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首先，祝賀清華和哲學(xué)系的生日，其次也感謝奮榮，邀請(qǐng)我參加這樣一個(gè)盛會(huì)。談到清華的邏輯學(xué)派，我個(gè)人愿意做一點(diǎn)廣義的理解。因?yàn)榍迦A跟北大一直也不分家，地域上又都在中關(guān)村，再包括中科院，我們都是鄰居，遠(yuǎn)親不如近鄰。歷史上，我們也是分分合合。如今，馮琦老師加入清華，也是合作的一個(gè)象征，希望將來(lái)我們能有更緊密的合作。

今天我主要想談一些我本人跟王浩先生的些許交往。上世紀(jì)80年代，王浩在清華和北大都擔(dān)任客座教授，做了多次演講，我自己參加過(guò)的可能有三次吧。每次他來(lái)時(shí)都要看望自己的老師王憲鈞先生。在這期間，從本科、碩士再到博士，我一直在北大。王憲鈞先生師生關(guān)系融洽，已成為一個(gè)傳統(tǒng)，我們好多課都是在王先生家里上的，也常在王先生家里吃飯。所以王浩在王憲鈞先生家里吃飯的時(shí)候，我們也曾在座。我們學(xué)生還幾次到勺園五號(hào)樓拜訪(fǎng)過(guò)王浩。通過(guò)這些機(jī)會(huì)，我本人跟王浩先生有過(guò)一些交談，第一個(gè)話(huà)題自然就是如何學(xué)邏輯，另外交談中也涉及王浩自己的一些哲學(xué)觀點(diǎn)和學(xué)術(shù)品味，這些跟我自己當(dāng)時(shí)在寫(xiě)的論文有關(guān)。

關(guān)于邏輯學(xué)習(xí)，從王浩自己的經(jīng)歷來(lái)看，他去西南聯(lián)大讀數(shù)學(xué)，一年級(jí)就開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)理邏輯。當(dāng)時(shí)是王憲鈞先生教他這門(mén)課，帶他入門(mén)，用的課本是羅素的《數(shù)學(xué)原理》。二年級(jí)的時(shí)候他就開(kāi)始讀希爾伯特和貝納斯的《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》。據(jù)王浩回憶，王憲鈞先生從德國(guó)回到西南聯(lián)大時(shí)，帶來(lái)的是全新的邏輯學(xué)，超越了羅素的理論，而轉(zhuǎn)入了哥德?tīng)?、希爾伯特、司寇倫等開(kāi)創(chuàng)的新路，已經(jīng)處于當(dāng)時(shí)的前沿。所以王浩一進(jìn)入邏輯，實(shí)際上就在這條新路上，他也一直很感念王憲鈞先生的引導(dǎo)。

1945年王浩去哈佛跟隨蒯因?qū)W習(xí)，但他關(guān)注的更多的是哥德?tīng)?、塔斯基等大家的思想，以及集合論、遞歸論等新的進(jìn)展。他的博士論文做的是和蒯因的集合論系統(tǒng)相關(guān)的工作，但據(jù)他自己所言，這不是他思考的重點(diǎn)。他所關(guān)注的重點(diǎn)還是當(dāng)時(shí)一些仍未解決的問(wèn)題，思路承接的是哥德?tīng)柡退够热说墓ぷ?。?jù)他回憶，他有一次證明了一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)能夠證明自身的一致性，與哥德?tīng)柕诙煌陚涠ɡ硐嚆?。他知道自己證明錯(cuò)了，但不知道錯(cuò)在哪里。他向羅瑟請(qǐng)教，討論了很長(zhǎng)時(shí)間，終于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題所在。

針對(duì)我們當(dāng)時(shí)課程開(kāi)設(shè)情況，王浩建議說(shuō)，數(shù)學(xué)分析、線(xiàn)性代數(shù)、幾何這些“老三論”已經(jīng)不夠了。要打好邏輯的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)方面要學(xué)“新三論”，即實(shí)變函數(shù)、抽象代數(shù)和拓?fù)鋵W(xué)。他還有一個(gè)建議很重要：不要以為自己起點(diǎn)低就不敢碰那些難的、新的問(wèn)題。應(yīng)該從閱讀大師重要的論文入手，關(guān)注新的問(wèn)題。不要等刀都磨好了再去砍柴，刀永遠(yuǎn)磨不好。

