初中數(shù)學(xué)一題多解題
例題一、兩個連續(xù)奇數(shù)的積是323，求出這兩個數(shù)
方法一、
設(shè)較小的奇數(shù)為x,另外一個就是x+2
x(x+2)=323
解方程得：x1=17,x2=-19
所以，這兩個奇數(shù)分別是：
17、19，或者-17，-19
方法二、
設(shè)較大的奇數(shù)x,則較小的奇數(shù)為323/x
則有：x-323/x=2
解方程得：x1=19,x2=-17
同樣可以得出這兩個奇數(shù)分別是：
17、19，或者-17，-19
方法三、
設(shè)x為任意整數(shù)，則這兩個連續(xù)奇數(shù)分別為：
2x-1,2x+1
(2x-1)(2x+1)=323
即4x^2-1=323
x^2=81
x1=9,x2=-9
2x1-1=17,2x1+1=19
2x2-1=-19,2x2+1=-17
所以，這兩個奇數(shù)分別是：
17、19，或者-17，-19
方法四、
設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為x-1,x+1
則有x^2-1=323
x^2=324=4*81
x1=18,x2=-18
x1-1=17,x1+1=19
x2-1=-19,x2+1=-17
所以，這兩個奇數(shù)分別是：
17、19，或者-17，-19
例題二、某人買13個雞蛋、5個鴨蛋、9個鵪鶉蛋，共用去9.25元；如果買2個雞蛋，4個鴨蛋，3個鵪鶉蛋，則共用去3.20元，試問只買雞蛋、鴨蛋、鵪鶉蛋各一個，共需多少錢？
解：設(shè)雞、鴨、鵪鶉三種蛋的單價分別為x、y、z元，則根據(jù)題意，得
分析：此方程組是三元一次方程組，由于只有兩個三元一次方程，因而要分別求出x、y、z的值是不可能的，但注意到所求的是的代數(shù)和，因此，我們可通過變形變換得到多種解法。
1. 湊整法
解1：，得
，得
答：只買雞蛋、鴨蛋、鵪鶉蛋各一個，共需1.05元（下面解法后的答均省略）
解2：原方程組可變形為
解之得：
2. 主元法
解3：視x、y為主元，視z為常數(shù)，解<1>、<2>
得，
解4：視y、z為主元，視x為常數(shù)，解<1>、<2>
得
解5：視z、x為主元，視y為常數(shù)，解<1>、<2>
得
3. “消元”法
解6：令，則原方程組可化為
解7：令，則原方程組可化為
解8：令，則原方程組可化為
4. 參數(shù)法
解9：設(shè)，則
，得
，得
由<4>、<5>得
即
5. 待定系數(shù)法
解10. 設(shè)
則比較兩邊對應(yīng)項系數(shù)，得
將其代入<1>中，得
附練習(xí)題
1. 有大小兩種貨車，2輛大車與3輛小車一次可以運貨15.5噸；5輛大車與6輛小車一次可以運貨35噸。求3輛大車與5輛小車一次可以運貨多少噸？（答案：24.5噸）
2. 有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元；若購甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元。問若購甲、乙、丙各1件共需多少元？（答案：1.05元）
平面幾何在完成一個數(shù)學(xué)題的解答時，有必要對該題的內(nèi)容、形式、條件、結(jié)論，做進一步的探討，以真正掌握該題所反映的問題的實質(zhì)。如果能對一個普通的數(shù)學(xué)題進行一題多變，從變中總結(jié)解題方法；從變中發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從變中發(fā)現(xiàn)“不變”，必將使人受益匪淺。
“一題多變”的常用方法有：1、變換命題的條件與結(jié)論；2、保留條件，深化結(jié)論；
3、減弱條件，加強結(jié)論；4、探討命題的推廣；5、考查命題的特例；
6、生根伸枝，圖形變換；7、接力賽，一變再變；8、解法的多變等。
19、（增加題1的條件）AE平分∠BAC交BC于E，
求證：CE：EB=CD：CB
20、（增加題1的條件）CE平分∠BCD，AF平分∠BAC交BC于F
求證：（1）BF·CE= BE·DF
（2）AE⊥CF
（3）設(shè)AE與CD交于Q，則FQ‖BC
21、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，以CD為直徑的圓交AC、BC于E、F，
求證： CE：BC=CF：AC（注意本題和16題有無聯(lián)系）
22、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，以AD為直徑的圓交AC于E，以BD為直徑的圓交BC于F，
求證： EF是⊙O1和⊙O2的一條外公切線
23、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，作以AC為直徑的圓O1，和以CD為弦的圓O2，
