（本文是《哥德爾綱領(lǐng)》（復(fù)旦出版社，2018）一書的序言。主要討論如何超出當(dāng)代哲學(xué)的藩籬去重新審視哥德爾思想的意義。轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明出處。）
隨著五卷本《哥德爾文集》的編輯出版，哥德爾生前眾多未發(fā)表的手稿被整理出來。這些手稿有很大一部分是關(guān)于哲學(xué)的，從而引起了國(guó)際上對(duì)哥德爾哲學(xué)的研究熱情。到目前為止，這些研究大致落在兩個(gè)范式之下，但是都沒有取得令人滿意的進(jìn)展。
把哥德爾置于當(dāng)代分析哲學(xué)的背景下看起來是非常自然的事情。因?yàn)榉治稣軐W(xué)正是靠著數(shù)理邏輯的興起才產(chǎn)生的，而哥德爾是塑造當(dāng)今數(shù)理邏輯整個(gè)研究領(lǐng)域的人之一。在邏輯學(xué)的所有分支上，他的貢獻(xiàn)都是根本性的，都是推動(dòng)整個(gè)領(lǐng)域發(fā)展的動(dòng)力所在。他當(dāng)之無愧地被稱為“自亞里士多德以來最偉大的邏輯學(xué)家”。然而，至少到目前為止，從分析哲學(xué)方向上對(duì)哥德爾思想的理解和闡釋仍然流于表面。除了對(duì)哥德爾柏拉圖主義立場(chǎng)的抱怨之外，哥德爾思想的深刻內(nèi)涵并未被嚴(yán)肅地對(duì)待，更遑論富有成果的研究。
這其實(shí)也不難理解。當(dāng)代分析哲學(xué)深受經(jīng)驗(yàn)論傳統(tǒng)的影響，而哥德爾的哲學(xué)則深深植根于理性主義傳統(tǒng)之中，所以站在前者的立場(chǎng)上去看，哥德爾的哲學(xué)會(huì)顯得非?！安蛔匀弧?，如果不是“不可理喻”的話。葉峰在《20世紀(jì)數(shù)學(xué)哲學(xué)》中曾評(píng)論道，哥德爾并未對(duì)“作為分析哲學(xué)一個(gè)分支”的數(shù)學(xué)哲學(xué)產(chǎn)生什么重要的影響?？紤]到維也納學(xué)派之后分析哲學(xué)的發(fā)展，葉峰的評(píng)論自然可以理解。只是分析哲學(xué)這種強(qiáng)烈的反柏拉圖主義的傾向也并非從一開始就有，弗雷格和早期的羅素都像哥德爾一樣，是堅(jiān)定的柏拉圖主義者。轉(zhuǎn)向是后來才發(fā)生的。
有一則關(guān)于羅素和哥德爾交往的逸事很能生動(dòng)地說明這種變化。羅素曾在“自述”里回憶自己1944年5月前在普林斯頓高等研究院的一段時(shí)光，他自稱“每周一次地”與愛因斯坦、哥德爾和泡利討論?！拔也幌敫绲聽柧故遣粨诫s質(zhì)的柏拉圖主義者，分明相信天堂里臥著一個(gè)永恒的‘不’，德性高的邏輯學(xué)家也許能指望來世在那兒一睹它的芳容?！睋?jù)王浩說，后來在1971年哥德爾讀到了這個(gè)評(píng)論，并且起草了一份答復(fù)，其中說道：
“至于說到我的“不摻雜質(zhì)”的柏拉圖主義，它并不比1921年羅素本人的柏拉圖主義更“不摻雜質(zhì)”吧，當(dāng)時(shí)他在《導(dǎo)論》中說：“邏輯正如動(dòng)物學(xué)一樣是真正在談?wù)摤F(xiàn)實(shí)世界，雖然邏輯有更抽象、更一般這類特色。”顯然那時(shí)羅素甚至在現(xiàn)世已經(jīng)一睹“不”的芳容，只是他后來在維特根斯坦影響之下決意不把它當(dāng)作一回事?！?/span>
