花拉子米
大連理工大學 杜瑞芝
花拉子米(al-Khwārizmi，Abū Ja'far Muhammad IbnMūsā) 約公元783年生；約公元850年卒．數(shù)學、天文學、地理學．
阿布·賈法爾·穆罕默德·伊本·穆薩·阿爾—花拉子米的傳記材料，很少流傳下來．一般認為他生于花拉子模[Khwarizm，位于阿姆河下游，今烏茲別克境內(nèi)的希瓦城(Хива)附近]，故以花拉子米為姓．另一說他生于巴格達附近的庫特魯伯利(Qut-rubbullī)．祖先是花拉子模人．花拉子米是拜火教徒的后裔，早年在家鄉(xiāng)接受初等教育，后到中亞細亞古城默夫(Мерв)繼續(xù)深造，并到過阿富汗、印度等地游學，不久成為遠近聞名的科學家．東部地區(qū)的總督馬蒙(al-Ma’mūn，公元786—833年)曾在默夫召見過花拉子米．公元813年，馬蒙成為阿拔斯王朝的哈利發(fā)后，聘請花拉子米到首都巴格達工作．公元830年，馬蒙在巴格達創(chuàng)辦了著名的“智慧館”(Bayt al-Hikmah，是自公元前3世紀亞歷山大博物館之后最重要的學術(shù)機關(guān))，花拉子米是智慧館學術(shù)工作的主要領(lǐng)導人之一．馬蒙去世后，花拉子米在后繼的哈利發(fā)統(tǒng)治下仍留在巴格達工作，直至去世．花拉子米生活和工作的時期，是阿拉伯帝國的政治局勢日漸安定、經(jīng)濟發(fā)展、文化生活繁榮昌盛的時期．
花拉子米科學研究的范圍十分廣泛，包括數(shù)學、天文學、歷史學和地理學等領(lǐng)域．他撰寫了許多重要的科學著作．
在數(shù)學方面，花拉子米編著了兩部傳世之作：《代數(shù)學》和《印度的計算術(shù)》．
代數(shù)學的內(nèi)容和方法是自古以來逐漸形成的．早在古埃及阿默士的紙草書中就已經(jīng)出現(xiàn)屬于一元一次方程的問題．巴比倫人也知道某些二次方程的解法．在漢穆拉比時代的泥板中巳有二次方程的問題，從中可以看出從算術(shù)到代數(shù)的過渡．代數(shù)學在希臘時代得到重大發(fā)展，其代表人物是丟番圖(Diophantus)．他的著作《算術(shù)》(Arithmetica)中的大部分內(nèi)容可劃入代數(shù)的范圍．書中出現(xiàn)了符號的運算法則和用字母表示的未知數(shù)，解決了某些二次方程、特殊的三次方程和大量的不定方程問題．公元7—8世紀，印度數(shù)學獲得了可觀的發(fā)展．印度數(shù)學家婆羅摩笈多(Brahmagupta)給出了二次方程的一個求根公式．二次方程的一般解法是花拉子米在他的《代數(shù)學》中首先給出的．
《代數(shù)學》大約寫于公元820年，有多種版本流傳下來．比較重要的有兩種；一種是抄錄于1342年的阿拉伯文手稿，現(xiàn)存牛津大學圖書館，1831年由F．羅森(Rosen)譯成英文，在倫敦出版了它的阿—英對照本；另一種是L．Ch．卡平斯基(Karpinski)根據(jù)著名翻譯家切斯特的羅伯特(Robert of Chester)1145年翻譯的《代數(shù)學》拉丁文譯本編譯的．
《代數(shù)學》的阿拉伯文書名是‘ilm al-jabr wa’l muqabalah，直譯應為《還原與對消的科學》．a(chǎn)l-jabr 意為“還原”，這里指把負項移到方程另一端“還原”為正項；muqabalah 意即“對消”或“化簡”，指方程兩端可以消去相同的項或合并同類項．一般認為拉丁文中代數(shù)學一詞algebra是由al-jabr演變而來．
