小學階段特別是高年級要逐步引導學生從“做數(shù)學”“算數(shù)學”過渡到“想數(shù)學”，在學習數(shù)學知識的同時發(fā)展數(shù)學思維，這樣學生才有后勁。 ——林俊
林特說的很真理??！以下文章來自林特。
課前思考
凡是教過高年級的教師都有這樣的體會：分別學習圓柱、圓錐的體積時，關(guān)于體積公式推導過程的理解和公式的運用，學生“清清爽爽”，基本沒有什么問題。但是，一旦將圓柱、圓錐體積的有關(guān)內(nèi)容交織在一起，學生就會“混沌一片”，錯誤百出。為什么會發(fā)生這樣的情況呢？除了問題難度增加外，另一個原因就是教材習題編排。事實上，幾乎沒有教材在編寫時對圓柱、圓錐體積的關(guān)系大書特書。即使像蘇教版教材，編排了不少鞏固圓柱、圓錐體積關(guān)系的習題，但是從編排結(jié)構(gòu)看也是比較凌亂的（如下表）。
怎樣突破這個公認的學習難點呢？一般教師采取的方法是分類解決，各個擊破，通過各種題型的反復練習達到攻堅克難的目標。但是這樣依靠模仿、記憶強化訓練的學習方式負面作用很多，不僅容易回生，而且不能遷移，所以這種做法應該堅決摒棄。我的做法是正本清源，以簡馭繁！即返回到相關(guān)知識起點，建立基本模型，幫助學生內(nèi)化基本模型，真正理解各種基本模型的內(nèi)在關(guān)系，實現(xiàn)從“多點結(jié)構(gòu)”到“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”的跨越，從而以不變應萬變。
課堂實踐
一、喚起回憶，擴展模型
師：今天練習圓柱和圓錐的體積，什么是體積？怎樣求圓柱的體積？圓錐的體積呢？圓錐的體積是怎樣推導出來的？（課件同步動態(tài)演示圓錐體積公式推導過程，板書：等底等高）
師：等底等高的圓柱體積是圓錐體積的3倍，它們的體積比是多少？（貼出大圓柱 圓錐 如圖1）也就是一個圓柱可以換成幾個這樣的圓錐？（課件演示如圖2）
師：反過來，圓錐體積是這個圓柱的——
生（齊）：三分之一。
師：這個圓柱的三分之一有多大？想一想，是這樣嗎？（課件演示如圖3）
生（眾）：是。
師：這個小圓柱和圓錐有什么關(guān)系？
生：體積相等，底面積也相等，小圓柱的高是圓錐的三分之一。（板貼如圖4）
師：為什么小圓柱的高是圓錐的三分之一？
生（指著圖3）：因為大圓柱和圓錐的高相等，裝滿水的圓錐倒三次正好把大圓柱倒?jié)M，倒一次水的高度（也就是小圓柱的高度）等于大圓柱的三分之一，所以小圓柱的高是圓錐的三分之一。
生（興奮地）：我看出來了，小圓柱、圓錐的高都跟大圓柱比較，小圓柱的高是大圓柱的三分之一，大圓柱和圓錐的高相等，所以小圓柱的高是圓錐的三分之一。
師：結(jié)合圖形說理，明明白白！理解了它們的關(guān)系，可以幫助我們靈活思考。
【設(shè)計意圖】學生對于等底等高圓柱和圓錐的關(guān)系，一般只是停留于體積之間關(guān)系的理解，這是基于實驗的直觀理解水平。顯然，這樣的認識是單一的、淺層的。學生高階思維的發(fā)展、解決問題能力的提高，需要以不斷積累的鮮明、靈活的關(guān)系模型作為支撐，而抽象的關(guān)系模型總是依附于直觀的表象。上述教學從正、逆兩個方向進行了追問，生成的變式模型拓展了學生原有的認識疆域，尤其是從“體積比”到“高之比”，觸及到了學生的認知盲區(qū)，可以深化、活化學生的認知水平。
二、多元表征，理解模型
1.在解決問題中理解
出示習題：一個圓柱和一個圓錐，底面半徑都是3厘米，高都是12厘米。它們的體積一共有多少立方厘米？（你能用不同的方法思考嗎？）
（1）提出要求，獨立思考。要求：只列出綜合算式，不計算。
（2）展示作業(yè)，交流方法。
生1：32π×12+1/3×32π×12