哥德爾從其科學(xué)生涯的一開始就對(duì)哲學(xué)有著濃厚的興趣，他的所有科學(xué)研究都有著深刻的哲學(xué)動(dòng)機(jī)。他在邏輯和數(shù)學(xué)研究中，甚至在物理學(xué)研究中，最為關(guān)心的都是那些“基本的東西”，這正是某種哲學(xué)精神的體現(xiàn)。在他看來，凡是基礎(chǔ)的理論工作都會(huì)與哲學(xué)相關(guān)，要么在哲學(xué)之中，要么由哲學(xué)提供動(dòng)機(jī)，要么有哲學(xué)的后果，要么要用哲學(xué)作為助探原理。而他自己的重要工作，全部屬于這四個(gè)方面中的某一個(gè)。事實(shí)也正是如此，每個(gè)仔細(xì)研讀哥德爾的邏輯和數(shù)學(xué)論文的人，都會(huì)發(fā)現(xiàn)在復(fù)雜的符號(hào)和公式背后，體現(xiàn)著作者對(duì)根本概念作精確理解的不懈追求。正如王浩評(píng)論的：
“……他大概將更多的精力貢獻(xiàn)給了哲學(xué)，比科學(xué)要多。他的哲學(xué)在談話及已發(fā)表文章中的應(yīng)用預(yù)兆著一個(gè)真正廣博而有力的巨型構(gòu)架，與柏拉圖、萊布尼茨、胡塞爾哲學(xué)都有接觸點(diǎn)?！?/span>
（這里引用的是王浩為洛克菲勒大學(xué)向哥德爾頒發(fā)榮譽(yù)學(xué)位的典禮而作的對(duì)哥德爾工作的評(píng)價(jià)，時(shí)間為1972年6月。據(jù)王浩稱他事前就拿給哥德爾過目，后者甚至提出了修改意見。）
更為重要的是，哥德爾的這些哲學(xué)思想直到今天仍然深刻影響著邏輯、計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。注意，我這里強(qiáng)調(diào)的是哥德爾的哲學(xué)和思想，而不是他作為邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家在以上領(lǐng)域中的那些巨大成就。本書的主題就是對(duì)這種影響體現(xiàn)在集合論領(lǐng)域中的一個(gè)個(gè)案研究。
所以，分析哲學(xué)對(duì)哥德爾思想的冷淡和低估恐怕不能用來證明哥德爾不是一位重要的哲學(xué)家，而只能說明哥德爾并不是傳統(tǒng)意義上的分析哲學(xué)家。如果不帶偏見地考察20世紀(jì)哲學(xué)的發(fā)展歷史，會(huì)自然得出這樣的印象：在最初借用了數(shù)理邏輯的一些基本成果之后，分析哲學(xué)之后的整個(gè)發(fā)展與數(shù)理邏輯后來的進(jìn)展是大異其趣的。對(duì)于數(shù)理邏輯各個(gè)領(lǐng)域隨后的進(jìn)展，特別是20世紀(jì)60年代以后的巨大成就，分析哲學(xué)既失去了早期那種學(xué)習(xí)借鑒的熱情，也失去了這樣做的能力。這其中的原因不僅僅是，或者說根本不是因?yàn)閿?shù)理邏輯變得越來越專門、越來越技術(shù)化。根本原因在于對(duì)抽象對(duì)象、對(duì)理性的先天能力、對(duì)深刻的形而上學(xué)問題的不加分別的拒斥。本書正是打算說明，至少?gòu)募险摰淖钚逻M(jìn)展來看，數(shù)理邏輯不僅正在產(chǎn)生出比早期更具哲學(xué)意義的重要成果，而且其對(duì)哲學(xué)的期待，不管是作為動(dòng)機(jī)還是助探原理，也比以往任何時(shí)候都要高得多。
這當(dāng)然只是一個(gè)宏觀的判斷，分析哲學(xué)陣營(yíng)里也不乏關(guān)心數(shù)學(xué)研究實(shí)踐的哲學(xué)家。對(duì)于他們來說，哥德爾始終是一個(gè)重要的思想源泉。例如，加州大學(xué)爾灣分校的麥蒂教授在其《數(shù)學(xué)中的實(shí)在論》一書中就說：
“從蒯因/普特南那里，這種調(diào)和[的哲學(xué)]接受不可或缺論證的核心內(nèi)容;從哥德爾那里，它接受對(duì)顯明性的純數(shù)學(xué)形式的承認(rèn)和對(duì)此進(jìn)行解釋的責(zé)任。因此它避免了蒯因/普特南的一個(gè)主要困難——對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐的不忠實(shí)?！?/span>
