當(dāng)我們問起量子力學(xué)究竟是什么的時(shí)候，沒多少人能鼓起勇氣把自己的理解說完，甚至物理專業(yè)的同學(xué)們談起量子力學(xué)時(shí)心里也是相當(dāng)沒有數(shù)的。
費(fèi)曼說：“我可以確定地說，沒人懂量子力學(xué)?！边@句話勸退了多少曾經(jīng)對(duì)物理興趣滿滿的同學(xué)們（畢竟量子力學(xué)量力學(xué)）。為了幫助大家量力學(xué)量子力學(xué)，在這里整理并詳細(xì)分析了量子力學(xué)的五條基本假設(shè)。
首先我們要意識(shí)到，量子力學(xué)規(guī)律是由人們?cè)谖⒂^粒子實(shí)驗(yàn)中提煉出來的，這些規(guī)律再匯總成五條基本假設(shè)。由這五條基本假設(shè)加上數(shù)學(xué)邏輯推導(dǎo)可以推出量子力學(xué)規(guī)律，這些規(guī)律反過來成為日后微觀體系實(shí)驗(yàn)的理論基礎(chǔ)。
假設(shè)一：微觀體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由相應(yīng)的波函數(shù)完全地描述
自由粒子的波函數(shù)為平面波
粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用波函數(shù)（也叫態(tài)函數(shù)）來描述，自由粒子的波函數(shù)在上面已給出，表示自由粒子的波函數(shù)是平面波。我們看到，波函數(shù)是一個(gè)復(fù)函數(shù)，它是位矢r 和時(shí)間t的函數(shù)。波函數(shù)歸一化后，可給出粒子在這個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，在任一時(shí)刻的坐標(biāo)、動(dòng)量以及其它所有力學(xué)量取值的幾率分布，用他們統(tǒng)計(jì)性地完全確定這個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。如果問波函數(shù)的物理意義，物理學(xué)家們還沒想明白，不過我們可以從下面幾點(diǎn)來理解：
波函數(shù)與微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)，對(duì)于一個(gè)微觀粒子來說，它的波函數(shù)里包含了它的所有信息；
波函數(shù)的模（因?yàn)椴ê瘮?shù)是復(fù)函數(shù)，所以可以取模）的平方有明確的物理意義：它表示粒子在某一時(shí)刻出現(xiàn)在某一單位體積內(nèi)的幾率。
自由粒子波函數(shù)為平面波其實(shí)很好理解，因?yàn)槲覀儗?duì)光很熟悉。如果一束光子不受外力影響地傳播，那么該光波的波函數(shù)就是平面波的波函數(shù)，這一點(diǎn)是人們很早之前就知道的，我們現(xiàn)在可以理解為這個(gè)波的概念從光子向所有微觀粒子進(jìn)行了推廣。另外，當(dāng)年薛定諤湊出薛定諤方程時(shí)，也用了這么一條，就是他湊出的方程在沒有力場的情況下應(yīng)該解出來得到平面波。
另外提一點(diǎn)就是，為了讓波函數(shù)能更好地符合我們的物理認(rèn)識(shí)，對(duì)波函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了限制，被稱作波函數(shù)的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件，就是單值、有限、連續(xù)（標(biāo)準(zhǔn)條件用于被限定在有限空間內(nèi)的波函數(shù)，不適用于能發(fā)散至全空間的波函數(shù)，如平面波）。
最后，這條假設(shè)可以簡單記為：運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由波函數(shù)描述。
假設(shè)二：對(duì)任一非相對(duì)論性微觀體系，單粒子或多粒子，其運(yùn)動(dòng)都遵從薛定諤方程
薛定諤方程
我們可以從以下幾個(gè)方面理解薛定諤方程，并能夠自己湊出薛定諤方程：
由于波函數(shù)滿足態(tài)疊加原理，波函數(shù)又是方程的解，因此描述波函數(shù)隨時(shí)間變化的方程得是一個(gè)線性方程；
