轉(zhuǎn)載自百家號(hào)作者：最后的弦 各位同學(xué)大家好，我們又見面了。今天還是講數(shù)學(xué)，不廢話，直接進(jìn)入本期正題。 上期講解了微分的簡(jiǎn)化幾何推導(dǎo)，各位的評(píng)論我也都看了，評(píng)論是十分犀利啊，我也從中得到很多啟發(fā)和一些新奇的想法，可謂是受益良多。 那這期我們來(lái)看看微分的逆運(yùn)算“積分” 積分也是微積分的一個(gè)核心概念。但積分的要領(lǐng)是近似，我們的目的就是“化曲為直，化圓為方” 記得小學(xué)數(shù)學(xué)課的時(shí)候，老師讓我們用圓規(guī)在方格子上畫一個(gè)圓，然后數(shù)出圓中方格個(gè)數(shù)來(lái)算圓的面積。 老師當(dāng)時(shí)叫我們將大于半格視為一格，小于半格就舍去，最后將格子總數(shù)相加來(lái)算圓的面積，再用面積算圓周率。因?yàn)橛姓`差所以得到的圓周率總是大于或者小于3.14。但是，如果再細(xì)分方格或者把圓變大的話，圓內(nèi)方格面積總和就會(huì)逐漸接近圓的面積，圓周率也就會(huì)更加接近3.14。因?yàn)榉礁窈蛨A之間有縫隙，所以我們可以將方格不斷分割來(lái)填充縫隙，直到誤差極其微小為止。 所以，求和便是為了積分 為了方便計(jì)算，我們引入了積分符號(hào)： 因?yàn)榍髨A面積的要領(lǐng)是精確劃分圓，所以劃分的形狀應(yīng)該不僅僅限于正方形，我們同樣可以把圓分成細(xì)長(zhǎng)的短條來(lái)求和。將圓分割成無(wú)數(shù)的小長(zhǎng)方形，每一條寬為△x，對(duì)應(yīng)的面積為長(zhǎng)方形在x值對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度·△x，然后從左端到右端全部相加。 當(dāng)我們逐漸縮小長(zhǎng)方形的寬度，縮小到不能再縮小的程度。這樣一來(lái)與其說(shuō)是長(zhǎng)方形倒不如說(shuō)是無(wú)數(shù)根“細(xì)線”相加，其結(jié)果逐漸接近“圓的面積”。 得出圓的面積積分表達(dá)式：dx表示寬度△x趨向于0 舉個(gè)更簡(jiǎn)單的例子，下圖圓的半徑為1cm，我們把它分割成N條，用(2/N)就能得出每一條的寬度△x，即△x為(2/N) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明： 當(dāng)N=10時(shí)，所有短條的面積和為2.637049 當(dāng)N=20時(shí)，所有短條的面積和為2.904518 當(dāng)N=40時(shí)，所有短條的面積和為3.028465 當(dāng)N=2000時(shí)，所有短條的面積和為3.139555 當(dāng)N=20000時(shí)，所有短條的面積和為3.141391，此時(shí)△x只有0.0001cm。雖然這個(gè)數(shù)值已經(jīng)是纖細(xì)至極，但在分割圖形時(shí)并不算是特別精細(xì)的尺度。在積分領(lǐng)域，會(huì)使用更精細(xì)、更接近0的尺度。 之前的文章我提到過(guò)圓的面積微分（求導(dǎo)）是圓的周長(zhǎng)，球的體積微分（求導(dǎo)）是球的表面積。大家有可能還不太明白，那我們用圖片來(lái)做個(gè)較為形象的解釋。 設(shè)半徑為r的圓的面積是關(guān)于r的函數(shù)，則有S（r）=πr^2，當(dāng)圓的半徑增加△r時(shí)，面積會(huì)增加多少呢？ 假設(shè)△r足夠小，那么圓環(huán)面積△S（即增加的部分）≈圓的周長(zhǎng)×△r（為什么是約等于，因?yàn)閳A環(huán)外側(cè)周長(zhǎng)略大） 現(xiàn)在將兩邊同時(shí)除以△r得（△S/△r）≈圓的周長(zhǎng)，取△r趨于0時(shí)的極限即（dS/dr）=圓的周長(zhǎng) 接著往下看 因?yàn)閳A環(huán)的面積≈（L·△r）等于圓的周長(zhǎng)乘以△r，所以圓的面積πr^2等于累加所有薄圓環(huán)面積 劃重點(diǎn)： 所以微分就是從圓上多個(gè)同心圓之間排列的薄圓環(huán)中取出一個(gè)薄圓環(huán)，積分則是累加極薄圓環(huán)的面積從而求出圓的面積 同樣，我們來(lái)微分、積分球體： 當(dāng)球的半徑增加△r時(shí)，體積增加的是球外側(cè)很薄的一層皮，這層薄皮的體積大致為 球的表面積乘△r 反之，球的表面積積分為球的體積 所以微分和積分就是相反的關(guān)系 我們知道了（x^n）的微分公式為（nx^(n-1)），所以可推出（x^n）的積分公式為： 后面一個(gè)C我們稱為微分為0的函數(shù)，這是沒有變化的函數(shù)，叫做常數(shù)函數(shù)，這個(gè)C可以是任意數(shù)值，是一個(gè)不定項(xiàng)，這樣的積分叫做不定積分。前面求的面積和體積叫定積分，定積分原則上是從哪到哪固定的積分。 這里有個(gè)C可能有些同學(xué)覺得糾結(jié)，其實(shí)不用擔(dān)心，在計(jì)算面積等問(wèn)題時(shí)C就會(huì)消失。你也可以這么理解，微分為0即是任意常數(shù)C，那么反過(guò)來(lái)0的積分便是任意常數(shù)C，這是一個(gè)不定項(xiàng)。 那我們現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，來(lái)試試積分公式： 直線與x軸的夾角為45°，陰影部分為一個(gè)梯形，上底=1，下底=2，高=1，我們用梯形面積公式（上底+下底）x高÷2能很快得出面積為3/2。那我們?cè)儆梅e分公式試試，如下圖： 我在想假如高考的時(shí)候出了一道算不規(guī)則面積的填空題，剛好你教材又沒有講過(guò)的話，那你可以巧妙利用這個(gè)公式算出來(lái)。一道填空題五分啊~O(∩_∩)O哈哈~ 這期結(jié)束的時(shí)候，給同學(xué)們布置兩個(gè)家庭作業(yè)~^_^ 1.利用積分公式算出下面陰影部分的面積 2.我們現(xiàn)在已經(jīng)知道了積分公式的一般表達(dá)式，那么請(qǐng)大家思考下：反函數(shù)（1/x）的積分公式怎么求？因?yàn)椋?/x）可以寫成（x^(-1)），此時(shí)如果再用上述的積分公式，那么分母就等0了，分母為0公式無(wú)意義，那該怎么求呢，下來(lái)慢慢思考。 本期就寫到這，盯了一上午的電腦，眼睛都看花了 各位，下期再見 退下了，告辭。。
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