這種對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐的不忠實(shí)，最終使得作為分析哲學(xué)一個(gè)分支的數(shù)學(xué)哲學(xué)不再是“關(guān)于數(shù)學(xué)”的哲學(xué)，而是關(guān)于語(yǔ)言、心靈、大腦以及神經(jīng)元的哲學(xué)。但就算這樣，對(duì)哥德爾思想的忽視似乎也不完全合情合理。因?yàn)榧词箤?duì)以上主題，哥德爾也有著深刻而富有啟發(fā)的見解，這些見解當(dāng)然是基于他對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中那些根本概念的思考之上。王浩《邏輯之旅》的第六章對(duì)此有一個(gè)較為詳細(xì)的記錄和初步的評(píng)論。研究和探討哥德爾思想的這一方面仍有大量的工作要做。
對(duì)哥德爾思想研究的另一個(gè)范式是討論其與現(xiàn)象學(xué)的關(guān)系。這方面的成果甚至多于前一個(gè)范式。這提醒我們，現(xiàn)象學(xué)早期的發(fā)展也與數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題密切相連。胡塞爾曾深受康托和弗雷格的影響。特別是后者，通過對(duì)其《算術(shù)哲學(xué)》的嚴(yán)厲批評(píng)，促使胡塞爾放棄了算術(shù)中的心理主義。這是胡塞爾思想發(fā)展中的一個(gè)巨大的轉(zhuǎn)變。大陸哲學(xué)和分析哲學(xué)的互相詬病是后來的事情，而且?guī)в泻艽蟮那榫w化，并沒有太多的道理可講。哥德爾在一篇未發(fā)表的手稿中對(duì)胡塞爾的現(xiàn)象學(xué)曾經(jīng)大加贊賞：
“事實(shí)上，今天有一門剛剛發(fā)端的科學(xué)聲稱它擁有一套從事這類意義澄清的系統(tǒng)方法，那就是胡塞爾創(chuàng)立的現(xiàn)象學(xué)。在這里，意義澄清就是為了更鮮明地聚焦于所涉及的概念而按一定方式來指導(dǎo)我們的注意力，也就是讓它指向我們自己使用這些概念時(shí)的行為，指向我們實(shí)施自己行為時(shí)的能力，等等。但是，必須清楚地記住，這種現(xiàn)象學(xué)并不是其他科學(xué)意義上的一門科學(xué)。相反，它是 [或者說，無論如何應(yīng)當(dāng)是] 一套程式或技術(shù)，應(yīng)當(dāng)在我們心中產(chǎn)生一種新的意識(shí)狀態(tài)，我們就在這種狀態(tài)中詳盡地描述自己思考時(shí)所使用的基本概念，或者把握迄今不為我們所知的其他基本概念。我相信，根本沒有理由從一開始便拒絕這樣一種程式，視為無望的。當(dāng)然，經(jīng)驗(yàn)主義者最沒有理由這樣做，因?yàn)槟菚?huì)意味著他們的經(jīng)驗(yàn)主義其實(shí)是一種倒寫的先驗(yàn)主義?！?/span>
除此之外，研究者還發(fā)現(xiàn)哥德爾閱讀了胡塞爾的幾乎全部著作，并有數(shù)量巨大的詳細(xì)批注。因此，將哥德爾的思想與現(xiàn)象學(xué)聯(lián)系起來自然也是富有吸引力的研究方向。但是，除了以上提到的這篇生前并未發(fā)表的論文，哥德爾直接討論現(xiàn)象學(xué)和胡塞爾思想的文字非常有限。我們因此也無從知道哥德爾所理解的胡塞爾現(xiàn)象學(xué)思想的整體面貌。就我們非常有限的知識(shí)而言，我們認(rèn)為哥德爾對(duì)現(xiàn)象學(xué)的推崇是為了解決其柏拉圖主義立場(chǎng)的認(rèn)識(shí)論問題。為了解釋我們是如何認(rèn)識(shí)抽象對(duì)象的，哥德爾需要一種不同于康德的經(jīng)驗(yàn)直觀的認(rèn)識(shí)能力，他有時(shí)稱之為理性直觀。但是，我們并不清楚這種理性直觀是否就是胡塞爾的本質(zhì)之觀。由于現(xiàn)象學(xué)本身在胡塞爾之后也發(fā)展為一場(chǎng)浩大而又紛繁復(fù)雜的哲學(xué)運(yùn)動(dòng)，所以解決以上問題似乎并非易事。我們當(dāng)然歡迎這個(gè)方向上的任何真正進(jìn)展，但也要明白，現(xiàn)象學(xué)因素并不構(gòu)成哥德爾哲學(xué)的主體部分。要從整體上把握哥德爾的思想，我們需要全新的對(duì)哲學(xué)的理解。