在《代數(shù)學》中，花拉子米用十分簡單的例題講述了解一次和二次方程的一般方法．他的作法實質(zhì)上已經(jīng)把代數(shù)學作為一門關(guān)于解方程的科學來研究，只是其研究形式與現(xiàn)代的不同．該書包括三部分：第一部分講述現(xiàn)代意義下的初等代數(shù)，第二部分列舉各種實用算術(shù)問題，最后一部分是關(guān)于續(xù)承遺產(chǎn)的應用問題．
在第一部分里，作者系統(tǒng)地討論了一、二次方程的解法．他給出六種類型的標準方程，這些方程由三種量組成：(1)根(jadhr，指植物的根或事物的根本)或一堆“東西”(Shay’)；(2)根自乘的結(jié)果，即根的平方(māl，也表示財產(chǎn)或貨幣的和)；(3)簡單數(shù)或稱“迪拉姆”(dirham，阿拉伯貨幣單位)．現(xiàn)在把解方程求未知量叫做求根就是來源于此．花拉子米完全用文字來表述，書中沒有出現(xiàn)任何字母和縮寫符號．為了明確起見，下面用現(xiàn)代符號來表示花拉子米論述的六種類型方程：
(1)“平方”等于“根” ax2=bx．
(2)“平方”等于“數(shù)” ax2=c．
(3)“根”等于“數(shù)” bx=c．
(4)“平方”和“根”等于“數(shù)” ax2+bx=c．
(5)“平方”和“數(shù)”等于“根” ax2+c=bx．
(6)“根”和“數(shù)”等于“平方” bx+c=ax2．
以上a，b，c都是正數(shù)．對于每種類型的方程的解法，花拉子米都給出具體例子．例如對于第四種類型的方程，花拉子米的例題是“一個平方數(shù)及其根的10倍等于39個迪拉姆”．他把求解過程敘述為：“取根的數(shù)目的一半，在這里就是5，將它自乘得25，把它同39相加得64，開方等于8，再減去根數(shù)的一半，即5，等于3．這就是根．”下面用現(xiàn)代符號表示該方程及求解過程：
這種解法相當于給出方程x2+px=q的一個求根公式
花拉子米放棄了負根．
在解第五種類型的方程x2+21=10x時，花拉子米求出了兩個根，相當于
在數(shù)學史上，他是最早認識到二次方程有兩個根的數(shù)學家．在這方面，花拉子米比希臘人和印度人有明顯的進步．他還特別指出，當根的數(shù)目之半自乘的結(jié)果小于自由項時，開平方是不可能的，此時方程無根．這相當于指出我們現(xiàn)在稱之為判別式的必須非負的條件．
在論述了六種典型方程的解法之后，花拉子米又用幾何方法給出它們的證明．這些證明無疑受到希臘幾何學的影響，有的似乎是歐幾里得《幾何原本》中有關(guān)命題的翻版．
例如，對于方程x2+10x=39的根的正確性，花拉子米給出了兩種不同的幾何證明．第一種證法是在邊長為x的正方形的四個邊上向外作邊
正方形的面積等于x2+10x+25，即64(因為由已知方程知x2+10x=39)，
證法是在邊長為x的正方形的兩個相鄰邊上作邊長為x和5的矩形，然后把圖形補充為完整的大正方形(圖2)．
在幾何證明之后，花拉子米建立了兩種變換——“還原”與“對消”．他指出，經(jīng)過這兩種變換，一般形式的一次和二次方程就能化成已經(jīng)討論過的六種標準方程．當然，這些變換都是用文字敘述的．花拉子米以問題“把10分為兩部分，使其平方之和等于58”為例來說明這兩種變換．這個問題相當于方程
x2+(10-x)2=58(1)
或 2x2+100-20x=58．(2)
接下去作者指出：“100和兩個平方減去20個根，即100和兩個平方等于58和20個根”這段話的意思是，方程(2)左端的“-20x”移到方程右端，應變?yōu)椤?20x”．花拉子米稱這種變換為al-jabr(即“還原”)．這樣一來，方程(2)變成
2x2+100=58+20x，(3)
即 x2+50=29+10x．(4)