求證：點A到圓O2的切線長和AC相等（AT=AC）
24、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，
E為ACD的中點，連ED并延長交CB的延長線于F，
求證：DF：CF=BC：AC
25、如圖，⊙O1與⊙O2外切與點D， 內(nèi)公切線DO交外公切線EF于點O，
求證：OD是兩圓半徑的比例中項。
題14解答：
因為CD^2=AD·DB
AC^2=AD·AB
BC^2=BD·AB
所以1/AC^2+1/BC^2
=1/（AD·AB）+1/（BD·AB）
=（AD+DB）/（AD·BD·AB）
=AB/AD·BD·AB
=1/AD·BD
=1/CD^2
15題解答：
因為M為AB的中點，所以AM=MB，AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DM
AC^2-BC^2=AD*AB-DB*AB
=(AD-DB)AB
=2DM*AB
26、（在19題基礎(chǔ)上增加一條平行線）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，FG‖AB交BC于點G，
求證：CE=BG
27、（在19題基礎(chǔ)上增加一條平行線）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，FG‖BC交AB于點G，連結(jié)EG，
求證：四邊形CEGF是菱形
28、（對19題增加一個結(jié)論）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，
求證：CE=CF
29、（在23題中去掉一個圓）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，作以AC為直徑的圓O1，
求證：過點D的圓O1的切線平分BC
30、（在19題中增加一個圓）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，
求證：⊙CED平分線段AF
31、（在題1中增加一個條件）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，∠A=30度，
求證：BD=AB/4
（滬科版八年級數(shù)學(xué)第117頁第3題）
32、（在18題基礎(chǔ)上增加一條直線）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，作∠BCE=∠BCD
P為AC上任意一點，直線PQ交CD于Q，交CB于M，交CE于N
求證：PQ/PN=QM/MN
32題證明：
作NS‖CD交直線AC與點S，
則PQ/PN=CQ/SN
又∠BCE=∠BCD
∴QM/MN=CQ/CN（三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理）
∠BCE+∠NCS=∠BCD +∠ACD
NS‖CD，∴∠NSC=∠ACD
∴∠NSC=∠NCS
∴SN=CN
∴PQ/PN=QM/MN
題33
在“題一中”，延長CB到E，使EB=CB，連結(jié)AE、DE，
求證：DE·AB= AE·BE
題33證明
CB^2= BD·AB
因EB=CB
∴EB^2= BD·AB
∴EB：BD=AB：BE
又∠EBD=∠ABE
∴△EBD∽△ABE
∴EB：AB=DE：AE
∴DE·AB= AE·BE
題34
（在19題基礎(chǔ)上增加一條垂線）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，
AE平分CD于F，EG⊥AB交AB于點G，
求證：EG^2= BE·EC
證明：延長AC、GE，設(shè)交點為H，
∴△EBG∽△EHC
∴EB：EH=EG：EC
∴EH·EG= BE·EC
又HG‖CD，CF=FD
∴EH=EG
∴EG^2= BE·EC
題35（在題19中增加點F）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，
AE平分∠BCA交BC于點E，交CD于F，
求證：2CF·FD = AF·EF
題36、（在題16中，減弱條件，刪除∠ACB=90度這個條件）
已知，△ABC中， CD⊥AB，D為垂足，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，
求證：CE/BC=CF/AC
題37
（在題17中，刪除∠ACB=90度和CD⊥AB，D為垂足這兩個條件，增加D是AB上一點，滿足∠ACD=∠ABC）
已知，△ABC中，D是AB上一點，滿足∠ACD=∠ABC，又CE平分∠BCD
求證：AE^2= AD·AB
題38
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，PC為⊙ABC的切線