哥德爾對(duì)自身哲學(xué)的這種處境有著非常清醒的認(rèn)識(shí)。我們甚至可以猜測(cè)這是他晚年極少發(fā)表哲學(xué)著作的原因之一。王浩曾慨嘆說：“假使他生活在一個(gè)合拍一點(diǎn)的哲學(xué)共同體里，他發(fā)表的哲學(xué)著作大概會(huì)多一點(diǎn)?！备绲聽栐?jīng)拒絕同他料定懷有敵意的人說話。他把流行的哲學(xué)稱為“時(shí)代精神”，認(rèn)為自文藝復(fù)興以來時(shí)代精神一直是在“左轉(zhuǎn)”，即越來越偏向?qū)嵱弥髁x、物理主義、經(jīng)驗(yàn)論。而他自己思想的領(lǐng)域則有強(qiáng)烈的“右傾”傾向，更偏向理想主義、實(shí)在論和柏拉圖主義。并且這種偏向是由數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)哲學(xué)的“本性”所決定的。
為了進(jìn)一步理解哥德爾對(duì)自身哲學(xué)處境的這種感受，讓我們進(jìn)入到數(shù)學(xué)哲學(xué)這一具體的領(lǐng)域，這是哥德爾的哲學(xué)和思想集中展現(xiàn)的地方。根據(jù)哥德爾的看法，如果哲學(xué)中有一個(gè)部門能成為柏拉圖主義的最后容身之所，那它一定是數(shù)學(xué)哲學(xué)。然而，在20世紀(jì)初，由于集合論悖論的出現(xiàn)，引起了在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)領(lǐng)域的急劇“左轉(zhuǎn)”。懷疑主義和經(jīng)驗(yàn)論者認(rèn)為數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了自相矛盾，唯一的解決之道就是禁止數(shù)學(xué)中的無窮概念，或者把數(shù)學(xué)視為語(yǔ)言的純粹句法。而在哥德爾看來，這個(gè)悖論不屬于數(shù)學(xué)，而是處于數(shù)學(xué)和哲學(xué)的邊緣，并且借助策梅洛的集合論公理化系統(tǒng)，這個(gè)悖論已經(jīng)被徹底解決了。所以那些借助悖論問題而反對(duì)集合論、反對(duì)實(shí)無窮的立場(chǎng)是屈服于時(shí)代精神的結(jié)果，而不是從事情本身得出的結(jié)論。
但是，這樣的論據(jù)似乎對(duì)反抗時(shí)代精神毫無用處，懷疑主義和經(jīng)驗(yàn)論仍然占了上風(fēng)。在經(jīng)歷了20世紀(jì)前30年的激烈爭(zhēng)論之后，希爾伯特的形式主義被哥德爾的不完全性定理?yè)舻?，布勞威爾的直覺主義因?yàn)榫艹獯蟛糠值慕?jīng)典數(shù)學(xué)而始終未能被廣泛接受，弗雷格的邏輯主義也因羅素悖論的出現(xiàn)而被宣告失敗。如果說形式主義的失敗是無可爭(zhēng)議的，那么邏輯主義的失敗則非?？梢伞Ｈ绺绲聽査f，這個(gè)悖論后來以令人滿意的方式解決了，而且對(duì)每個(gè)理解集合論的人來說，這是顯而易見的。那為何傳統(tǒng)上依然會(huì)認(rèn)為是悖論打敗了邏輯主義呢？這是一個(gè)值得思考的問題。我們不打算在這里展開對(duì)這個(gè)問題的探討（有興趣的讀者可以參考郝兆寬《邏輯是什么以及邏輯應(yīng)當(dāng)是什么》）。