有了前兩期的鋪墊，本期我們來證明0.9的循環(huán)等于1。我們現(xiàn)在知道每一個戴德金分割對應一個實數(shù)，所以我們只要證明這兩個實數(shù)對應的戴德金分割是一樣的就可以了。
0.999…的戴德金分割
A={x∈Q|x<0.999…}，
B={x∈Q|x≥0.999…}。
顯然A∩B=?，A∪B=Q。
1的戴德金分割
M={x∈Q|x<1}，
N={x∈Q|x≥1}。
顯然M∩N=?，M∪N=Q。
證明兩種分割相等
要想證明分割一樣，就要證明集合A=M。
（1）證A?M；
設a∈A，∴a<0.999…，
∴a<1，∴a∈M。
（2）證M?A；
設m∈M，∴m<1。
因為m是有理數(shù)，∴m=p/q<1,
∴p<q, 1-m=1-p/q=(q-p)/q,
∵p<q，∴q-p≥1，
∴(q-p)/q≥1/q。
總是存在正整數(shù)n，使得
10n>q,
∴1/ 10n <1/q,
∴1-m>1/ 10n,
∴m<1- 1/ 10n=0.99…9(n個9)，
∵0.99…9(n個9)<0.999…,
∴m<0.999…,
∴m∈A。
因此我們得到A=M。這就說明兩個分割是一樣的。故0.9的循環(huán)等于1。
很多網(wǎng)友想通過
10×0.999…=9.999…
或
1/3=0.333…，
來證明。
但是有兩個問題，
1. 沒有嚴格定義過無限小數(shù)的乘法。
2. 1/3為什么等于0.333…。
圖 文：小 修
排 版：歪 歪
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