求證：PA/AD=PB/BD
題39
（在題19中點E“該為E為BC上任意一點”）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，
E為BC上任意一點，連結(jié)AE，CF⊥AE，F為垂足，連結(jié)DF，
求證：△ADF∽△AEB
題40：
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足
求證：S⊙ADC：S⊙BDC=AD：DB
題41
已知，如圖，△ABC中， CD⊥AB，D為垂足，且AD/CD=CD/BD，
求∠ACB的度數(shù)。
題42
已知，CD是△ABC的AB邊上的高， D為垂足，且AD/CD=CD/BD，
則∠ACB一定是90度嗎？為什么？
題43：
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，△ADC的內(nèi)切圓⊙O1，
△BDC的內(nèi)切圓⊙O2，
求證：S⊙O1：S⊙O2=AD：DB
題44：
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，△ADC的內(nèi)切圓⊙O1的半徑R1，△BDC的內(nèi)切圓⊙O2的半徑R2，△ABC的內(nèi)切圓⊙O的半徑R，求證：R1+R2+R=CD
題45、
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，作以AC為直徑的圓O1，和以BD為直徑的圓O2，設(shè)O1和O2在△ABC內(nèi)交于P
求證： △PAD的面積和△PBC的面積相等
題45解：
∠CAP=∠CDP=∠DBP（圓周角、弦切角）
∴Rt△APC∽Rt△BPD
∴AP·PD= BP·PC
又∠APD和∠CPB互補（∠APC+∠BPD=180度）
S △PAD=1/2·AP·PD·sin∠APD
S △PBD=1/2·BP·PC·sin∠CPB
∴S △PAD= S △PBD
題46（在題38的基礎(chǔ)上變一下）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，PC為⊙ABC的切線，又CE平分∠ACB交⊙ABC與E，交AB與D， 若PA=5，PC=10，
求 CD·CE的值
題47
在題46中，求sin∠PCA
題48（由題19而變）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，
AE平分∠ACB交BC于E，EG⊥AB交AB于點G，
求證：（1）AC=AG
（2）、AG^2= AD·AB
（3）、G在∠DCB的平分線上
（4）、FG‖BC
（5）、四邊形CEFG是菱形
題49
題49解答：
題目50（題33再變）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，延長CB到E，使EB=CB，連結(jié)AE交CD的延長線于F，如果此時AC=EC，
求證： AF= 2FE
題50解：
過點E作EM⊥CF，M為垂足，則AD：DB=AC^2：CB^2=4：1
又DB：EM=1：2
所以，AD：EM=2：1
△ADF∽△EMF
∴AF：EF=AD：EM=2：1
∴AF=2EF
題目51（題50中連一線）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，延長CB到E，使EB=CB，連結(jié)AE交CD的延長線于F，連結(jié)FB，如果此時AC=EC，
求證： ∠ABC=∠EBF
（題51的幾種解法）
解法1、
作∠ACB的平分線交AB于點G，易證△ACG≌△CEF
∴CG=EF
∴證△CBG≌△EBF
∴∠ABC=∠EBF
題51解法2
作∠ACB的平分線交AB于點G，交AE于點P，
則點G 為△ACE的垂心，∴GF‖CE
又∠AEC=∠GCE，
∴四邊形CGFE為等腰梯形
∴CG=EF
∴再證△CBG≌△EBF
∴∠ABC=∠EBF
題51解法3
作∠ACB的平分線交AB于點G，交AE于點P，
則點G 為△ACE的垂心，
易證△APG≌△CPF（AAS）
∴PG=PF
又∠GPB=∠FPB，
PB=PB
∴△PBG≌△FBP（SAS）
∴∠PBG=∠FBP
∴∠ABC=∠EBF
題51解法4（原題圖）
由題50得，AF=2EF
∴AF：EF=AC：BE=2
又∠CAF=∠BEF=45度
∴△ACF∽△EBF
∴∠ACF=∠EBF
又∠ACF=∠CBA
∴∠ABC=∠EBF
題51解法5
作ME⊥CE交CD的延長線于M，
證△ABC≌△CME（ASA）
∴∠ABC=∠M
再證△MEF≌△BEF（SAS）
∴∠EBM=∠M
∴∠ABC=∠EBF
題51解法6
作點B關(guān)于點C的對稱點N，連結(jié)AN，
則NB=2BE，又由題50，AF=2EF，
∴BF‖AN
∴∠EBM=∠N
又∠ABC=∠N（對稱點）