而只是想指出，弗雷格的邏輯主義是一種柏拉圖主義，邏輯對(duì)于弗雷格來說是研究客觀實(shí)在的科學(xué)，借用羅素的話說，邏輯正如動(dòng)物學(xué)一樣是真正在談?wù)撌澜?。這當(dāng)然與《邏輯哲學(xué)論》中的觀點(diǎn)截然相反，而與哥德爾的立場(chǎng)完全一致。而后來占了上風(fēng)的觀點(diǎn)，有時(shí)也被稱為邏輯主義，認(rèn)為數(shù)學(xué)，更不用說邏輯，不過是語(yǔ)言的句法，與弗雷格的邏輯主義又是完全不同了。這就難怪即使在數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域，一個(gè)當(dāng)代的職業(yè)哲學(xué)家也不能理解哥德爾為何對(duì)已經(jīng)在流行哲學(xué)中“過時(shí)”的柏拉圖主義抱有如此堅(jiān)定的信念。
但是，正如我們已經(jīng)提到的，時(shí)代精神的勝利是有代價(jià)的，它使得數(shù)學(xué)哲學(xué)完全脫離了數(shù)學(xué)家的實(shí)踐，成了一門與數(shù)學(xué)的任何進(jìn)展無關(guān)的孤芳自賞的學(xué)科。雖然在20世紀(jì)90年代數(shù)學(xué)哲學(xué)又進(jìn)入了一個(gè)相對(duì)活躍的時(shí)期，但是上個(gè)世紀(jì)前30年那種哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家同時(shí)抱著極大的熱情在一起討論和研究的景象卻沒有再現(xiàn)。數(shù)學(xué)哲學(xué)似乎已經(jīng)與數(shù)學(xué)無關(guān)了。對(duì)此，哈佛大學(xué)的考爾納教授在其與武丁合著的《集合論基礎(chǔ)》中評(píng)論道：
“在物理學(xué)哲學(xué)中，有兩類工作。首先，有些工作的進(jìn)展是獨(dú)立于當(dāng)代物理學(xué)發(fā)展的。其次，有些工作是與當(dāng)代物理學(xué)的進(jìn)展緊密相連的。在數(shù)學(xué)哲學(xué)中，我們同樣可以作出類似的區(qū)分。但是絕大多數(shù)當(dāng)代工作完全獨(dú)立于當(dāng)代數(shù)學(xué)的進(jìn)展。雖然此方面也有不少出色成果，但我們認(rèn)為追求數(shù)學(xué)哲學(xué)的多樣性，更加密切聯(lián)系目前的數(shù)學(xué)成果，一定會(huì)有更大收獲。不僅在評(píng)價(jià)已有結(jié)果的哲學(xué)意義上會(huì)有巨大收獲，并且通過數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)的當(dāng)代進(jìn)展之間的相互作用，也會(huì)有更大的收獲?！?/span>
而另一方面，對(duì)哲學(xué)日益脫離科學(xué)實(shí)踐的這種自我孤立，那些期待從哲學(xué)中能獲得一些有益靈感的科學(xué)家也表達(dá)了失望之情：
“迄今，大部分科學(xué)家太忙于發(fā)展描述宇宙為何物的理論，以至于沒工夫去過問為什么的問題。另一方面，以尋根究底為己任的哲學(xué)家跟不上科學(xué)理論的進(jìn)步。在18世紀(jì)，哲學(xué)家將包括科學(xué)在內(nèi)的整個(gè)人類知識(shí)當(dāng)作他們的領(lǐng)域，并討論諸如宇宙有無開初的問題。然而，在19和20世紀(jì)，科學(xué)變得對(duì)哲學(xué)家，或除了少數(shù)專家以外的任何人而言，過于技術(shù)性和數(shù)學(xué)化了。哲學(xué)家如此地縮小他們質(zhì)疑的范圍，以至于連維特根斯坦——這位本世紀(jì)最著名的哲學(xué)家都說道：“哲學(xué)僅余下的任務(wù)是語(yǔ)言分析?！边@是從亞里士多德到康德以來哲學(xué)的偉大傳統(tǒng)的何等的墮落!”
