上積累了豐富的有關(guān)數(shù)和形的感性知識。到了公元前六世紀(jì)，希臘幾何學(xué)的出現(xiàn)成為第一個轉(zhuǎn)折點，數(shù)學(xué)從此由具體的、實驗的階段，過渡到抽象的、理論的階段，開始創(chuàng)立初等數(shù)學(xué)。此后又經(jīng)過不斷的發(fā)展和交流，最后形成了幾何、算術(shù)、代數(shù)、三角等獨立學(xué)科。這一時期的成果可以用“初等數(shù)學(xué)”(即常量數(shù)學(xué))來概括，它大致相當(dāng)于現(xiàn)在中小學(xué)數(shù)學(xué)課的主要內(nèi)容。
世界上最古老的幾個國家都位于大河流域：黃河流域的中國；尼羅河下游的埃及；幼發(fā)拉底河與底格里斯河的巴比倫國；印度河與恒河的印度。這些國家都是在農(nóng)業(yè)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，從事耕作的人們?nèi)粘龆?、日落而息，因此他們就必須掌握四季氣候變遷的規(guī)律。游牧民族的遷徙，也要辨清方向：白天以太陽為指南，晚上以星月為向?qū)?。因此，在世界各民族文化發(fā)展的過程中，天文學(xué)總是發(fā)展較早的科學(xué)，而天文學(xué)又推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展。
隨著生產(chǎn)實踐的需要，大約在公元前3000年左右，在四大文明古國—巴比倫、埃及、中國、印度出現(xiàn)了萌芽數(shù)學(xué)。
現(xiàn)在對于古巴比倫數(shù)學(xué)的了解主要是根據(jù)巴比倫泥版，這些泥版是在膠泥還軟的時候刻上字，然后曬干制成的(早期是一種斷面呈三角形的“筆”在泥版上按不同方向刻出楔形刻痕，叫楔形文字)。
已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的泥版上面載有數(shù)字表(約200件)和一批數(shù)學(xué)問題(約100件)，大致可以分為三組。第一組大約創(chuàng)制于公元前2100年，第二組大約從公元前1792年到公元前1600年，第三組大約從公元前600年到公元300年。
這些數(shù)學(xué)泥版表明，巴比倫自公元前2000年左右即開始使用60進(jìn)位制的記數(shù)法進(jìn)行較復(fù)雜的計算了，并出現(xiàn)了60進(jìn)位的分?jǐn)?shù)，用與整數(shù)同樣的法則進(jìn)行計算；已經(jīng)有了關(guān)于倒數(shù)、乘法、平方、立方、平方根、立方根的數(shù)表；借助于倒數(shù)表，除法常轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行計算。公元前300年左右，已得到60進(jìn)位的達(dá)17位的大數(shù)；一些應(yīng)用問題的解法，表明已具有解一次、二次(個別甚至有三次、四次)數(shù)字方程的經(jīng)驗公式；會計算簡單直邊形的面積和簡單立體的體積，并且可能知道勾股定理的一般形式。巴比倫人對于天文、歷法很有研究，因而算術(shù)和代數(shù)比較發(fā)達(dá)。巴比倫數(shù)學(xué)具有算術(shù)和代數(shù)的特征，幾何只是表達(dá)代數(shù)問題的一種方法。這時還沒有產(chǎn)生數(shù)學(xué)的理論。
對埃及古代數(shù)學(xué)的了解，主要是根據(jù)兩卷紙草書。紙草是尼羅河下游的一種植物，把它的莖制成薄片壓平后，用“墨水”寫上文字(最早的是象形文字)。同時把許多張紙草紙粘在一起連成長幅，卷在桿干上，形成卷軸。已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的一卷約寫于公元前1850年，包含25個問題(叫“莫斯科紙草文書”，現(xiàn)存莫斯科)；另一卷約寫于公元前1650年，包含85個問題(叫“萊因德紙草文書”，是英國人萊因德于1858年發(fā)現(xiàn)的)。