∴∠ABC=∠EBF
題51解法7
過點C作CH‖BF交AB于M，
∵B為CE的中點，
∴ F為HE的中點
又由題50，AF=2EF，
∴H為AF的中點
又CH‖BF
∴M為AB的中點
∴∠MCB=∠MBC
又∠EBM=∠MCB
∴∠ABC=∠EBF
題目52（題50、51結(jié)論的引伸）
已知，△ABE中，AC=EC，∠ACE=90度，
CD⊥AB交斜邊AB于F，D為垂足，
B為CE的中點，連結(jié)FB，
求證：
（1）、AF=2EF
（2）、∠ABC=∠EBF
（3）、∠EBF=∠E+∠BAE
（4）、∠ABF=2∠DAC
（5）、AB：BF=AE：EF
（6）、CD：DF=AE：AF
（7）、AD：DB=2AF：EF
（8）、CD/DF·FA/AE·EB/BC=1
題目53 （題52的一部分）
已知如圖，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
③、CB=BE
④、CF⊥AB
求證：
⑤、AF=2EF
⑥、∠ABC=∠EBF
（題53的14個逆命題中，是真命題的請給出證明）
題目54（題53的逆命題1）
已知如圖，
⑤、AF=2EF
②、AC⊥CE
③、CB=BE
④、CF⊥AB
求證：
①、AC=CE
⑥、∠ABC=∠EBF
平面幾何一題多變
題目55（題53的逆命題2）
已知如圖，
①、AC=CE
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
④、CF⊥AB
求證：
②、AC⊥CE
⑥、∠ABC=∠EBF
題目56（題53的逆命題3）
已知如圖，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB
求證：
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
題目57（題53的逆命題4）
已知如圖，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
求證：
④、CF⊥AB
⑥、∠ABC=∠EBF
題目58（題53的逆命題5）
已知如圖，
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
②、AC⊥CE
④、CF⊥AB
求證：
⑤、AF=2EF
①、AC=CE
題目59（題53的逆命題6）
已知如圖，
①、AC=CE
④、CF⊥AB
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
求證：
⑤、AF=2EF
②、AC⊥CE
題目60（題53的逆命題7）
已知如圖，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
⑥、∠ABC=∠EBF
④、CF⊥AB
求證：
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
題目61（題53的逆命題8）
已知如圖，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
求證：
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB
題目62（題53的逆命題9）
已知如圖，
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
求證：
①、AC=CE
②、AC⊥CE
題目63（題53的逆命題10）
已知如圖，
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB
⑥、∠ABC=∠EBF
求證：
①、AC=CE
③、CB=BE
題目64（題53的逆命題11）
已知如圖，
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
求證：
①、AC=CE
④、CF⊥AB
題目65（題53的逆命題12）
已知如圖，
①、AC=CE
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB
⑥、∠ABC=∠EBF
求證：
②、AC⊥CE
③、CB=BE
題目66（題53的逆命題13）
已知如圖，
①、AC=CE
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
求證：
②、AC⊥CE
④、CF⊥AB
題目67（題53的逆命題14）
已知如圖，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
⑥、∠ABC=∠EBF
求證：
③、CB=BE
④、CF⊥AB
題目68
已知如圖，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，
CM平分∠ACB，如果S△ACM=30，S△DCM=6，