我們談話(huà)的內(nèi)容也涉及王浩基本的哲學(xué)立場(chǎng)，即 “Factualism”，現(xiàn)在翻譯為“事實(shí)主義”，他自己稱(chēng)為實(shí)事求是的觀點(diǎn)。對(duì)這種哲學(xué)立場(chǎng)有一個(gè)簡(jiǎn)單的描述：從我們已知的東西出發(fā)。我們要對(duì)我們已知的東西給予足夠的重視，因?yàn)?strong>我們對(duì)于我們知道什么比對(duì)于我們?cè)趺粗赖闹赖酶?/strong>。我們已經(jīng)知道一些東西，這個(gè)是我們知道的。但是對(duì)于我們?nèi)绾沃肋@些東西，我們可能還不知道。因此在哲學(xué)上，我們不能從我們是如何知道的出發(fā)，而要從我們已知的開(kāi)始。所以他不主張傳統(tǒng)的抽象的知識(shí)論（epistemology），而是建議一種具體的知識(shí)圖譜學(xué)（epistemography），把已知的東西先展示出來(lái)，這是我們的出發(fā)點(diǎn)。

那么，在數(shù)學(xué)哲學(xué)方面，事實(shí)主義就意味著我們要先于任何哲學(xué)而樸素地接受數(shù)學(xué)知識(shí)，不要先懷疑。同時(shí)這意味著在字面上接受數(shù)學(xué)真理，不要像唯名論那樣對(duì)數(shù)學(xué)命題做不恰當(dāng)?shù)姆g，曲解其意義。這種看法并不符合當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)哲學(xué)的“時(shí)代精神”，而王浩恰恰也反對(duì)“時(shí)髦”的哲學(xué)。對(duì)于當(dāng)時(shí)的許多數(shù)學(xué)哲學(xué)工作，王浩是不屑一顧的。比如著名的本納塞拉夫問(wèn)題（The Benacerraf Problem），質(zhì)問(wèn)我們?nèi)绾握J(rèn)識(shí)抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象。按歷史的因果的知識(shí)論，這的確成為一個(gè)問(wèn)題。但在王浩看來(lái)，這是顛倒了順序，我們應(yīng)該先承認(rèn)知道些什么，而怎么知道的是其次的問(wèn)題。

所以在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（foundations of mathematics）的研究中，王浩反對(duì)傳統(tǒng)的三派劃分，即邏輯主義、直覺(jué)主義和形式主義，而選擇一種五支的分法：

• 嚴(yán)格有窮主義

•  有窮主義

•  直覺(jué)主義

•  直謂主義

•  柏拉圖主義

這種分法哥德?tīng)栆蔡岬竭^(guò)，事實(shí)上哥德?tīng)柕膮^(qū)分比這五支還要精細(xì)，一共有八個(gè)派別。王浩支持這樣一種劃分，是因?yàn)樗逦卣故玖藬?shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)圖譜，從上到下論域不斷增加，方法不斷復(fù)雜，相互之間不是只有分歧，更重要的是它們之間的聯(lián)系。因此王浩主張一種融合主義或聯(lián)結(jié)主義（connectivism）的觀點(diǎn)：不要只見(jiàn)到這些觀點(diǎn)之間的差異，更重要的是看見(jiàn)它們的聯(lián)系；在態(tài)度上，不是要選邊站隊(duì)，而是要消解它們的分歧。一言以蔽之，要化沖突為互補(bǔ)。這或許和王浩先生所受到的中國(guó)文化的熏陶也有關(guān)系。