在這個(gè)意義上，哥德爾的哲學(xué)是對(duì)西方形而上學(xué)傳統(tǒng)的一種回歸。如王浩正確評(píng)價(jià)的，他的思想更接近柏拉圖，更接近萊布尼茨。
本書的一個(gè)主要目的就是跳出當(dāng)代流行哲學(xué)的藩籬去展現(xiàn)哥德爾的思想。我們特別想說明的是其思想的活力，其在數(shù)學(xué)實(shí)踐中不斷發(fā)揮的重要作用。同時(shí)，我們還想說明，數(shù)學(xué)中，特別是集合論中的那些美妙的結(jié)果又如何印證、豐富和發(fā)展這種哲學(xué)的。這與當(dāng)代哲學(xué)的境況是一個(gè)非常鮮明的對(duì)比。為此目的，我們選取了“哥德爾綱領(lǐng)”這一主題，將其作為理解上述問題的一個(gè)實(shí)際的案例。比起哥德爾綱領(lǐng)，康托的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)可能更為讀者所熟悉。事實(shí)上，前者可以看作是為解決后者而提出的一種研究方略。當(dāng)數(shù)學(xué)家們知道了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的獨(dú)立性之后，關(guān)于這個(gè)集合論命題的哲學(xué)地位就產(chǎn)生了爭(zhēng)論。一派認(rèn)為獨(dú)立性就是對(duì)這個(gè)問題的最好解決，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)既不是真的也不是假的，這就是最后的答案，因此，這個(gè)方向的工作已經(jīng)完成。這種觀點(diǎn)的哲學(xué)動(dòng)機(jī)在于，認(rèn)為一個(gè)數(shù)學(xué)命題的“真”完全決定于它是否能在一個(gè)特定的公理系統(tǒng)內(nèi)得到證明。目前大家普遍接受的作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的公理系統(tǒng)是ZFC。連續(xù)統(tǒng)假設(shè)因?yàn)槭仟?dú)立于ZFC的，也就是說，它和它的否定都不能在ZFC中證明，因此，按照這一派的觀點(diǎn)，它既不是真的，也不是假的，而是無意義的。但是哥德爾卻認(rèn)為，一個(gè)數(shù)學(xué)命題的真取決于它是否描述了客觀數(shù)學(xué)世界的事實(shí)。我們不能通過某個(gè)公理系統(tǒng)證明它和它的否定，只能說明這個(gè)公理系統(tǒng)本身不夠強(qiáng)大。由于公理系統(tǒng)不過是我們對(duì)客觀數(shù)學(xué)世界的認(rèn)識(shí)，所以獨(dú)立性現(xiàn)象只是說明我們對(duì)客觀數(shù)學(xué)世界的認(rèn)識(shí)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。因此，解決獨(dú)立性問題的正確途徑不是通過宣告其無意義而回避問題的存在，而是應(yīng)該通過不斷加深對(duì)數(shù)學(xué)世界的探索而加強(qiáng)我們的公理系統(tǒng)，最終在新的框架內(nèi)確定它的真值。這就是“哥德爾綱領(lǐng)”的核心思想，即通過尋找新的集合論公理最終解決包括連續(xù)統(tǒng)問題在內(nèi)的那些獨(dú)立性問題。
有趣的是，兩種觀點(diǎn)的動(dòng)機(jī)都是哲學(xué)的，前者大致可以認(rèn)為是形式主義的立場(chǎng)，后者當(dāng)然是柏拉圖主義的主張。但是，它們都對(duì)實(shí)際的數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。對(duì)于前者來說，工作于ZFC之內(nèi)去發(fā)現(xiàn)新的定理，或者證明一個(gè)命題的獨(dú)立性是最有吸引力的工作。在這樣的認(rèn)識(shí)下，20世紀(jì)60年代以后對(duì)力迫的研究豐富多彩，新的獨(dú)立性命題也層出不窮。對(duì)于后者來說，像大基數(shù)公理這樣的的超出ZFC的命題更具魅力，它們是尋找新公理的最可靠的基礎(chǔ)。同時(shí)，如何讓已知的集合宇宙容納越來越強(qiáng)的大基數(shù)則促進(jìn)了內(nèi)模型的發(fā)展。這兩個(gè)方向也在哥德爾和科恩之后獲得了巨大的成就。
