2014年的一篇論文《廣義全局對(duì)稱（Generalized Global symmetry）》把物理學(xué)的研究推向頂峰，該論文表明，物理學(xué)中最重要的對(duì)稱性可以擴(kuò)展到量子場論中。量子場論是現(xiàn)代物理學(xué)的基本理論框架。

一個(gè)多世紀(jì)以來，物理學(xué)的每一項(xiàng)重大進(jìn)展都是基于對(duì)對(duì)稱性的揭示。在電磁學(xué)領(lǐng)域，麥克斯韋方程組描述了電磁現(xiàn)象。這些方程具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性和洛倫茲對(duì)稱性，揭示了電磁場的守恒定律，如電荷守恒和磁通守恒。愛因斯坦的狹義相對(duì)論也受益于對(duì)稱性，特別是洛倫茲對(duì)稱性。這一理論要求物理定律在不同慣性參照系下保持不變。相對(duì)論揭示了時(shí)間和空間的相對(duì)性，以及著名的質(zhì)能方程。量子力學(xué)中的薛定諤方程和海森堡矩陣力學(xué)則具有時(shí)間和空間平移對(duì)稱性、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性以及其他更抽象的對(duì)稱性。這些對(duì)稱性揭示了量子世界的基本規(guī)律，如能量守恒和角動(dòng)量守恒等。

在基本粒子和相互作用領(lǐng)域，標(biāo)準(zhǔn)模型基于規(guī)范對(duì)稱性。規(guī)范對(duì)稱性是一個(gè)更一般的對(duì)稱性概念，它要求物理定律在某些內(nèi)部空間變換下保持不變。通過對(duì)稱性破缺，標(biāo)準(zhǔn)模型成功地解釋了強(qiáng)相互作用、弱相互作用和電磁相互作用的統(tǒng)一性。

這篇論文指出，在過去40年里，物理學(xué)家通過不同的觀察和實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了許多看似無關(guān)的現(xiàn)象。然而，經(jīng)過深入研究，這些現(xiàn)象實(shí)際上可以歸結(jié)為同一種潛在的對(duì)稱性表現(xiàn)。這種對(duì)稱性被稱為“高階對(duì)稱性（higher symmetries）”。

對(duì)稱問題

為什么這篇文章會(huì)有如此大的影響？對(duì)稱性給物理學(xué)家的工作帶來了很多便捷。當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)或現(xiàn)象具有對(duì)稱性時(shí)，物理學(xué)家可以利用這種對(duì)稱性來減少需要解決的未知量，從而簡化問題。這使得問題更容易解決，同時(shí)也減少了計(jì)算的復(fù)雜性。例如在廣義相對(duì)論中，時(shí)空的幾何性質(zhì)由度規(guī)張量來描述。對(duì)于一個(gè)具有空間對(duì)稱性的時(shí)空，例如具有球?qū)ΨQ性的時(shí)空，度規(guī)張量的分量會(huì)顯著減少，從而簡化了度規(guī)張量的形式。這使得物理學(xué)家能夠更容易地處理廣義相對(duì)論方程。

1915年，埃米·諾特（Emmy Noether）發(fā)表了她的諾特定理，揭示了對(duì)稱性與守恒定律之間的深刻聯(lián)系。諾特定理表明，每個(gè)連續(xù)對(duì)稱性都對(duì)應(yīng)著一個(gè)守恒量。例如，時(shí)間平移對(duì)稱性與能量守恒相關(guān)，空間平移對(duì)稱性與動(dòng)量守恒相關(guān)，旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性與角動(dòng)量守恒相關(guān)。諾特定理為理解自然規(guī)律提供了一個(gè)強(qiáng)大的工具，對(duì)現(xiàn)代物理學(xué)產(chǎn)生了重要影響。

此外，物理學(xué)家想要通過對(duì)稱性來給物理系統(tǒng)分類，當(dāng)兩個(gè)物理系統(tǒng)表現(xiàn)出相同的對(duì)稱性時(shí)，它們很可能遵循相似的基本規(guī)律和原則。這使得物理學(xué)家可以將一個(gè)系統(tǒng)的理論和方法應(yīng)用于另一個(gè)具有相同對(duì)稱性的系統(tǒng)，從而加速研究進(jìn)程。通過研究具有相同對(duì)稱性的系統(tǒng)，物理學(xué)家可以獲得對(duì)整個(gè)類別的深入理解，從而更好地掌握這些系統(tǒng)的共同特征和行為。