方程的系數(shù)應(yīng)該只含有內(nèi)稟物理量，如質(zhì)量m、電荷e，不應(yīng)含有與個(gè)別粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)的量如動(dòng)量p；另外，方程的系數(shù)應(yīng)該包含普朗克常數(shù)，因?yàn)榇呱孔恿W(xué)的幾個(gè)實(shí)驗(yàn)的解釋中全都出現(xiàn)了普朗克常數(shù)；
因?yàn)椴ê瘮?shù)是關(guān)于位矢r 和時(shí)間t 的函數(shù)，所以方程應(yīng)該是關(guān)于r 和t 的偏微分方程，并且不能超過二階，因?yàn)閹纂A偏微分方程就需要幾組限制條件來確定最后的積分常數(shù)，對(duì)一個(gè)一般的系統(tǒng)我們知道系統(tǒng)的初始條件和邊界條件就很不錯(cuò)了，很難再多一組限制條件；
由于經(jīng)典力學(xué)是量子力學(xué)的極限情況，所以方程應(yīng)該滿足的一點(diǎn)是：當(dāng)普朗克常數(shù)趨于零時(shí)，方程過渡到牛頓方程；
對(duì)于自由粒子這一特殊情況，方程的解應(yīng)是平面波。
另外，量子力學(xué)與牛頓力學(xué)不同的一點(diǎn)就是：牛頓力學(xué)中運(yùn)動(dòng)方程和守恒律是兩套各自獨(dú)立的方程，而量子力學(xué)中由薛定諤方程可以完全推導(dǎo)出幾率流守恒定律。
值得一提的是：假設(shè)一告訴我們粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用什么函數(shù)來描述，接著假設(shè)二就告訴我們這個(gè)函數(shù)滿足什么方程，也就是說告訴了我們這個(gè)函數(shù)要怎么算出來。
這條假設(shè)可以簡單記為：薛定諤方程。
假設(shè)三：微觀體系的力學(xué)量由體系波函數(shù)張開的Hilbert空間中的線性厄米算符表示
Hilbert空間指的是定義在某數(shù)域上的、完備的線性內(nèi)積空間。就是說一個(gè)我們熟知的線性空間中，再給他定義一個(gè)內(nèi)積運(yùn)算，這個(gè)空間就成了一個(gè)Hilbert空間。在量子力學(xué)中用到的的Hilbert空間是定義在復(fù)數(shù)域上的。
下圖給出了幾個(gè)基本力學(xué)量的算符表示：
幾個(gè)基本的力學(xué)量算符
力學(xué)量算符必須滿足的條件：
必須是線性算符，這是態(tài)疊加原理的要求；
必須是厄米算符，因?yàn)橐蟊菊髦凳菍?shí)數(shù)；
本征函數(shù)必須構(gòu)成完備組。
從數(shù)學(xué)上來看，厄米算符的性質(zhì)整理如下：
厄米算符的平均值是實(shí)數(shù)；
在任何狀態(tài)下平均值都為實(shí)數(shù)的算符必為厄米算符；
厄米算符的本征值為實(shí)數(shù)，厄米算符在本征態(tài)中的平均值就等于本征值；
對(duì)一個(gè)厄米算符，屬于不同本征值的本征函數(shù)正交；
厄米算符的簡并的本征函數(shù)可以經(jīng)過重新組合后使它正交歸一化；
厄米算符的本征函數(shù)系具有完備性；
厄米算符的本征函數(shù)系具有封閉性。
力學(xué)量算符的本征值譜給出這個(gè)力學(xué)量的所有可能取值。波函數(shù)按正交歸一完備的本征函數(shù)組展開，展開系數(shù)的絕對(duì)值的平方給出體系的這個(gè)力學(xué)量在這些運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下所有可能值的幾率分布。
這條假設(shè)可以簡單記為：力學(xué)量由算符表示。
假設(shè)四：算符之間有確定的對(duì)易關(guān)系，坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符之間滿足基本量子條件
基本量子條件如下：
基本量子條件
我們已經(jīng)知道力學(xué)量是用算符來表示的，那么接著由這里給出的基本量子條件我們就能確定各個(gè)力學(xué)量之間的關(guān)系。這些關(guān)系把我們引向一個(gè)重要的問題上：什么情況下一個(gè)力學(xué)量有確定值？什么時(shí)候兩個(gè)力學(xué)量可以被同時(shí)確定？這里的證明寫起來就太麻煩了，如果大家有興趣的話隨便找一本量子力學(xué)的書看看就好，我們重點(diǎn)分析結(jié)論給我們帶來的物理意義。