花拉子米又對方程(4)施行“對消”變換——“從50中減去29，則平方和21等于10個根”，于是(4)化為x2+21=10x，屬于第五種類型方程．花拉子米稱后一種變換為muqabalah(即“對消”)．
“還原”與“對消”是花拉子米提出的解方程的基本變形法則．從此以后，解方程的概念逐步明朗起來．這兩種變形法則被長期沿用下來，成為現(xiàn)在的移項與合并同類項．
在花拉子米所列舉的各種實際問題中，還出現(xiàn)了相當于現(xiàn)代二元二次方程(或分式方程)組的情形．如用現(xiàn)代符號表示，他的問題中的第一個條件相當于方程x+y=10，而依據(jù)第二個條件可分別列出下列方程：
x·y=21，
x2-y2=40，
x2+y2+(x-y)=54，
不過，他并沒有明確地給出第二個未知量，而是用“一個東西”和“10減去一個東西”來代替．事實上，上述方程組都很容易化為一元二次方程．
《代數(shù)學》中還用大量例子闡明代數(shù)式的運算法則，如單項式乘二項式，兩個二項式相乘，同類根式的乘除法，等等．
關(guān)于花拉子米撰寫《代數(shù)學》一書所受的學術(shù)影響以及資料來源等問題，至今尚未搞清．首先，花拉子米似乎沒有受印度代數(shù)的影響．印度數(shù)學家并未給出方程的根的幾何論證．他們解二次方程也沒有區(qū)分出第四、五、六種類型．花拉子米之所以把一次、二次方程分為六種類型，讓其系數(shù)a，b，c總是正數(shù)，是為了避免單獨出現(xiàn)負數(shù)或減數(shù)大于被減數(shù)的情形．他認識到二次方程有兩個根，但只取正根．對于負根和零根，一概摒棄．此外，《代數(shù)學》中完全用文字敘述，沒有出現(xiàn)符號．在對負數(shù)的認識和使用符號等方面，花拉子米比印度數(shù)學家有明顯的退步．花拉子米關(guān)于二次方程的根的幾何論證法似乎受到希臘幾何學的影響，但是他的論證方法又在本質(zhì)上區(qū)別于歐幾里得(Euclid)《幾何原本》中的代數(shù)幾何學．花拉子米引入后三種典型方程的許多問題與丟番圖《算術(shù)》中的問題相似，例如形如
的問題．但是他們解決問題的途徑不同．事實上，丟番圖著作的第一批阿拉伯文譯本是在花拉子米去世后才出現(xiàn)的，因此花拉子米很難受到丟番圖的影響．科學史家推測①，花拉子米可能通曉中東、近東、巴比倫以及古希臘羅馬的科學遺產(chǎn)，在此基礎(chǔ)上寫出了獨具風格的代數(shù)著作．至于al-jabr一詞，可能來源于亞述語中的有關(guān)術(shù)語，而后者又源于古巴比倫語中的表示兩件東西相等的詞語．
《代數(shù)學》在12世紀傳入歐洲，之后的幾個世紀，它成為歐洲人的標準課本，其內(nèi)容、思想和方法相當廣泛地影響過歷代數(shù)學家．在中世紀最著名的數(shù)學家L．斐波那契(Fibonacci)的《算盤書》(10202)中，就有一章名為“aljabra et almuchabala”，其中許多問題出自花拉子米的《代數(shù)學》．15世紀著名數(shù)學家L．帕喬利(Pacioli)寫了一本《算術(shù)、幾何、比和比例集成》(1494)，其中廣泛地討論了一次和二次方程，作者沿用了花拉子米的解法和幾何證明．事實上，在中世紀和文藝復興時期，凡是在代數(shù)學方面有過貢獻的歐洲學者，他們的工作在不同程度上都受到花拉子米的影響．
《代數(shù)學》以其邏輯嚴密、系統(tǒng)性強、通俗易懂和聯(lián)系實際等特點被奉為代數(shù)教科書的鼻祖．