場和弦

在20世紀(jì)，物理學(xué)家對(duì)守恒定律和對(duì)稱性的研究主要集中在點(diǎn)狀粒子上，但現(xiàn)代量子場論中，粒子不再是最基本的實(shí)體。取而代之的是，量子場成為了物質(zhì)和相互作用的基本元素，粒子只是這些場中的激發(fā)態(tài)。

在1973年，物理學(xué)家們進(jìn)行了一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，將超導(dǎo)材料放置在磁鐵的兩極之間。他們發(fā)現(xiàn)，隨著磁場強(qiáng)度的增加，粒子沿著磁極之間的一維超導(dǎo)線排列。第二年，肯尼思·威爾遜在經(jīng)典電磁學(xué)背景下發(fā)現(xiàn)了弦，即威爾遜線。弦也出現(xiàn)在強(qiáng)力在夸克之間的作用方式中，而夸克是組成質(zhì)子的基本粒子。當(dāng)一個(gè)夸克與其反夸克分離時(shí)，它們之間會(huì)形成一個(gè)將它們拉回到一起的弦。

弦在許多物理學(xué)領(lǐng)域中扮演著重要角色。然而，傳統(tǒng)的守恒定律和對(duì)稱性是以粒子為基礎(chǔ)表達(dá)的，與弦的概念不匹配?，F(xiàn)代觀點(diǎn)認(rèn)為，我們不僅要關(guān)注點(diǎn)的性質(zhì)，還要關(guān)注線或弦的性質(zhì)，這些線或弦也可能具有守恒定律。

2014年的論文，提出了一種測量沿弦的電荷并證明電荷在系統(tǒng)演化過程中保持守恒的方法，就像粒子的總電荷始終保持守恒一樣。他們通過將注意力從弦本身轉(zhuǎn)移到其他方面來實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。作者將一維弦想象為被一個(gè)表面（一個(gè)二維平面）包圍，使其看起來像一條繪在紙上的線。他們描述了一種不是沿弦測量電荷，而是測量沿包圍弦的表面的總電荷的方法。

四位作者研究了隨著系統(tǒng)演化，周圍表面的變化。盡管表面可能發(fā)生變形、扭曲或其他改變，他們證明沿著表面的總電荷仍然保持不變。

這意味著，如果你在紙上的每個(gè)點(diǎn)測量電荷，然后扭曲紙張?jiān)俅螠y量，你會(huì)得到相同的數(shù)值。因此，可以認(rèn)為沿著表面的電荷是守恒的。由于表面與弦相關(guān)聯(lián)，也可以說電荷沿著弦是守恒的，無論你開始時(shí)使用的是什么類型的弦。

盡管超導(dǎo)弦和強(qiáng)力弦的力學(xué)機(jī)制完全不同，但它們的數(shù)學(xué)和守恒定律卻完全相同。這展示了整個(gè)觀念的美妙之處。

等效表面

曲面即使變形后仍保持不變（具有相同的電荷）這一觀點(diǎn)與拓?fù)鋵W(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的概念相呼應(yīng)。拓?fù)鋵W(xué)中的等價(jià)關(guān)心的是空間中的“形狀”，而不是精確的幾何細(xì)節(jié)。例如，在拓?fù)鋵W(xué)中，圓和正方形是相等的，因?yàn)樗鼈兌伎梢酝ㄟ^拉伸和扭曲的連續(xù)變換相互轉(zhuǎn)換，而無需切割或黏合。然而，圓環(huán)和圓盤在拓?fù)鋵W(xué)中是不相等的，因?yàn)閳A環(huán)有一個(gè)孔，而圓盤沒有，我們不能通過連續(xù)變換將它們轉(zhuǎn)換為彼此。

論文中寫道，類似的等效性思想也適用于弦周圍的表面，并由此延伸到繪制這些表面的量子場論。他們把測量表面電荷的方法稱為拓?fù)渌阕樱╰opological operator）。

拓?fù)鋵W(xué)使數(shù)學(xué)家能夠越過微小的變化，專注于不同形狀相同的基本方式。同樣，更高的對(duì)稱性為物理學(xué)家提供了一種索引量子系統(tǒng)的新方法。這些系統(tǒng)可能看起來彼此完全不同，但在深層次上，它們可能確實(shí)遵循相同的規(guī)則。更高的對(duì)稱性可以檢測到這一點(diǎn)，這樣，物理學(xué)家可以更好地了解量子系統(tǒng)，并將其應(yīng)用于其他系統(tǒng)。