從這兩卷文獻(xiàn)中可以看到，古埃及是采用10進(jìn)位制的記數(shù)法，但不是位值制，而是所謂的“累積法”。正整數(shù)運算基于加法，乘法是通過屢次相加的方法運算的。除了幾個特殊分?jǐn)?shù)之外，所有分?jǐn)?shù)均極化為分子是一的“單位分?jǐn)?shù)”之和，分?jǐn)?shù)的運算獨特而又復(fù)雜。許多問題是求解未知數(shù)，而且多數(shù)是相當(dāng)于現(xiàn)在一元一次方程的應(yīng)用題。利用了三邊比為3：4：5的三角形測量直角。
埃及人的數(shù)學(xué)興趣是測量土地，幾何問題多是講度量法的，涉及到田地的面積、谷倉的容積和有關(guān)金字塔的簡易計算法。但是由于這些計算法是為了解決尼羅河泛濫后土地測量和谷物分配、容量計算等日常生活中必須解決的課題而設(shè)想出來的，因此并沒有出現(xiàn)對公式、定理、證明加以理論推導(dǎo)的傾向。埃及數(shù)學(xué)的一個主要用途是天文研究，也在研究天文中得到了發(fā)展。
中國古代數(shù)學(xué)將在后面的作專門介紹。印度在7世紀(jì)以前缺乏可靠的數(shù)學(xué)史料，在此略去不論?？偟恼f來，萌芽階段是數(shù)學(xué)發(fā)展過程的漸變階段，積累了最初的、零碎的數(shù)學(xué)知識。
由于地理位置和自然條件，古希臘受到埃及、巴比倫這些文明古國的許多影響，成為歐洲最先創(chuàng)造文明的地區(qū)。在公元前775年左右，希臘人把他們用過的各種象形文字書寫系統(tǒng)改換成腓尼基人的拼音字母后，文字變得容易掌握，書寫也簡便多了。因此希臘人更有能力來記載他們的歷史和思想，發(fā)展他們的文化了。古代西方世界的各條知識支流在希臘匯合起來，經(jīng)過古希臘哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家的過濾和澄清，形成了長達(dá)千年的燦爛的古希臘文化。從公元前6世紀(jì)到公元4世紀(jì)，古希臘成了數(shù)學(xué)發(fā)展的中心。
希臘數(shù)學(xué)大體可以分為兩個時期。
第一個時期開始于公元前6世紀(jì)，結(jié)束于公元前4世紀(jì)，通稱為古典時期。泰勒斯開始了命題的邏輯證明；畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對比例論、數(shù)論等所謂“幾何化代數(shù)”作了研究，據(jù)說非通約量也是由這個學(xué)派發(fā)現(xiàn)的。進(jìn)入公元前5世紀(jì)，愛利亞學(xué)派的芝諾提出了四個關(guān)于運動的悖論；研究“圓化方”的希波克拉茨開始編輯《原本》。從此，有許多學(xué)者研究“三大問題”，有的試圖用“窮竭法”去解決化圓為方的問題。柏拉圖強調(diào)幾何對培養(yǎng)邏輯思維能力的重要作用；亞里士多德建立了形式邏輯，并且把它作為證明的工具；德謨克利特把幾何量看成是由許多不可再分的原子所構(gòu)成。
公元前四世紀(jì)，泰埃特托斯研究了無理量理論和正多面體理論，歐多克斯完成了適用于各種量的一般比例論……。“證明數(shù)學(xué)”的形成是這一時期希臘數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。但遺憾的是這一時期并沒有留下較為完整的數(shù)學(xué)書稿。
第二個時期自公元前4世紀(jì)末至公元1世紀(jì)，這時的學(xué)術(shù)中心從雅典轉(zhuǎn)移到了亞歷山大里亞，因此被稱為亞歷山大里亞時期。這一時期有許多水平很高的數(shù)學(xué)書稿問世，并一直流傳到了現(xiàn)在。