特別是自20世紀(jì)80年代以來，這些成就將內(nèi)模型、大基數(shù)和實(shí)數(shù)子集的可決定性緊密聯(lián)系在一起。在此基礎(chǔ)上，武丁教授提出了解決連續(xù)統(tǒng)問題的一系列設(shè)想。經(jīng)過近20年的發(fā)展，特別是在2010年之后，整個(gè)圖景逐漸清晰起來。粗略地說，連續(xù)統(tǒng)問題的解決取決于我們是否能夠構(gòu)造一個(gè)包含超緊基數(shù)的類似于L的內(nèi)模型。如果這種構(gòu)造能夠成功，那就在某種意義上出現(xiàn)了一個(gè)終極的模型，在其中連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是真的。目前已知的所有獨(dú)立性問題都會(huì)找到答案，而且也不能通過集合力迫構(gòu)造出新的獨(dú)立性命題。如果成功，這在任何意義上都應(yīng)該被看作是哥德爾綱領(lǐng)的實(shí)現(xiàn)。當(dāng)然，另一種可能也始終存在，如果最終證明這種構(gòu)造是不可能的，或者說超緊基數(shù)是不一致的，那事情就會(huì)變得更為復(fù)雜。不過，如果我們接受波普爾科學(xué)證偽的理論，這種同時(shí)存在的相互反對(duì)的可能性正是科學(xué)研究區(qū)別于非科學(xué)的根本特征。由此可以看出，哥德爾綱領(lǐng)不僅僅是一個(gè)哲學(xué)口號(hào)，哥德爾的柏拉圖主義也不是一個(gè)與科學(xué)無關(guān)的空洞的哲學(xué)立場(chǎng)的宣示。它深刻影響著數(shù)學(xué)實(shí)踐，并且產(chǎn)生出具體的數(shù)學(xué)結(jié)果，從而向我們展現(xiàn)了數(shù)學(xué)和哲學(xué)之間那種自古希臘以來就有的緊密聯(lián)系，而這正是我們理解的數(shù)學(xué)哲學(xué)的魅力所在。
在本書的寫作過程中，我始終考量的一個(gè)問題是它會(huì)面對(duì)什么樣的讀者。我們已經(jīng)明確，哥德爾綱領(lǐng)不是當(dāng)下意義上的一個(gè)純粹數(shù)學(xué)哲學(xué)的命題，與數(shù)學(xué)的研究和實(shí)踐無關(guān)。相反，它深深地與集合論領(lǐng)域的進(jìn)展聯(lián)系在一起。因此，為了能充分展示其深刻的內(nèi)涵，數(shù)學(xué)定理的引用和證明是不可避免的。這樣做的一個(gè)更為重要的原因是我們對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)研究范式的理解，這我們已經(jīng)充分予以說明了。我們同意考爾納教授的看法，這里討論的哲學(xué)問題是建立在一個(gè)數(shù)學(xué)定理的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的，這是它的區(qū)別于當(dāng)前范式的根本所在。這樣做的結(jié)果就是，很可能使得現(xiàn)有范式中哲學(xué)背景的讀者望而卻步。另一方面，純粹數(shù)學(xué)背景的讀者可能相反，會(huì)認(rèn)為我們涉及了太多的哲學(xué)內(nèi)容。這個(gè)問題沒有前者那么嚴(yán)重，因?yàn)殛P(guān)心集合論的數(shù)學(xué)家一定會(huì)有某些哲學(xué)的思考。事實(shí)上，我們也認(rèn)為所有的數(shù)學(xué)家都應(yīng)該有一些真正的哲學(xué)關(guān)懷。這里當(dāng)然不能詳細(xì)論證這一點(diǎn)。不過，本書中的哲學(xué)討論絕大多數(shù)源自真正的數(shù)學(xué)家提出的理論，它們大多清晰而簡(jiǎn)明。所以應(yīng)該不會(huì)像職業(yè)哲學(xué)家的那些學(xué)究式的論述令數(shù)學(xué)家們不知所云。當(dāng)然，最理想的讀者就是那些關(guān)心數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，乃至一般形而上學(xué)問題，并且具有一定數(shù)理邏輯基礎(chǔ)的同好。我期待他們能從本書中受益，甚至獲得進(jìn)一步研究的動(dòng)力。有很多作者希望把自己的書描繪為“自我滿足的”，即不假定讀者有任何預(yù)備的知識(shí)。但在我看來這不可能是真實(shí)的，也從未見到一本這樣自我標(biāo)榜的著作真正做到了這一點(diǎn)。出于這種考慮，加之本書的論題的確并不輕松，我們還是想在此推薦一些有助于理解本書論題的著作，方便讀者參閱。