從新對(duì)稱到新數(shù)學(xué)

在這篇具有里程碑意義的論文之后，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家開始研究如何用稱為群（group）的對(duì)象來表達(dá)更高的對(duì)稱性，群是用來描述對(duì)稱性的主要數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

一個(gè)群組編碼了一個(gè)形狀或系統(tǒng)的對(duì)稱性可以組合的所有方式。它建立了對(duì)稱性如何運(yùn)作的規(guī)則，并告訴你在對(duì)稱變換之后系統(tǒng)可以處于什么位置（以及哪些位置或狀態(tài)永遠(yuǎn)不會(huì)發(fā)生）。

群編碼工作是用代數(shù)語言表示的。就像解代數(shù)方程時(shí)順序很重要一樣（4除以2不等于2除以4），一個(gè)群的代數(shù)結(jié)構(gòu)揭示了在應(yīng)用對(duì)稱變換（包括旋轉(zhuǎn)）時(shí)順序的重要性。

通過研究這些關(guān)系，兩個(gè)獨(dú)立的團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)，即使在現(xiàn)實(shí)的量子系統(tǒng)中，也存在不可逆的對(duì)稱性，它們不符合群結(jié)構(gòu)。群結(jié)構(gòu)是物理學(xué)中其他所有重要類型對(duì)稱性的特征。相反，這些對(duì)稱性由稱為范疇的相關(guān)對(duì)象描述，它們對(duì)于如何組合對(duì)稱性有更寬松的規(guī)則。

例如，在一個(gè)群中，每個(gè)對(duì)稱性都要求具有一個(gè)逆對(duì)稱性。但是，在去年發(fā)表的兩篇論文中，這兩個(gè)團(tuán)隊(duì)表明，一些高階對(duì)稱性是不可逆的，這意味著一旦你將它們應(yīng)用于一個(gè)系統(tǒng)，就無法回到原來的狀態(tài)。

不可逆性意味著一旦將高階對(duì)稱性應(yīng)用于量子系統(tǒng)，系統(tǒng)就無法恢復(fù)到原始狀態(tài)。這種不可逆性是由于高階對(duì)稱性可以將量子系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一種疊加態(tài)，即系統(tǒng)以概率性方式同時(shí)處于兩種狀態(tài)。在這種情況下，無法找到一條路徑將系統(tǒng)恢復(fù)到原始狀態(tài)。

為了捕捉高階對(duì)稱性和不可逆對(duì)稱性更復(fù)雜的相互作用方式，研究人員開發(fā)了一種稱為高階融合范疇（higher fusion category）的新數(shù)學(xué)對(duì)象。高階融合范疇描述了這些對(duì)稱性的融合和相互作用，揭示了它們?nèi)绾卧跀?shù)學(xué)上可能相互作用。這有助于更好地理解高階對(duì)稱性在物理系統(tǒng)中的作用和特性。高階融合范疇有助于定義數(shù)學(xué)上可能的不可逆對(duì)稱性，但它們并不能告訴你哪些對(duì)稱性在特定物理情況下是有用的。

早期的應(yīng)用

通過利用高階對(duì)稱性，物理學(xué)家們現(xiàn)在可以重新審視和解釋過去的物理現(xiàn)象和理論。例如，在20世紀(jì)60年代，關(guān)于π介子（pion）的衰變速率存在理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)觀測的差異。然而，在去年五月，三位物理學(xué)家證明了原先的結(jié)論并未完整解釋問題，而是存在高階對(duì)稱性。當(dāng)納入高階對(duì)稱性后，預(yù)測和觀測的衰變速率完全匹配。類似的重新審視也發(fā)生在凝聚態(tài)物理中，例如分?jǐn)?shù)階量子霍爾效應(yīng)。

早期應(yīng)用高階和不可逆對(duì)稱性的結(jié)果相對(duì)于物理學(xué)家的期望較為適度。在凝聚態(tài)物理中，研究人員希望這些對(duì)稱性能幫助他們識(shí)別和分類所有可能的物質(zhì)相。在粒子物理學(xué)中，研究人員希望借助高階對(duì)稱性來解決一個(gè)重大懸而未決的問題：超越標(biāo)準(zhǔn)模型的物理學(xué)的原理。物理學(xué)領(lǐng)域可能需要一段時(shí)間來完全適應(yīng)對(duì)稱性的擴(kuò)展理解和更廣泛的系統(tǒng)相似性概念。越來越多的物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家加入這一努力，表明他們認(rèn)為這是值得的。