花拉子米的算術(shù)著作，只有一種譯本流傳下來，就是14世紀中葉翻譯的拉丁文譯本手稿，現(xiàn)存劍橋大學圖書館，1857年由意大利數(shù)學史家B．邦孔帕尼(Boncompagni)在羅馬出版，書名為：“Trattati d’Aritmetica publlcati da Baldassare Boncompa-gni，Ⅰ．Algoritmi de numero indorum”．以后，這部著作的拉丁文譯本就定名為“Algoritmi de numero indorum”．其中Algoritmi本是花拉子米的拉丁文譯名，可是被人理解為印度的讀數(shù)法，后來它竟演變成表示任何系統(tǒng)或計算系列的“算法”的專業(yè)術(shù)語．這份手稿由于反復傳抄，其中有多處譯文不準確，還出現(xiàn)一些空白．現(xiàn)代科學史家根據(jù)其他一些有關(guān)著作①進行了認真的比較研究，恢復了它的本來面貌．我們把這部著作的名稱譯為《印度的計算術(shù)》．
該書是一部專門講述印度數(shù)碼及其計算法的著作．作者首先講述了印度人使用9個數(shù)碼和零號記數(shù)的方法．這種方法體現(xiàn)了十進位值制記數(shù)原理，任何一個整數(shù)都能很簡單地表示出來并進行計算．作者還給出四則運算的定義和法則．例如乘法定義為重復相加，除法定義為重復相減．具體地說，兩數(shù)相乘，就是把其中一個數(shù)按另一個數(shù)的大小增加倍數(shù)，其結(jié)果為乘積；兩數(shù)相除，就是把其中較大的數(shù)按較小的數(shù)的大小分成若干部分，用較大的數(shù)減較小的數(shù)，能減去多少個，商就是多少．花拉子米特別提出倍乘法和倍除法，即乘以2和除以2的運算．古埃及人是很重視這兩種運算的．花拉子米強調(diào)它們是為了幫助學生記憶開平方的法則．花拉子米在該書中給出的開平方的方法，用現(xiàn)代符號表示，相當于下列近似公式：
計算結(jié)果中的分數(shù)部分表示為60進位分數(shù)．
書中還專門講述了分數(shù)理論．花拉子米把分數(shù)分為“能讀的”和“不
能讀的”，在阿拉伯語中用兩個以上的復合詞來表示．分數(shù)的表示法與
(用現(xiàn)代阿拉伯數(shù)碼)：
3 8
1 3
2 11
分子在上，分母在下，帶分數(shù)的整數(shù)部分又在分數(shù)部分之上．中國科學史家推測，這種表示法可能是由中國經(jīng)印度傳入阿拉伯世界的．
花拉子米在這部著作中列表給出分數(shù)乘法的例子：
即
從這個計算表格可以看出，計算步驟是先通分：
然后相乘：
通分母時沒有取最小公倍數(shù)．這個例子表明，花拉子米時代的阿拉伯學者掌握把一般分數(shù)化為單分子分數(shù)的方法．
《印度的計算術(shù)》一書有著特殊的歷史作用，它是第一部用阿拉伯文撰寫的在伊斯蘭國家介紹印度數(shù)碼和記數(shù)法的著作．它的問世對十進位值制記數(shù)法在中東、近東和歐洲各國的傳播和普及起到了決定作用．阿拉伯人最初只有數(shù)詞，沒有數(shù)碼字，在征服埃及、敘利亞等地之后，他們開始使用希臘字母記數(shù)法．公元773年(另一說771年)，印度學者把他們著名的悉檀多(即歷數(shù)書)帶入阿拔斯王朝阿爾曼蘇的宮庭中．印度的數(shù)碼字和記數(shù)法從此傳入伊斯蘭世界．花拉子米的《印度的計算術(shù)》極大地推動了印度數(shù)碼和記數(shù)法在阿拉伯國家的傳播．12世紀時，這部著作傳入歐洲各國，對歐洲數(shù)學的發(fā)展也產(chǎn)生了顯著的影響．印度數(shù)碼逐漸代替了希臘字母記數(shù)系統(tǒng)和羅馬數(shù)字等，最終成為世界通用的數(shù)碼字．在12—13世紀，出現(xiàn)了一批直接受《印度的計算術(shù)》影響而編寫的算術(shù)書：在意大利，有L．斐波那契(Fibonacci)的《算盤書》(Liber Abaci)；在英國，有J．de薩克羅博斯科(Sacrobosco)的《算法書》(Algorismus)；在法國，有A．de維爾迪厄(Villedieu)的《算法歌》(Carmen de algorismi)；在德國，有N．de約丹努斯(Jordanus)的《算法論證》(Algorismus Demonstratus)等．這些著作又從拉丁文譯成多種文字，通行了幾個世紀，對印度數(shù)碼和記數(shù)法引進歐洲起到重要作用．