有關(guān)數(shù)理邏輯基本知識(shí)的著作有很多，門德爾松、申菲爾德和安德頓的書都是名著，可惜都沒有，或者沒有很好的中譯本。中文方面除了我們自己編寫的教科書數(shù)理邏輯——證明及其限度》外，新出版的馮琦教授的著作也是一個(gè)選擇。順便提一句，在我看來，數(shù)理邏輯之于哲學(xué)和所有“理論科學(xué)”類似于數(shù)學(xué)分析之于數(shù)學(xué)和所有數(shù)理科學(xué)。這里我用理論科學(xué)指的是那些主要依靠概念分析和論證的科學(xué)，當(dāng)然也包括數(shù)學(xué)、理論物理這樣的學(xué)科。而且類似于數(shù)學(xué)分析與高等數(shù)學(xué)的分別，數(shù)理邏輯也有兩種不同的教學(xué)模式，那種比較強(qiáng)調(diào)形式系統(tǒng)內(nèi)定理證明的模式類似于高等數(shù)學(xué)，它的正確名稱應(yīng)該是“邏輯演算”。而另一種強(qiáng)調(diào)一階理論的元性質(zhì)，強(qiáng)調(diào)完全性定理、緊致性、不完全性定理等理論內(nèi)容的模式則更類似于數(shù)學(xué)分析。我們以上列舉的教材都屬于后一種模式，也是哲學(xué)和理論科學(xué)的學(xué)生最佳的訓(xùn)練途徑。
集合論方面，苦能（Kenneth Kunen）和葉赫（Thomas Jech）的書是名著，辛德勒（Ralf Schindler）的新書Set Theory: Exploring Independence and Truth 則更為現(xiàn)代、更適合本書的主題，對(duì)初學(xué)者也更為困難。我們自己編寫的集合論教科書《集合論——對(duì)無窮概念的探索》可能更適合初學(xué)者。
關(guān)于哥德爾思想，除了5卷本的《哥德爾文集》外，王浩的三本著作是最為重要的參考文獻(xiàn)：《從數(shù)學(xué)到哲學(xué)》、《哥德爾》和《邏輯之旅》。其中后兩種的中譯本非常精良，值得信賴。
最后，我要向許多人表達(dá)感謝之情。這本書的主要論題完全得益于新加坡國(guó)立大學(xué)舉辦的數(shù)理邏輯暑期學(xué)校，作者自2010年以來幾乎每年都獲邀參加，對(duì)新加坡國(guó)立大學(xué)數(shù)學(xué)系和數(shù)學(xué)研究所懷有深深的感激。特別感謝數(shù)學(xué)研究所主任、新加坡科學(xué)院院士莊志達(dá)教授。作為國(guó)際知名的數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家，莊先生同時(shí)也是一位和藹可親的長(zhǎng)者，他對(duì)后輩學(xué)者的幫助慷慨而無私。更為難能可貴的是莊先生同時(shí)是新加坡國(guó)立大學(xué)哲學(xué)系的兼職教授，其對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相關(guān)的哲學(xué)問題有著非常令人欽佩的洞見。特別感謝新加坡國(guó)立大學(xué)的楊躍教授，無論是作為暑期學(xué)校的組織者之一，還是作為《哥德爾文集》翻譯小組的主持人，以及作為一系列論文和著作的合作者，楊躍老師對(duì)我的幫助都是不可估量的，而我的感激之情也難以言表。我還要感謝中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所的馮琦教授，以及經(jīng)常一起參加暑期學(xué)校的南京大學(xué)喻良教授、北京師范大學(xué)施翔暉教授和中山大學(xué)王瑋教授。他們對(duì)我的幫助體現(xiàn)在平時(shí)的討論中，以及我每當(dāng)遇到相關(guān)領(lǐng)域的問題時(shí)隨時(shí)的請(qǐng)教，并且總能得到令人信服的回答。我與哈佛大學(xué)的武丁教授并無私交，但自2010年以來，我?guī)缀趺磕甓冀枋钇趯W(xué)校的機(jī)會(huì)聆聽武丁教授的演講。這些演講有時(shí)會(huì)持續(xù)兩周，至少也有一周。內(nèi)容則涉及他解決連續(xù)統(tǒng)問題相關(guān)工作的最新進(jìn)展。本書最后兩章的內(nèi)容基本反映了我對(duì)武丁教授這些偉大成就的理解和哲學(xué)上的解讀。同樣，作為當(dāng)今世界最為重要的邏輯學(xué)家，武丁教授對(duì)初學(xué)者的耐心和對(duì)哲學(xué)問題的熱情也給我留下了深刻印象。作者還曾就本書論題的不同方面請(qǐng)教過很多朋友，特別是楊森博士、吳劉臻博士、楊睿之博士，在此也表示深深的謝意。同時(shí)感謝復(fù)旦大學(xué)邏輯學(xué)研究生寇亮同學(xué)，她閱讀了本書前五章的初稿，細(xì)心地指出了一些打印錯(cuò)誤。
任何致謝的名單都難免掛一漏萬(wàn)，更多朋友各種形式的幫助在此難以一一述及，但感激之情是同樣的。在當(dāng)今的時(shí)代，討論純粹的學(xué)術(shù)是一件并不容易的事，我為自己能置身于這樣一群身懷絕技而又天性純粹的學(xué)者中感到無比的榮幸。
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