求S△BCD=？
（題68解答）
解：
設(shè)S△BCD=x,則S△ACM/ S△CMB=30/（6+ x）=AM/MB
S△ACD/ S△CDB=36/ x=AD/DB
又AC^2= AD·AB
BC^2= BD·AB
∴AC^2/ BC^2=AD/BD
∵CM平分∠ACB
∴（AM/ BM）^2=AD/BD
∴[30/(6+x)]^2=36/x
解方程得x=4或x=9
∴S△BCD=4或S△BCD=9
題目69
已知如圖，△ABC中，∠ACB=90度，D 為斜邊AB上一點，滿足AC^2= AD·AB
求證：CD⊥AB
題目70
已知如圖，△ABC中，AC>BC,∠ACB=90度，
CM平分∠ACB，且CM+CB=AC，
求證：1/AC-1/BC=√2
題70證明：
過點M作MD⊥BC，D為垂足，作MD⊥AC，E為垂足，
設(shè)ME=x,AC=b,BC=a,則CM=√2 x，AE=b-x,
由AE/AC=ME/BC，得(b-x)/b=x/a,
∴x=ab/(a+b)
又CM+CB=AC
∴√2 x+a=b,
∴ab/(a+b)=(b-a)/ √2
整理得：b^2-a^2=√2ab
兩邊都除以ab,
∴1/AC-1/BC=√2
題目71(依題68變)
已知如圖，△ABC中（AC>BC），∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，
CM平分∠ACB,且BC、AC是方程x^2-14x+48=0的兩個根，
求AD、MD的長。
題目71解：
顯然，方程x^2-14x+48=0的兩根為6和8，
又AC>BC
∴AC=8，BC=6
由勾股定理AB=10
△ACD∽△ABC，得AC^2= AD·AB
∴AD=6.4
∵CM平分∠ACB
∴AM/MB=AC/CB
解得，AM=40/7
∴MD=AD-AM=24/35
題目72
已知如圖，△ABC中，∠ACB=90度，AB=2AC，現(xiàn)在將它折成如右圖的形狀，這時頂點A正好落在BC上，而且△A'MN是正三角形，
求△A'MN與△ABC的面積之比。
題72解：
∵∠ACB=90度，AB=2AC
∴∠B=30度
由題意，四邊形AMA'N是菱形，
∴△A'BM∽△ABC
∴A'M/AC=BM/AB
設(shè)AM=x, AB=2AC=2a
∴x/a=(2a-x)/2a
∴x=2a/3
由三角形面積公式，得
S△A'MN：S△ABC=2：9
題目73
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足
求證：AB+CD>AC+BC
題73的證明：
由三角形面積公式，得AB·CD=AC·BC
2AB·CD=2AC·BC
又勾股定理，得AB^2=AC^2+BC^2
∴AB^2+2AB·CD =AC^2+BC^2+2AC·BC(等式性質(zhì))
∴AB^2+2AB·CD =（AC+BC）^2
∴AB^2+2AB·CD+CD^2 >（AC+BC）^2
∴(AB+CD)^2 >（AC+BC）^2
又AB、CD、AC、BC均大于零
∴AB+CD>AC+BC
題目74
已知，△ABC中，∠ACB>90度，CD⊥AB，D為垂足
求證：AB+CD>AC+BC
題74證明：如圖，作CB’⊥AC交AB于B’,
于是有
AB’·CD=AC·B’C
2AB’·CD=2AC·B’C
又勾股定理，得AB’^2=AC^2+B’C^2
∴AB’^2+2AB’·CD =AC^2+B’C^2+2AC·B’C(等式性質(zhì))
∴AB’^2+2AB’·CD =（AC+B’C）^2
∴AB’^2+2AB’·CD+CD^2 >（AC+B’C）^2
∴(AB’+CD)^2 >（AC+B’C）^2
又AB’、CD、AC、B’C均大于零
∴AB’+CD>AC+B’C……①
在△ABB’中,BB’>CB-CB’……②
①+②得AB’ BB’+CD>AC+B’C CB-CB’
∴AB+CD>AC+BC
題目75
已知如圖，△ABC中， CD⊥AB，D為垂足，
CT平分∠ACB，CM為AB邊上的中線，
且∠ACD=∠DCT=∠TCM=∠MCB
求證：∠ACB=90度
題目75的證明：
延長CT交三角形ABC的外接圓于N，連結(jié)MN，
則N為弧AB的中點，所以MN⊥AB，
又CD⊥AB，
∴MN‖CD
∴∠DCT=∠TNM
又∠DCT=∠TCM
∴∠TCM=∠TNM
∴CM=NM
∴CN的垂直平分線必過點M，
又CM為AB邊上的中線，MN⊥AB
∴AB的垂直平分線必過點M，
即M為兩條弦的垂直平分線的交點，
∴M為三角形ABC的外接圓的圓心，
因此AB為△ABC的外接圓的直徑。
∴∠ACB=90度
題目76
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，
∠ACB 的平分線CG交AB邊上的中垂線于點G ，
求證：MC=MG
題目77