花拉子米對幾何學也有一定貢獻．在他的《代數(shù)學》中，有一章名為“測量篇”，專門講述圖形和物體的測量．關(guān)于平面圖形，他主要研究了三角形、四邊形和圓．他對三角形和四邊形進行分類，建立了相應的測量公式．他使用的圓面積近似公式為
此處d為直徑，s為弦所對弧長，a為弦長，h為弦心距．花拉子米還研究了棱柱、圓柱、棱錐、圓錐和棱臺等立體的體積測量問題．在“測量篇”中，可以發(fā)現(xiàn)一些來自印度數(shù)學的資料，以及來自希臘數(shù)學家海倫的《度量論》中的內(nèi)容．可見花拉子米是熟悉古代印度和希臘的學術(shù)遺產(chǎn)的．
花拉子米在天文學、地理學和歷史學等方面也有重要貢獻。天文學在中世紀東方精密科學中占有重要地位．古希臘和印度的天文學對中世紀伊斯蘭世界天文學發(fā)展有很大影響．8世紀以后希臘天文學論著陸續(xù)譯成阿拉伯文，印度天文學知識也在8世紀末傳入巴格達，9世紀開始出現(xiàn)第一批用阿拉伯文撰寫的天文學著作．其中為解決天文學問題所需的三角表和天文表的匯編稱為積尺(相當于印度的悉檀多)，借助這些數(shù)據(jù)表來測定時間、計算天體上星球位置、確定日食和月食開始的時刻等．這些積尺在當時的天文學著作中占有重要地位．花拉子米撰寫的有關(guān)著作是比較優(yōu)秀的，他努力使古希臘羅馬的天文學理論和傳入古波斯的印度天文學知識結(jié)合起來，詳細闡明了在印度天文學中臻于完善的方法，對托勒密的天文學理論系統(tǒng)做了補充．除積尺外，花拉子米還撰寫了其他天文學著作．其中有三種是專門講述星盤知識的．論述了各種星盤的構(gòu)造、功能和應用，并介紹了另一種天文儀器——正弦平方儀．他還撰寫了一些關(guān)于日規(guī)和歷法的著作．
中世紀阿拉伯國家對地理科學也是十分重視的，這可能是由于軍事和商業(yè)貿(mào)易上的需要．在當時，這方面的首要任務是制造世界地圖．地圖的制作需要復雜的數(shù)學和天文學知識，因此地理學著作是與數(shù)學和天文學緊密聯(lián)系在一起的．科學家們把古希臘羅馬時期的數(shù)學地理學原理作為研究地理學的主要依據(jù)．花拉子米是中世紀阿拉伯世界第一部地理學專著的作者，他的《地球景象書》為地理學的研究工作奠定了基礎(chǔ)．這部著作的阿拉伯文本現(xiàn)存斯特拉斯堡圖書館．書中首先詳述了當時所知的地球上的居民區(qū)并畫出包括重要居民點(標明坐標)、山、海、島、河流等的地圖．作者參考了希臘的有關(guān)著作，但具有獨創(chuàng)性，給出許多全新的資料．例如，他把地球上居民區(qū)分為7個“氣候帶”，還修正了托勒密有關(guān)著作中的一些數(shù)據(jù)．該書附有四張地圖，是用最古老的阿拉伯制圖術(shù)繪制的．這部著作為中世紀近東和中東地理學、大地測量學和制圖學的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)．
花拉子米還用阿拉伯文寫出了最早的歷史著作，他的《歷史書》在這門科學的發(fā)展中起到了重要作用．
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