從整體上看，在這五支里面，直謂主義是非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，承上啟下，關(guān)系到兩個(gè)“大跳躍”：向上對(duì)比直覺(jué)主義，有一個(gè)從潛無(wú)窮到實(shí)無(wú)窮的跳躍；向下對(duì)比柏拉圖主義，有一個(gè)從直謂集合（在王浩的認(rèn)識(shí)當(dāng)中也就是可數(shù)集合）到任意集合（包含不可數(shù)集合）的跳躍。在數(shù)學(xué)上，它聯(lián)結(jié)了構(gòu)造主義和非構(gòu)造主義；在哲學(xué)上，它聯(lián)結(jié)了概念論和概念實(shí)在論。王浩自己相信且珍視概念性的知識(shí)（接受直謂主義），對(duì)概念的實(shí)在性問(wèn)題暫作懸置。但另一方面，他也不排斥柏拉圖主義，王浩自己曾說(shuō)，如果像哥德?tīng)栆粯痈杏X(jué)到接受概念的實(shí)在性對(duì)建立一種令人滿(mǎn)意的數(shù)學(xué)理論是必要的，便可進(jìn)一步接受柏拉圖主義。數(shù)學(xué)和哲學(xué)在王浩這里是一體的。

在學(xué)術(shù)上，王浩推崇的是哲學(xué)-科學(xué)家。在他的著作《邏輯之旅——從哥德?tīng)柕秸軐W(xué)》中有這樣一段話(huà)：“他們[愛(ài)因斯坦、哥德?tīng)朷都是偉大的哲學(xué)-科學(xué)家——這真正是一個(gè)稀有的品種，如今已經(jīng)被精細(xì)的分工、劇烈的競(jìng)爭(zhēng)、快出成績(jī)的糾纏、對(duì)理性的不信任、流行的浮躁和對(duì)理想的拒斥所戕殘，幾近絕跡了?！边@句話(huà)仍然適用于我們今天。

回到直謂主義。由于和我個(gè)人的論文相關(guān)，我向王浩問(wèn)及他在50年代的直謂主義工作。前面提到，王浩的博士論文和蒯因的 NF 和 ML 系統(tǒng)相關(guān)，這與直謂主義也是有關(guān)的。直謂主義肇始于羅素的 PM，在外爾之后直謂主義大致發(fā)展為這樣一個(gè)框架：即先接受自然數(shù)全體，再按照“惡性循環(huán)”原則（Vicious Circle Principle，VCP）逐層得到新的集合。直謂主義的問(wèn)題是：在這個(gè)框架下我們能走多遠(yuǎn)？

王浩在1954年建立了一個(gè)直謂集合論系統(tǒng) Σ，實(shí)際上描述的是哥德?tīng)柨蓸?gòu)造宇宙 L 的一個(gè)前段，但用來(lái)標(biāo)示階的，不是古典序數(shù)，而是“先前可定義”的某種“可構(gòu)造性序數(shù)”，由此做到“自動(dòng)膨脹”（autonomous expansion）。王浩希望這樣的自動(dòng)膨脹能夠遠(yuǎn)超 Church-Kleene 的遞歸序數(shù)，至少能涵蓋通常的可數(shù)序數(shù)。這樣，直謂主義才能起到上面所說(shuō)的“聯(lián)結(jié)”作用。但出乎王浩意料的是， Spector 在1955年證明了在 Σ 系統(tǒng)下的膨脹不會(huì)越出遞歸序數(shù)，這距離不可數(shù)集合尚有一個(gè)范圍廣大的空缺，也就是說(shuō)， Σ 并不是王浩所設(shè)想的直謂主義的適當(dāng)刻畫(huà)。隨后，王浩進(jìn)一步主張引入廣義歸納定義以超出自動(dòng)膨脹：如果一歸納定義中出現(xiàn)的謂詞是直謂的，則定義出的謂詞也是直謂的，并且歸納定義在直謂序數(shù)的范圍內(nèi)迭次使用，其結(jié)果也是直謂的。但這樣的歸納定義在形式上就違反了羅素的VCP，所以一般被認(rèn)定為非直謂的。而且，F(xiàn)eferman 和 Schütte 基于Kreisel 的“可證性”設(shè)想證明，直謂序數(shù)的最小上界為 Γ0（一個(gè)遞歸序數(shù)），而這已成為當(dāng)今關(guān)于直謂主義的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果。

