這是一道三年級同學(xué)的家長發(fā)來求助的題目：
某次數(shù)學(xué)競賽原定一等獎10人，二等獎20人，現(xiàn)在將一等獎最后4人調(diào)整為二等獎，這樣得二等獎學(xué)生的平均分提高了1分，得一等獎的學(xué)生的平均分提高了2分，那么原來一等獎平均分比二等獎平均分多多少分？
看到題目，我也是倒吸一口冷氣?，F(xiàn)在小學(xué)三年級的奧數(shù)題就難成這樣了？記得我上三年級的時候，這種題目的，見都沒見過。
家長也表示，小孩被這道題虐慘了，老師講的解法就是理解不了，甚至有點傷到學(xué)數(shù)學(xué)的興趣了。
講題目之前，我們先來講講平均數(shù)的一個有意思的性質(zhì)。所以平均，就是“損有余而補不足”，用浙江的土話來講，叫“扯扯平”。所以：
比平均數(shù)多的一定等于比平均數(shù)少的
舉個例子。
比如，有四個數(shù)11、12、14、15。它們的平均數(shù)等于13。比13大的數(shù)有14、15，分別比13大1和2，一共大3；比13小的數(shù)是11、12，分別是13小2和1，一共小3。大的等于小的。
這個例子，數(shù)學(xué)課本上用圖畫表示了出來（人教版四年級下冊第91頁）。
可惜的是，課本上沒有再進一步，詳細講講。
這個性質(zhì)什么用呢？我們看道例題：
小強在期末考試時，數(shù)學(xué)成績公布以前，語文、英語的平均成績是93分，數(shù)學(xué)成績公布以后，他的平均成績又提高了2分，小強數(shù)學(xué)考了多少分？
語文、英語的平均成績比三科平均少了2分，相當(dāng)于語文、英語各少了2分，一共少了4分。這4分，一定是數(shù)學(xué)補給它們的。
注意，數(shù)學(xué)多的這4分，是比三科平均數(shù)多的，這樣才有多余的補給其他兩科啊。三科的平均成績是93+2=95，所以數(shù)學(xué)得分95+4=99。
有的同學(xué)也許覺得，我可以算出三科的總分，再減去語文、英語的總分，不就一樣可以算出答案嗎？
那么再來看下面這題：
小強只知道自己期末考試語文、英語的平均成績，數(shù)學(xué)成績公布以后，他的平均成績又提高了2分，小強數(shù)學(xué)成績比其他兩科的平均成績高了多少分？
這樣的題目，就不能用總分來算了，只能用上面的方法，算得數(shù)學(xué)成績比其他兩科的平均分高了6分。
這種方法，可以擺脫平均數(shù)的絕對數(shù)值，只用知道各個數(shù)和平均數(shù)的相對關(guān)系。小學(xué)奧數(shù)里95%關(guān)于平均數(shù)的難題，都可以用這樣的方法來做。
我們再用兩道題目來熟悉下：
有兩組數(shù)，第一組數(shù)有6個，第二組數(shù)有4個，第一組的平均數(shù)比兩組合并后的平均數(shù)大2，那么兩組合并后的平均數(shù)比第二組的平均數(shù)大多少？
第一組平均數(shù)比合并后大2，總共多了2×6=12，也就是第二組少了12，平均每個數(shù)比合并后的平均數(shù)小了12÷4=3。
有兩組數(shù)，第一組數(shù)有4個，第二組數(shù)有20個，第二組的平均數(shù)比兩組合并后的平均數(shù)小1，那么第一組的平均數(shù)比第二組的平均數(shù)大多少？
第二組平均數(shù)要比合并后小1，總共少了1×20=20，也就是第一組多了20，平均每個數(shù)大了20÷4=5。那么第一組平均數(shù)比第二組平均數(shù)高了5+1=6
現(xiàn)在我們把兩道題合并起來：
有三組數(shù)，第一組數(shù)有6個，第二組數(shù)有4個，第三組有20個。如果把第一組和第二組合并，第一組的平均數(shù)比兩組合并后的平均數(shù)大2。如果把第二組和第三組合并，第三組的平均數(shù)比兩組合并后的平均數(shù)小1。問：第一、二組合并后的平均數(shù)比第三組大多少？
你們仔細看，這道題目，和最上面那道一等獎二等獎的題目，不是一樣的么。答案就是3+6=9分。
當(dāng)然，數(shù)學(xué)競賽中的真題，比這道題可能還要難上一些。常見的做法，是不告訴你具體的數(shù)量，只告訴你數(shù)量的比例，比如3：2，這樣的難度又要大一些。
比如這道，09年希望杯決賽的壓軸大題，大家可以試一下：
將和為45的9個數(shù)分成A和B兩組，如果將A組中的數(shù)4移到B組中，則A和B兩組數(shù)的平均數(shù)都比原來大0.25.求A組中原來有多少個數(shù)。
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