師：你是怎樣想的？
生：圓柱的體積加上圓錐的體積。
生2：1/3×32π×12 ×（1+3）
師：括號里1+3指的是什么？
生：把圓錐體積看成1份，圓柱體積有這樣的3份，體積和就是4份。
生3：32π×12 ×（1+1/3）
師：為什么乘（1+1/3）？
生：把圓柱體積看成單位“1”，圓錐體積占1/3，體積和相當于圓柱體積的4/3。
生4：32π×（12+12×1/3）。
師：12×1/3表示什么？12+12×1/3表示什么？
生：（指圖4）把圓錐想象成一個和它等積等底的小圓柱，12×1/3就是這個小圓柱的高，12+12×1/3就是求組合成的圓柱高。（如圖5）
師：有用減法做的嗎？
生5：32π×12×2-1/3×32π×12×2，上面的圓錐看成與它等底等高的圓柱削成的，圓錐體積是1份，削去了這樣的2份。用2個圓柱體積減去2個圓錐體積。（如圖6）
師：大家的想象力真豐富！無論是將圓柱想象成圓錐，還是將圓錐想象成圓柱，其實都是一種轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化思想可以幫助我們更好地學習數(shù)學。
【設(shè)計意圖】大多數(shù)學生對待數(shù)學問題解決的態(tài)度是會不會做，而不太注重問題解決的過程中所用思想方法及其變化。上述問題“門檻”很低，幾乎每個學生都能用基本的方法解答。但是從學生運用“轉(zhuǎn)化”思想解決問題的過程中，可以明顯看到學生之間思維水平的巨大差異。表象儲備豐富、模型理解深刻的學生，能夠根據(jù)題目信息主動喚起表象、提取相關(guān)模型，從不同角度轉(zhuǎn)化，他們解決問題顯示出方法多樣、思維靈活、見解獨特的特征。通過課堂展示、對話、互動，可以打開學生理解的“天窗”，促進學生思維的“爬坡”。
2.在多元表征中理解
出示：一塊圓柱形橡皮泥，底面積是15平方厘米，高是6厘米。
（1）把它捏成底面積是15平方厘米的圓錐形，高是（ ）厘米。
師：（先出示：把它捏成圓錐形）這時形狀變了，什么肯定不變？
生：體積不變。
師：對，這叫等積變形。（再出示：底面積是15平方厘米）現(xiàn)在呢？
生：底面積不變，高變了。（板書：等積等底）
師：想象一下，這個圓錐會是怎樣的呢？看第一個圓錐，會是它嗎？為什么？第二個圓錐呢？第三個是你想象中的樣子嗎？（依次出示圖7中的三個圓錐）
師：在底面積相等的前提下，要使體積不變，應該將圓錐的高變大。圓錐的高變大到多少才可以呢？請列式計算。
生：15×6×3÷15=18（厘米），或6×3=18（厘米）。
師：這兩個算式有聯(lián)系嗎？
生：第一個算式中的乘15、除以15抵消后，就是6×3。
師：是不是所有等積等底的圓柱和圓錐的高之比都的1:3？
生（意見不一）：是，不是。
師：這個圓柱是怎樣慢慢變成這個高高的圓錐的？請你大膽想象。
生：圓柱先變成3個等底等高的圓錐，接著再把它們疊起來。
師：這3個圓錐怎樣變成這個大圓錐呢？
生：每個小圓錐體積是它所在圓柱的三分之一，疊起來的3個小圓錐體積是它所在大圓柱的三分之一，而這個大圓柱體積的三分之一就是大圓錐的體積。（學生回答過程中，動態(tài)出示圖8）
師：這樣的想象是不是一定有道理呢？
部分學生還是不敢肯定。
師：我們不妨結(jié)合公式思考，圓柱體積V=Sh，等于一個圓錐體積V=1/3Sh，再乘3，即V=Sh =1/3×S×h×3，變形之后也就是1/3×S×（h×3），那么高就是原來的3倍。
【設(shè)計意圖】圓柱和圓錐的三類基本關(guān)系模型中，等底等高學生比較熟悉，就數(shù)等積等底與等積等高容易混淆。為了分散難點，先重點討論等積等底的情形。而等積等底難點的突破，僅僅依賴一次數(shù)學活動，力度顯然不夠，學生印象也不深刻。故，引導學生充分經(jīng)歷想象、計算、比較、質(zhì)疑、推理等數(shù)學活動，不僅通過多元表征使學生對有關(guān)結(jié)論理解通透，而且運用公式進行數(shù)學推理，使學生對結(jié)論本身更加篤信無疑。這樣教學，培養(yǎng)了學生的求真品格和理性精神。