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，CM為AB邊上的中線，CD是∠ACB 的平分線，AC=75cm,BD=80cm,
求CD、CM、CE的長
題目78
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，E為⊙ABC上一點，
且弧AC=弧CE，又AE交CD于M，
求證：AM=CM
題目79（題78再變）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，E為⊙ABC上一點，且弧AC=弧CE，又BC交AE于G，連結(jié)BE
求證：BG^2= AB·BE- AG·GE
題目80
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，E為⊙ABC上一點，且直線DC于直線BE交于P，
求證：CD^2= DM·DP
題目81
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，E為⊙ABC上一點，且直線DC于直線BE交于P，如果CD平分AE，
求證： 2DM·DP= BE·EP
題目82
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，E為⊙ABC上一點，
且弧AC=弧CE，又直線AC與直線BE交于H，
求證： AB=BH
題目83(由題44變)
求證：直角三角形兩條直角邊的和等于斜邊與內(nèi)切圓直徑的和。
題目84
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，MN切⊙ABC與C點
求證： BC平分∠DCN
題目85
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，MN切⊙ABC與C點，
AF⊥MN，F為垂足，AE⊥MN，E為垂足，
求證：CD=CE=CF
題目86
已知，△ABC中，∠ACB=90度， 以BC為直徑的圓交AB于點D，以AC為半徑的圓交AB于點E，
求證：∠BCE=∠DCE
題目87（由題38圖而變）
求證：和兩定點距離之比等于定比（不為1）的點的軌跡是一個圓周。
（提示：從（1）完備性、（2）純粹性 兩方面來證明。）
題目88
作圖題：
已知兩線段之和及積，求作這兩條線段。
已知：兩線段m和n
求作：兩線段x及y,使x+y=m，xy=n^2
補個圖（題88作法參考）
AD、BD即為求作線段x、y
題目89（由題88變）
已知梯形ABCD如圖，求作一直線平行于梯形的底邊，且平分面積。
題目90
利用下圖，證明：兩個正數(shù)之和為定值，則這兩個數(shù)相等時乘積最大。
題目89作法：
如圖，作兩腰的延長線交于點O，作PB⊥AB使PB=OA，連結(jié)OP，
以OP為直徑作半圓M，由圓心M作MN⊥OP，交半圓于點N，再以O為圓心ON為半徑畫弧交AB于點E，作EF‖BC交CD于F，則EF即為所求線段。
題91(題73變)
設(shè)a、b、c、d都是正數(shù)，滿足a/b=c/d,且a最大，
求證：a+d>b+c
題92（人教版數(shù)學(xué)八年級下114頁）
在Rt△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，∠ACD=3∠BCD，E是斜邊AB的中點，
∠ECB是多少度？
題93（題49變）已知，17cosA+13cosB=17,17sinA=13sinB,且∠A、∠B都是銳角，
求∠A/2+∠B的值。
題目93解：（構(gòu)造法）
分別以17、13為邊作△ABC，使AC=17，BC=13，CD為AB邊上的高，
在Rt△ADC中，AD=17cosA，在Rt△BDC中，BD=13cosB，
CD=17sinA=13sinB
而AB=AD+DB=17cosA+13cosB=17，
∴AC=AB, ∠B=∠ACB,
∴∠A+2∠B=180度
∴∠A/2+∠B=90度。
題94
已知如圖，△ABC的∠C的平分線交AB于D，交△ABC的外接圓于E，
若CD·CE等于△ABC面積的2倍
求證：∠ACB=90度
題目95
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，CM平分∠ACB 交AB于M，若AC>BC
求證：∠DCM=1/2·（∠B-∠A）
題目96
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，CE為AB邊上的中線，且DE=DC，
求△ABC中較小的銳角的度數(shù)。
題目97
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CE平分∠ACB 交AB于E，且EC+BC=AC，
求AC/BC
題97解：
設(shè)BC=a,AC=b,過點E作EH‖BC交AC于點H，作EF‖BC交BC于點F，
則四邊形CHEF為正方形，設(shè)EH=x.則CE=√2x,