但王浩一直沒(méi)有放棄自己的“大直謂”想法，他如此“固執(zhí)”的理由大致有如下三點(diǎn)：

• 首先是針對(duì)概念性知識(shí)的內(nèi)在辯護(hù)：概念上我們已經(jīng)清晰地理解了歸納定義的對(duì)象，這個(gè)理解并不依賴(lài)于歸納定義的非直謂表述，可能出現(xiàn)的情況是現(xiàn)有歸納定義的形式化表述無(wú)法精確地刻畫(huà)我們關(guān)于歸納定義的直觀。

• 其次，真和知是相區(qū)別的：可定義性首先是有關(guān)于真的，應(yīng)該與可認(rèn)知或可證性相區(qū)別，而我們的目標(biāo)是求概念之真，不單純是可知。因此他堅(jiān)持在直謂主義中采取“可定義性”的進(jìn)路，不同意Kreisel“可證明性”的表述。

• 最后，還有一個(gè)以數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的外在辯護(hù)：我們借歸納定義超越有窮，但不必越過(guò)可數(shù)，而且總是得到唯一的最小模型，而它正是標(biāo)準(zhǔn)模型，這在完全非直謂的情形里是做不到的。

在王浩的這些思想中我們可以看到，他把哲學(xué)的理由直接用于數(shù)學(xué)，這也是他的觀點(diǎn)不為正統(tǒng)觀點(diǎn)所接受的一個(gè)原因。但王浩認(rèn)為這是合理的，因?yàn)?strong>二者本為一體：在這里，哲學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)中直接誘導(dǎo)出來(lái)的，而要解決哲學(xué)問(wèn)題必須要使用數(shù)學(xué)手段。在他看來(lái)，并不存在數(shù)學(xué)之上的所謂第一哲學(xué)，數(shù)學(xué)哲學(xué)就在數(shù)學(xué)之中，以數(shù)學(xué)體現(xiàn)出來(lái)。這與他的“哲學(xué)—科學(xué)家”的目標(biāo)是一致的。

        但王浩的這項(xiàng)工作并沒(méi)有進(jìn)行下去。60年代之后，他基本放棄了直謂數(shù)學(xué)的工作，沒(méi)有發(fā)展新的直謂系統(tǒng)，也沒(méi)有像他許諾的一樣對(duì)惡性循環(huán)原則提出新的表述，而把這些留待后人。我曾問(wèn)他為什么沒(méi)有繼續(xù)下去，也提到后來(lái)有人對(duì)他的直謂主義思想做過(guò)研究，詢(xún)問(wèn)他對(duì)這個(gè)研究的看法。但面對(duì)此類(lèi)問(wèn)題他都語(yǔ)焉不詳，不愿意多講；只是談到直謂性問(wèn)題非常復(fù)雜，例如哥德?tīng)柧驮蚜_素的惡性循環(huán)原則細(xì)分成了三種表述，其強(qiáng)弱不同。我猜測(cè)，他一直苦于“看不清”直謂性概念，不能像戴德金對(duì)于數(shù)或圖靈對(duì)于算法那樣，把它“說(shuō)清楚”。而說(shuō)不清的，他寧肯不說(shuō)。

然而，王浩的這項(xiàng)工作，邏輯學(xué)家們其實(shí)并未淡忘。96年紀(jì)念哥德?tīng)柕囊淮螘?huì)議上，許多人（包括 Feferman 本人）都提到王浩的直謂主義想法，Charles Parsons 等甚至希望有人能繼續(xù)做下去。此前我在德國(guó)見(jiàn)到 Lev Gordeev，他熟悉王浩的這項(xiàng)工作，也認(rèn)為值得繼續(xù)做下去。他評(píng)論道，王浩是哲學(xué)家，與羅素、希爾伯特和哥德?tīng)柺且活?lèi)人，而不是單純的技術(shù)工作者。他的思想具有獨(dú)特的價(jià)值，不能因?yàn)榕c流行的技術(shù)性結(jié)果相沖突就輕言其失敗。

以上是我的一些回憶。謝謝各位！