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一、截長(zhǎng)補(bǔ)短法：

題目中出現(xiàn)線段之間的和差倍分時(shí)，考慮截長(zhǎng)補(bǔ)短；

截長(zhǎng)補(bǔ)短的目的是把幾條線段之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換為兩條線段的等量關(guān)系。

二、典型例題：

例題1、如圖，在 △ABC 中，∠1 = ∠2 ， ∠B = 2∠C ，求證： AC = AB + BD

圖1

證明：（截長(zhǎng)法）如圖，在線段 AC 上截取 AE = AB ，連接 DE

圖2

∵ AB = AE , ∠1 = ∠2 ， AD = AD

∴ △ABD ≌ △AED

∴ BD = ED , ∠B = ∠AED , AB = AE

∵ ∠B = 2∠C ∴ ∠AED = 2∠C = ∠EDC + ∠C

∴ ∠EDC = ∠C ∴ ED = EC （等角對(duì)等邊）

∵ AC = AE + EC

∴ AC = AB + BD （等量代換）

例題2、如圖，在正方形 ABCD 中，E , F 分別為 DC ，BC 邊上的點(diǎn)，且 ∠EAF = 45° ，連接 EF 。

求證： EF = BF + DE 。

圖3

證明：（補(bǔ)短法）如圖，將 DE 補(bǔ)在 FB 的延長(zhǎng)線上，使 BG = DE , 連接 AG

圖4

∵ 在正方形 ABCD 中 有 AD = AB , ∠D = ∠ABG = 90° ， DE = BG

∴ △ADE ≌ △ABG ∴ ∠1 = ∠2 ， AE = AG

∵ ∠EAF = 45° ∠1 + ∠3 + ∠EAF = ∠DAB = 90°

∴ ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3 = ∠GAF = 45° = ∠EAF

∵ AE = AG , ∠EAF = ∠GAF ， AF = AF

∴ △EAF ≌ △GAF ∴ EF = GF

∵ GF = BF + BG = BF + DE

∴ EF = BF + DE

例題3、如圖，在 △ABC 中， ∠A = 90° ， AB = AC ，BD 平分 ∠ABC ，CE⊥BD 交 BD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E 。

求證 ： CE = 1/2 BD 。

圖5

證明：如圖，延長(zhǎng) CE 交 BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F

圖6

∵ CE⊥BE ∴ ∠BEC = ∠BEF = 90°

∵ BD 平分 ∠ABC ∴ ∠1 = ∠2

∴ △BEC ≌ △BEF ∴ EC = EF

∵ ∠1 + ∠ADB = ∠3 + ∠EDC ， ∠ADB = ∠EDC （對(duì)頂角相等）

∴ ∠1 = ∠3

∵ AB = AC , ∠BAD = ∠CAF = 90° ， ∠1 = ∠3

∴ △ABD ≌ △ACF ∴ BD = CF = 2 CE

即 CE = 1/2 BD

三、拓展提高（作業(yè)題）

例題4、如圖，在 △ABC 中，AM 是 BC 邊上的中線 。

求證： AM < 1/2="" (="" ab="" +="" ac="">

圖7

例題5、如圖，在 △ABC 中，∠ABC = 60° ，△ABC 的角平分線 AD , CE 相交于點(diǎn) O 。

求證： AC = AE + AD 。

圖8

例題5、如圖，在梯形 ABCD 中，AD∥BC ，CE⊥AB 于點(diǎn) E ，△BDC 為等腰直角三角形，∠BDC = 90° ，

BD = CD , CE 與 BD 相交于點(diǎn) F ，連接 AF 。

求證： CF = AB + AF 。

圖9