公元前3世紀(jì)，歐幾里得寫出了平面幾何、比例論、數(shù)論、無理量論、立體幾何的集大成的著作《幾何原本》，第一次把幾何學(xué)建立在演繹體系上，成為數(shù)學(xué)史乃至思想史上一部劃時代的名著。遺憾的是，人們對歐幾里得的生活和性格知道得很少，甚至連他的生卒年月和地點都不清楚。估計他大約生于公元前330年，很可能在雅典的柏拉圖學(xué)園受過數(shù)學(xué)訓(xùn)練，后來成為亞歷山大里亞大學(xué)(約建成于公元前300年)的數(shù)學(xué)教授和亞歷山大數(shù)學(xué)學(xué)派的奠基人。
之后的阿基米德把抽象的數(shù)學(xué)理論和具體的工程技術(shù)結(jié)合起來，根據(jù)力學(xué)原理去探求幾何圖形的面積和體積，第一個播下了積分學(xué)的種子。阿波羅尼寫出了《圓錐曲線》一書，成為后來研究這一問題的基礎(chǔ)。公元一世紀(jì)的赫倫寫出了使用具體數(shù)解釋求積法的《測量術(shù)》等著作。二世紀(jì)的托勒密完成了到那時為止的數(shù)理天文學(xué)的集大成著作《數(shù)學(xué)匯編》，結(jié)合天文學(xué)研究三角學(xué)。三世紀(jì)丟番圖著《算術(shù)》，使用簡略號求解不定方程式等問題，它對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響僅次于《幾何原本》。希臘數(shù)學(xué)中最突出的三大成就——歐幾里得的幾何學(xué)，阿基米德的窮竭法和阿波羅尼的圓錐曲線論，標(biāo)志著當(dāng)時數(shù)學(xué)的主體部分——算術(shù)、代數(shù)、幾何基本上已經(jīng)建立起來了。
羅馬人征服了希臘也摧毀了希臘的文化。公元前47年，羅馬人焚毀了亞歷山大里亞圖書館，兩個半世紀(jì)以來收集的藏書和50萬份手稿競付之一炬?；浇掏接址贇Я巳麆诋吽股駨R，大約30萬種手稿被焚。公元640年，回教徒征服埃及，殘留的書籍被阿拉伯征服者歐默下令焚毀。由于外族入侵和古希臘后期數(shù)學(xué)本身缺少活力，希臘數(shù)學(xué)衰落了。
從5世紀(jì)到15世紀(jì)，數(shù)學(xué)發(fā)展的中心轉(zhuǎn)移到了東方的印度、中亞細(xì)亞、阿拉伯國家和中國。在這1000多年時間里，數(shù)學(xué)主要是由于計算的需要，特別是由于天文學(xué)的需要而得到迅速發(fā)展。和以前的希臘數(shù)學(xué)家大多數(shù)是哲學(xué)家不同，東方的數(shù)學(xué)家大多數(shù)是天文學(xué)家。從公元6世紀(jì)到17世紀(jì)初，初等數(shù)學(xué)在各個地區(qū)之間交流，并且取得了重大進(jìn)展。
古希臘的數(shù)學(xué)看重抽象、邏輯和理論，強調(diào)數(shù)學(xué)是認(rèn)識自然的工具，重點是幾何；而古代中國和印度的數(shù)學(xué)看重具體、經(jīng)驗和應(yīng)用，強調(diào)數(shù)學(xué)是支配自然的工具，重點是算術(shù)和代數(shù)。大約在公元前1000年，印度的數(shù)學(xué)家戈涅西已經(jīng)知道：圓的面積等于以它的半周長為底，以它的半徑為高的矩形的而積。
印度早期的一些數(shù)學(xué)成就是與宗教教儀一同流傳下來的，這包括勾股定理和用單位分?jǐn)?shù)表示某些近似值(公元的6世紀(jì))。公元前500年左右，波斯王征服了印度一部分土地，后來的印度數(shù)學(xué)就受到了外國的影響。數(shù)學(xué)作為一門學(xué)科確立和發(fā)展起來，還是在作為吠陀輔學(xué)的歷法學(xué)受到天文學(xué)的影響之后的事。印度數(shù)學(xué)受婆羅門教的影響很大，此外還受希臘、中國和近東數(shù)學(xué)的影響，特別是受中國的影響。