由AH/EH=AC/BC，得(b-x)/x=b/a, x=(ab)/(a+b)
由題意得，a+√2x=b
∴x=(b-a)/ √2a,
∴(ab)/(a+b)= (b-a)/ √2a,
得b^2-√2ab-a^2=0
b/a=(√2+√6)/2
即AC/BC=(√2+√6)/2
題目98
已知，△ABC中，∠ACB=90度，兩直角邊的差為2√2，
CD⊥AB，D為垂足，BD-AD=2√3，
求△ABC中的三邊長。
題目99
圓內(nèi)接三角形ABC中，直徑AB=4，AB邊上的高CD=2√3，
求∠A的度數(shù)。
題目100
已知，△ABC中， CD⊥AB，D為垂足，∠B=2∠A
求證：CB=AD-BD
題目101
已知，AB是⊙的直徑，AB=4， D是OB的中點，過點D的弦CE⊥AB，
求弦CE的長。
（題54的解答）
已知如圖，
⑤、AF=2EF
②、AC⊥CE
③、CB=BE
④、CF⊥AB
求證：
①、AC=CE
⑥、∠ABC=∠EBF
證明：
過點E作EM⊥CF如圖，由△ADF∽△EMF得AD：EM=AF：FM=2
又BD為△CEM的中位線，則BD：EM=1：2
∴AD：DB=4：1=AC^2:CB^2
∴AC：CB=2：1
又CB=BE
∴AC=CE (再由51的解答即有∠ABC=∠EBF成立)
題55的解答
已知如圖，
①、AC=CE
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
④、CF⊥AB
求證：
②、AC⊥CE
⑥、∠ABC=∠EBF
證明：過點E作EM⊥CF，如圖
由△ADF∽△EMF得AD：EM=AF：FM=2
又BD為△CEM的中位線，則BD：EM=1：2
∴AD：DB=4：1
不妨設(shè)DB=x，CD=y,則AD=4x，
由勾股定理得AC=√[（4x）^2+y^2],BC=√（x^2+y^2）
又AC=2BC，得y^2=4x^2
即CD^2=AD·DB
CD：AD=DB：CD，∠ADC=∠CDB=90度
∴ Rt△ADC∽Rt△CDB
∴∠ACD=∠CBD
又∴∠BCD+∠CBD=90度
∴∠BCD+∠ACD=90度，
即∠ACB=90度(再證∠ABC=∠EBF成立)
題目102
初中三年級中考復(fù)習(xí)平面幾何證明題一題多解
如圖：已知青AB=AC，E是AC延長線上一點，且有BF=CE，連接FE交BC于D。求證：FD=DE。
分析：本題有好多種證明方法，由于新課標主要用對稱、旋轉(zhuǎn)方法證明，但平行四邊形的性質(zhì)、平行線性質(zhì)等都是證題的好方法，我在這里向初中三年級同學(xué)面對中考需對平面幾何證明題的證明方法有一個系統(tǒng)的復(fù)習(xí)和提高。下邊我將自己證明這道題的方法給各位愛好者作以介紹，希望各位有所收獲，仔細體會每中方法的異同和要點，從中能得到提高。我是一位數(shù)學(xué)業(yè)余愛好者，不是學(xué)生，也不是老師，如有錯誤，請批評指證。信箱：
證法一 ∧≌∠⊥∥△□°
證明：過E點作EM ∥AB交DC延長線于M點，則∠M=∠B，又因為∠ACB=∠B
∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM， 又EC=BF 從而EM=BF，∠BFD=∠DEM
證法二
證明：過F點作FM∥AE，交BD于點M，
則∠1=∠2 = ∠B 所以BF=FM，
又 ∠4=∠3 ∠5=∠E
所以△DMF≌△DCE，故 FD=DE。
證法三
以BC為對稱軸作△BDF的對稱△BDN，連接NE，則△DBF≌△DBN，DF=DN，BN=BF，NF⊥BD，∠FBD=∠NBD，又因為∠C=∠FBD
所以∠NBD=∠C。 BN∥CE，CE=BF=BN，所以四邊形BNCE為平行四邊形。故NF∥BC，
所以NF⊥NE，因FN衩BD垂直平分，故D是FE的中點，所以FD=DE。（也可證明D是直角△NEF斜邊的中點）。
證法四：
AF=AG，所以FG∥DC，又因為∠1=∠2，所以FBCG為等腰梯形，所以
FG∥DC，故DC是△EGF的中位線。所以
FD=DE。
證法五
證明：把△EDC繞C點旋轉(zhuǎn)180°，
得△GMC，則△EDC≌△GMC
CE=GC=BF
連接FG，由于GC=BF，從而AF=AG，∠1=∠AFG
FG∥BC，所以FBMG為等腰梯形，所以
FG∥DC，故DC是△EGF的中位線。所以
FD=DE。
證法六
∠2=∠3；又∠1=∠3，∠B=∠1所以
∠2=∠B，BF∥CN，所以四邊形BCNF為平行四邊形，DC ∥FG，∠1=∠4，所以
∠2=∠4=∠CNG，所以 CG=CN=CE；
故DC是DC是△EGF的中位線。所以
FD=DE。
證明：延長AB至G，使BG=CE，又因AB=AC，BF=CE則AG=AE
所以BC∥GE，則BD是△FGE的中位線。所以FD=DE。
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