師：剛才我們研究了等底等高、等積等底兩種情況，還有其它情況嗎？
生（眾）：等積等高。
（2）出示：把它捏成高是6厘米的圓錐形，底面積是（ ）平方厘米。
師：先自己想一想，列式或畫圖表示思考過程，再和同桌交流。
生：圓柱形橡皮泥捏成圓錐，體積不變；在高不變的前提下，要使體積相等，應該將底面積擴大到原來的3倍，15×3=45（平方厘米）。
生：15×6×3÷6=45（平方厘米）。
師：好奇怪！這個圓柱怎樣慢慢變成這個扁扁的圓錐的？
生：把圓柱換成3個等底等高的圓錐，再把它們并排靠在一起，就可以變成一個大圓錐。（如圖9）
師：如何運用公式進行推理？
生：圓柱體積V=Sh，是與它等底等高圓錐體積的3倍，也就是1/3 Sh×3，可以轉(zhuǎn)化為1/3×h×（S×3），也就相當于高不變，底面積是3S的大圓錐體積。因此，圓錐的底面積是圓柱底面積的3倍。
師：在體積相等、高也相等的前提下，圓錐的底面積是圓柱底面積的3倍。（板貼如圖10）
師：今天我們又討論了等積等底、等積等高的情況，運用這些結(jié)論，可以幫助我們方便地解決更復雜的問題。
【設(shè)計意圖】有了等積等底的學習經(jīng)驗，等積等高的情形教師就大膽放手了，學生可以把習得的有關(guān)經(jīng)驗、方法遷移過來，進行類推。同時，計算、想象、推理等學習活動的安排，既完全符合學生由易到難的學習特點，也滿足了不同學生的認知需求。
3.在綜合運用中理解
判斷：下面的圓錐與哪些圓柱的體積相等。（單位：厘米）
師：請選擇（在作業(yè)紙上打√），你選第幾個？用手勢表示。
絕大多數(shù)學生選擇第③個，也有還選擇第②個的。
師：為什么不選第①個和第④個？
生：第①個圓柱和圓錐等底等高，因此圓柱體積是圓錐的3倍，第④個圓柱明顯小多了。
師：為什么大多數(shù)人選擇第③個？
生：圓錐的高是圓柱的3倍，底面積又相等，符合等積等底的情況（如圖4），所以它們體積相等。
師：你能反過來運用這個結(jié)論，真不簡單！有疑問的第②個，怎樣判斷？
生：高相等，如果兩個體積相等，那么圓錐的底面積應是圓柱底面的3倍。而這里圓錐的直徑是圓柱直徑的3倍，想到圓錐半徑是圓柱半徑的3倍，圓錐底面積就是圓柱底面積的9倍。
師：如果有的同學還不夠確定，我們不妨看看計算結(jié)果。（一一出示每個圖形的體積計算過程與結(jié)果）
【設(shè)計意圖】學生思維能力的提高，必須經(jīng)過綜合運用知識解決問題的歷練過程。在學生進一步理解等積等底、等積等高的基本模型后，提供復雜問題情境，便于學生直接根據(jù)模型特征作出判斷，或者經(jīng)過簡單計算，再與基本模型特征對照解決問題，而不是僅僅依靠計算這一唯一途徑。實踐證明，學生完全能夠識別相應的模型，從而解決問題變得更加直接而快捷，這對培養(yǎng)學生判斷能力和推理能力大有裨益。
三、拓展提升，活用模型
出示：一個圓錐和一個圓柱的底面積相等，體積的比是1：6。
師：你能畫圖表示它們的體積比嗎？
巡視時，發(fā)現(xiàn)有的學生在給定的圓錐旁邊，畫了一個底面積相等的圓柱，但看不出高的關(guān)系；有的學生不僅畫了一個底面積相等的圓柱，而且還從圓錐的頂點起向圓柱中間畫了一條水平的虛線，使人一眼就看出高的關(guān)系；當然還有些學生思而不得。
當有的學生百思不得其解時，教師出示波利亞名言：“如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關(guān)的問題。你能不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題？”