當(dāng)且僅當(dāng)在一個(gè)力學(xué)量的本征態(tài)下測量這個(gè)力學(xué)量時(shí)，這個(gè)力學(xué)量才有確定值，而這個(gè)確定值，就是該力學(xué)量在這個(gè)態(tài)的平均值；
在非本征態(tài)下測量該力學(xué)量，則沒有確定值，但是有各種可能值，這些可能值就是該力學(xué)量的本征值，各個(gè)可能值出現(xiàn)的概率都是確定的，所以有確定的平均值，而且平均值是由該力學(xué)量的本征值經(jīng)過統(tǒng)計(jì)平均而得來的；
當(dāng)兩個(gè)或多個(gè)力學(xué)量相互對(duì)易時(shí)，它們有完備的共同本征函數(shù)系，在這些共同的本征函數(shù)中測量這些力學(xué)量，它們將同時(shí)具有確定值；
如果兩個(gè)力學(xué)量不對(duì)易，則它們滿足不確定性原理：
不確定性原理
具體到常見的力學(xué)量而言，有：
不確定性原理
在此我們做一些討論：
當(dāng)兩個(gè)力學(xué)量相互對(duì)易時(shí)，它們的共同本征態(tài)的特性不能止由其中一個(gè)決定。因此，要完全確定體系的狀態(tài)，需要一組相互對(duì)易的力學(xué)量，由這組力學(xué)量的本征值或量子數(shù)來確定體系所處的狀態(tài)。以氫原子為例，氫原子的狀態(tài)由一組量子數(shù)（n，l，m）確定，這組量子數(shù)對(duì)應(yīng)的力學(xué)量為能量、角動(dòng)量、角動(dòng)量的z分量，這三個(gè)算符相互對(duì)易，這三個(gè)力學(xué)量完全確定了氫原子的狀態(tài)。我們稱這一組完全確定體系狀態(tài)的力學(xué)量為力學(xué)量的完集，完集中力學(xué)量的數(shù)目與體系的自由度的數(shù)目相同。
從上面的結(jié)論還能看出，簡并來源于不完全測量。確定氫原子狀態(tài)時(shí)，需要同時(shí)測量能量、角動(dòng)量、角動(dòng)量的z分量三個(gè)物理量，如果只測量了能量和角動(dòng)量，沒有測角動(dòng)量的z分量，測量就不完全，就導(dǎo)致了關(guān)于量子數(shù)m的2l+1度簡并。
另外要注意，不確定性原理不是一個(gè)獨(dú)立的原理，而是波粒二象性和波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋而導(dǎo)致的必然結(jié)果。再者，不確定性原理不能說成“測不準(zhǔn)關(guān)系”，那樣容易讓人誤解為是儀器的精度極限，事實(shí)上，不管儀器精度多么高，物理量本身就是不確定的。
基本量子條件的重要性在于，假設(shè)三給出了力學(xué)量的表示方法（用線性厄米算符表示），接著假設(shè)四中的基本量子條件則給出各個(gè)算符之間的關(guān)系。
在量子力學(xué)中，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和力學(xué)量是完全不同的概念，我們可以看到，假設(shè)一、二針對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)態(tài)的描述及運(yùn)算，而假設(shè)三和四則針對(duì)力學(xué)量的描述及計(jì)算。
這條假設(shè)可以簡單記為：力學(xué)量算符由量子條件確定。
假設(shè)五：全同的多粒子體系的波函數(shù)對(duì)于任一對(duì)粒子交換而言具有對(duì)稱性：玻色子的波函數(shù)是交換對(duì)稱的，費(fèi)米子的波函數(shù)是交換反對(duì)稱的
第五條假設(shè)是對(duì)第二條的補(bǔ)充，它指出：一個(gè)全同粒子系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不僅要求遵從這個(gè)體系的薛定諤方程，而且必須具有相應(yīng)的粒子交換對(duì)稱性。
這條假設(shè)可以簡單記為：交換對(duì)稱性。
量子力學(xué)的這些假設(shè)是建立在實(shí)驗(yàn)事實(shí)的基礎(chǔ)上的，其正確性也已經(jīng)實(shí)驗(yàn)事實(shí)檢驗(yàn)。然而量子力學(xué)終究是不夠的，后續(xù)物理學(xué)家們又開創(chuàng)了量子電動(dòng)力學(xué)、量子場論、相對(duì)論量子電動(dòng)力學(xué)等學(xué)科，等待大家去探索和完善。
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