印度數(shù)學(xué)的全盛時期是在公元五至十二世紀(jì)之間。在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中，499年阿耶波多著的天文書《圣使策》的第二章，已開始把數(shù)學(xué)作為一個學(xué)科體系來討論。628年婆羅門這多(梵藏)著《梵圖滿手冊》，講解對模式化問題的解法，由基本演算和實用算法組成；講解正負(fù)數(shù)、零和方程解法，由一元一次方程、一元二次方程、多元一次方程等組成。已經(jīng)有了相當(dāng)于未知數(shù)符號的概念，能使用文字進(jìn)行代數(shù)運算。這些都匯集在婆什迦羅1150年的著作中，后來沒有很大發(fā)展。
印度數(shù)學(xué)文獻(xiàn)是用極簡潔的韻文書寫的，往往只有計算步驟而沒有證明。印度數(shù)學(xué)書中用10進(jìn)位記數(shù)法進(jìn)行計算；在天文學(xué)書中不用希臘人的“弦”，而向相當(dāng)于三角函數(shù)的方向發(fā)展。這兩者都隨著天文學(xué)一起傳入了阿拉伯世界，而現(xiàn)行的“阿拉伯?dāng)?shù)碼”就源于印度，應(yīng)當(dāng)稱為“印度—阿拉伯?dāng)?shù)碼”。
阿拉伯人的祖先是住在現(xiàn)今阿拉伯半島的游牧民族。他們在穆罕默德的領(lǐng)導(dǎo)下統(tǒng)一起來，并在他死(632年)后不到半個世紀(jì)內(nèi)征服了從印度到西班牙的大片土地，包括北部非洲和南意大利。阿拉伯文明在1000年前后達(dá)到頂點，在1100年到1300年間，東部阿拉伯世界先被基督教十字軍打擊削弱，后來又遭到了蒙古人的蹂躪。1492年西部阿拉伯世界被基督教教徒征服，阿拉伯文明被推毀殆盡。
阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)指阿拉伯科學(xué)繁榮時期(公元8至15世紀(jì))在阿拉伯語的文獻(xiàn)中看到的數(shù)學(xué)。七世紀(jì)以后，阿拉伯語言不僅是阿拉伯國家的語言，而且成為近東、中東、中亞細(xì)亞許多國家的官方語言。阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)有三個特點：實踐性；與天文學(xué)有密切關(guān)系；對古典著作做大量的注釋。它的表現(xiàn)形式和寫文章一樣，不用符號，連數(shù)目也用阿拉伯語的數(shù)詞書寫，而“阿拉伯?dāng)?shù)字”僅用于實際計算和表格。
對于阿拉伯文化來說，數(shù)學(xué)是外來的學(xué)問，在伊斯蘭教創(chuàng)立之前，只有極簡單的計算方法。七世紀(jì)時，通過波斯傳進(jìn)了印度式計算法。后來開始翻譯歐幾里得、阿基米得等人的希臘數(shù)學(xué)著作?；ɡ幽Ｖ摹洞鷶?shù)學(xué)》成為阿拉伯代數(shù)學(xué)的范例。在翻譯時代(大約850年之前)過去之后，是眾多數(shù)學(xué)家表現(xiàn)創(chuàng)造才能著書立說的時代(1200年之前)。梅雅姆、納速·拉丁、阿爾·卡西等等，使阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)在11世紀(jì)達(dá)到頂點。
阿拉伯人改進(jìn)了印度的計數(shù)系統(tǒng)，“代數(shù)”的研究對象規(guī)定為方程論；讓幾何從屬于代數(shù)，不重視證明；引入正切、余切、正割、余割等三角函數(shù)，制作精密的三角函數(shù)表，發(fā)現(xiàn)平面三角與球面三角若干重要的公式，使三角學(xué)脫離天文學(xué)獨立出來。1200年之后，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)進(jìn)入衰退時期。初期的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)在12世紀(jì)被譯為拉丁文，通過達(dá)·芬奇等傳播到西歐，使西歐人重新了解到希臘數(shù)學(xué)。