師：結(jié)合之前的圖形或經(jīng)驗，體積比是幾比幾我們是非常熟悉的？
生：體積比是1：3。（出示圖12）
師：（引導學生看黑板上的三個模型圖）還有嗎？
生（欣喜狀）：圖4其實還可以看做體積比是1：1的。（出示圖13）
生（眾，豁然開朗）：喔！
師：現(xiàn)在你能畫圖表示它們的關(guān)系嗎？
學生獨立畫圖，然后展示交流：（圖14）
生：第一組它們底面積相等，體積比是1：3，要使體積比是1：6，要增加一個圓柱，因此圓柱的高應當是圓錐高的2倍。
生：第二組它們底面積也相等，體積比是1：1，要使體積比是1：6，要增加五個這樣的小圓柱，因此圓柱的高也是圓錐高的2倍。
師：這時圓柱和圓錐的高什么關(guān)系？
生：這時圓柱的高是圓錐的2倍，圓錐的高是圓柱的1/2。
師：如果圓錐的高是3厘米，圓柱的高是多少厘米？如果圓柱的高是12厘米，圓錐的高是多少厘米？
師：如果圓錐和圓柱的底面積相等，體積比是1：9。高之間是幾倍關(guān)系？
【設(shè)計意圖】在學生能夠區(qū)分、運用等積等底與等積等高模型后，提供的拓展題具有一定的挑戰(zhàn)性和開放性，為學生靈活運用模型解決問題創(chuàng)造了機會。拓展題是原有基本模型的變式，而且變式的途徑不一。教學中發(fā)現(xiàn)學生對等底等高的模型提取比較容易，而對等積等底的模型比較困難。就是在這樣不斷的喚醒、提取、運用的過程中，模型表象才更加鮮活，學習的難點才有可能被攻克。
課后反思
公開展示后，獲得聽課教師的高度評價，使我倍感欣慰。我想主要還是在精準了解學情后，把功夫花在教材研讀、習題整合上，使一盤散沙成為有機整體。
教學環(huán)節(jié)
重組后順序
調(diào)整的意圖
一
練習四
第2題
舍去數(shù)據(jù)：依托圓錐公式推導實驗形成的表象，討論關(guān)系，從“等底等高”過渡到“等積等底”，建立兩個不同的基本模型。
二
整理與練習
第6題
改變條件：把直徑6厘米改為半徑3厘米，便于學生列綜合算式，把重點放在解題的思路、方法的多元與模型的初步運用上。
整理與練習
第5題
分步呈現(xiàn)：先重點研究“等積等底”情形，再把研究的方法遷移到“等積等高”上。
練習四
第6題
改變數(shù)據(jù)：把直徑9（3）厘米改為6（2）厘米，便于學生口算，直接借助基本模型思考、比較、判斷、推理。
三
練習四
思考題
舍去問題：先畫圖表征關(guān)系，理解了兩個圖形高之間的關(guān)系，問題隨之迎刃而解。面臨復雜問題時，儲存在長時記憶中的不同基本模型，并不會自動喚醒并提取出來。模式能否識別、模型提取的不同，反映了學生對基本模型理解的廣度與深度。
結(jié)構(gòu)化重組，讓教學從低效走向高效。如果按照教材原來的編排順序教學，需要三課時才能完成。但是由于這些問題是分散、夾雜在其它內(nèi)容之中的，教學時難以充分展開，一般只是就題了題，蜻蜓點水般過了一次，當然難以取得理想的教學效果。另外，有的題目計算比較耗時（如練習十四第6題），所以我更改了數(shù)據(jù)，便于學生口算，把主要的精力放在觀察、思考、比較、推理上；有的題目雷同（如練習十四第11題和整理與練習第6題），我就選取一題，引導學生從不同角度轉(zhuǎn)化，把它用足、做足；有的題目很難（如練習十四思考題），變式程度較大，我就調(diào)整次序，讓它最后登場。如此處理（如下表），將無序的內(nèi)容有序化，繁瑣的計算簡單化，松散的問題結(jié)構(gòu)化，大大地提高了教學效率。
此文發(fā)表在小學數(shù)學教師2022年第三期，作者林俊。已經(jīng)授權(quán)在本公眾號發(fā)布。
