1 微積分基本定理

微積分基本定理也稱為牛頓-萊布尼茲公式（Newton-Leibniz formula），把一個函數(shù)的導數(shù)與其積分聯(lián)系到了一起。

這個定理可以表述為兩個部分。

第一部分：導數(shù)與定積分互為逆運算

第二部分：用反導數(shù)計算定積分

2 幾何推導導數(shù)與定積分互為逆運算

對于圖為曲線的連續(xù)函數(shù)y=f(x)，x的每個值都有一個對應(yīng)的面積函數(shù)A(x)，表示曲線下面0到x之間的面積。

在x和x+h之間的曲線下面積可以通過找到0和x+h之間的面積，然后減去0和x之間的面積來計算，換句話說，這個“紅色帶”的面積將是A(x+h)-A(x)。

還有另一種方法來估計同一條“紅色帶”的面積。如上圖所示，h*f(x)是矩形的面積，該矩形的面積與此條“紅色帶”的大小大致相同：

如果加上右上角紅色曲線三角部分Excess，則可以準確表述為：

推導出：

h|f(x+h)-f(x)|為右上角小長方形的面積。|Red Excess|<>

也就是：

當h→0上，上式右值→0，相應(yīng)的左值→0。所以有

也就是f(x) = A′(x)

3 公式推導微積分基本定理

3.1 準備知識

3.1.1 介值定理

介值定理，又名中間值定理，是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)之一。在數(shù)學分析中，介值定理表明，如果定義域為[a，b]的連續(xù)函數(shù)f，那么在區(qū)間內(nèi)的某個點，它可以在f（a）和f（b）之間取任何值，也就是說，介值定理是在連續(xù)函數(shù)的一個區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值肯定介于最大值和最小值之間。

3.1.2 積分估值定理

3.1.3 積分中值定理

積分中值定理的幾何解釋：

3.2 公式推導導數(shù)與定積分互為逆運算

推導微積分基本定理的第二部分：

－End－