在西歐的歷史上，“中世紀(jì)”一般是指從5世紀(jì)到14世紀(jì)這—時期。從5世紀(jì)到11世紀(jì)這個時期稱為歐洲的黑暗時代，除了制定教歷外，在數(shù)學(xué)上沒什么成就。12世紀(jì)成了翻譯者的世紀(jì)，古代希臘和印度等的數(shù)學(xué)，通過阿拉伯向西歐傳播。13世紀(jì)前期，數(shù)學(xué)在一些大學(xué)興起。斐波那契著《算盤書》、《幾何實用》等書，在算術(shù)、初等代數(shù)、幾何和不定分析方面有獨創(chuàng)的東西。14世紀(jì)黑死病流行，“百年戰(zhàn)爭”開始，相對地是數(shù)學(xué)上的不毛之地。奧雷斯姆第一次使用分?jǐn)?shù)指數(shù)，還用坐標(biāo)確定點的位置。
15世紀(jì)開始了歐洲的文藝復(fù)興。隨著拜占庭帝國的瓦解，難民們帶著希臘文化的財富流入意大利。大約在這個世紀(jì)的中葉，受中國人發(fā)明的影響，改進(jìn)了印刷術(shù)，徹底變革了書籍的出版條件，加速了知識的傳播。在這個世紀(jì)末，哥倫布發(fā)現(xiàn)了美洲，不久麥哲倫船隊完成了環(huán)球航行。在商業(yè)、航海、天文學(xué)和測量學(xué)的影響下，西歐作為初等數(shù)學(xué)的最后一個發(fā)展中心，終于后來居上。
15世紀(jì)的數(shù)學(xué)活動集中在算術(shù)、代數(shù)和三角方面?？娎盏拿度侨珪肥菤W洲人對平面和球面三角學(xué)所作的獨立于天文學(xué)的第一個系統(tǒng)的闡述。
16世紀(jì)最壯觀的數(shù)學(xué)成就是塔塔利亞、卡爾達(dá)諾、拜別利等發(fā)現(xiàn)三次和四次方程的代數(shù)解法，接受了負(fù)數(shù)并使用了虛數(shù)。16世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家是韋達(dá)，他寫了許多關(guān)于三角學(xué)、代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)的著作，其中最著名的《分析方法入門》改進(jìn)了符號，使代數(shù)學(xué)大為改觀；斯蒂文創(chuàng)設(shè)了小數(shù)；雷提庫斯是把三角函數(shù)定義為直角三角形的邊與邊之比的第一個人，他還雇用了一批計算人員，花費12年時間編制了兩個著名的、至今尚有用的三角函數(shù)表。其中一個是間隔為10'、10位的6種三角函數(shù)表，另一個是間隔為10'、15位的正弦函數(shù)表，并附有第一、第二和第三差。
由于文藝復(fù)興引起的對教育的興趣和商業(yè)活動的增加，一批普及的算術(shù)讀本開始出現(xiàn)。到16世紀(jì)末，這樣的書不下三百種?！埃?、“—”、“＝”等符號開始出現(xiàn)。
17世紀(jì)初，對數(shù)的發(fā)明是初等數(shù)學(xué)的一大成就。1614年，耐普爾首創(chuàng)了對對數(shù)，1624年布里格斯引入了相當(dāng)于現(xiàn)在的常用對數(shù)，計算方法因而向前推進(jìn)了一大步。
初等數(shù)學(xué)時期也可以按主要學(xué)科的形成和發(fā)展分為三個階段：萌芽階段，公元前6世紀(jì)以前；幾何優(yōu)先階段，公元前5世紀(jì)到公元2世紀(jì)；代數(shù)優(yōu)先階段，3世紀(jì)到17世紀(jì)前期。至此，初等數(shù)學(xué)的主體部分——算術(shù)、代數(shù)與幾何已經(jīng)全部形成，并且發(fā)展成熟。
聯(lián)系客服
