學(xué)習(xí)進(jìn)階在對(duì)學(xué)生形成完整、系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)教材、教學(xué)的連續(xù)性，為教學(xué)決策和教育測評(píng)提供參照等方面均有著十分重要的意義。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)階具有促進(jìn)教學(xué)測評(píng)，促進(jìn)教學(xué)連續(xù)，促進(jìn)有效建構(gòu)等多重價(jià)值，其有效教學(xué)策略為圍繞大概念進(jìn)行教學(xué)重組，根據(jù)進(jìn)階原理開發(fā)教學(xué)設(shè)計(jì)，以學(xué)習(xí)進(jìn)階為參照進(jìn)行有意義的教學(xué)診斷和教學(xué)改進(jìn)。
學(xué)習(xí)進(jìn)階；教學(xué)設(shè)計(jì)；教學(xué)重組；教學(xué)評(píng)價(jià)
隨著時(shí)代的前進(jìn)，知識(shí)信息總量急速增長，如何構(gòu)建合理科學(xué)的課程知識(shí)體系，已成為教學(xué)必須思考的重要命題。美國科學(xué)教育研究者吸取多年來教育研究的豐碩成果，提出了學(xué)習(xí)進(jìn)階理念。美國學(xué)者史密斯首次提出了學(xué)習(xí)進(jìn)階的概念，他認(rèn)為，學(xué)習(xí)進(jìn)階就是“學(xué)生在學(xué)習(xí)某一核心概念的過程中所遵循的一系列逐漸復(fù)雜的思維路徑?！薄?】隨后，多個(gè)研究機(jī)構(gòu)及學(xué)者對(duì)學(xué)習(xí)進(jìn)階進(jìn)行了深入地研究，如美國國家研究委員會(huì)將學(xué)習(xí)進(jìn)階界定為“對(duì)孩子們?cè)谝粋€(gè)較大時(shí)間跨度的學(xué)習(xí)和研究某一主題時(shí)，所遵循的連貫的、逐步深入的思維路徑的描述”【2】，又如學(xué)者馬瑞特認(rèn)為，學(xué)習(xí)進(jìn)階是“對(duì)某一領(lǐng)域由淺入深、逐步復(fù)雜的概念理解過程”【3】。
綜合各種見解，我認(rèn)為，學(xué)習(xí)進(jìn)階可以理解為：它是一種學(xué)習(xí)序列，描述學(xué)生在各階段學(xué)習(xí)同一主題內(nèi)容時(shí)所遵循的連貫的、具有代表性的，且體現(xiàn)為由簡單到復(fù)雜、由單一到綜合的學(xué)習(xí)路徑。這個(gè)過程有學(xué)者用如下的模型圖表示（如圖1）【4】。其中，學(xué)習(xí)進(jìn)階的起點(diǎn)是指學(xué)生現(xiàn)實(shí)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，終點(diǎn)則多為教育者期望學(xué)習(xí)者達(dá)成的目標(biāo)（基礎(chǔ)性目標(biāo)和發(fā)展性目標(biāo)）。在起點(diǎn)和終點(diǎn)兩個(gè)端點(diǎn)之間存在的多個(gè)中間水平，主要用于描述學(xué)生對(duì)核心概念知識(shí)理解的達(dá)成情況及發(fā)展過程。以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為例，無論是知識(shí)體系的建構(gòu)還是學(xué)科核心素養(yǎng)的養(yǎng)成，都需要以整體性、進(jìn)階性的視角加以認(rèn)識(shí)與思考。在當(dāng)前課改進(jìn)入“深水區(qū)”的進(jìn)程中，高中已經(jīng)明確將學(xué)習(xí)進(jìn)階納入教學(xué)研究，努力尋找學(xué)科核心概念和學(xué)習(xí)進(jìn)階的路徑。作為基礎(chǔ)教育階段的重要學(xué)科——小學(xué)數(shù)學(xué)，完全可以依照相關(guān)理論進(jìn)行學(xué)習(xí)進(jìn)階的實(shí)踐與研究。
學(xué)習(xí)進(jìn)階的缺失現(xiàn)象
雖然學(xué)習(xí)進(jìn)階研究對(duì)教育教學(xué)有著諸多益處，但是在我國并沒有引起多少關(guān)注，反觀當(dāng)下教學(xué)實(shí)踐，我認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)習(xí)進(jìn)階主要存在如下缺失現(xiàn)象。
經(jīng)驗(yàn)積累同級(jí)重復(fù)
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要積累，更需要提升。重視基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累，要善于從整個(gè)經(jīng)驗(yàn)序列布局，避免低水平重復(fù)。一位教師教學(xué)“圓的面積”一課，課中引導(dǎo)學(xué)生反思這節(jié)課有哪些收獲，當(dāng)學(xué)生回答說我們學(xué)會(huì)了轉(zhuǎn)化思想時(shí)，她特別高興，在黑板上大大地板書“轉(zhuǎn)化思想”，并敲著黑板說，這節(jié)課我們重點(diǎn)學(xué)習(xí)了轉(zhuǎn)化思想，這是這節(jié)課上最重要的思想方法，大家一定要記住。其實(shí)，就小學(xué)知識(shí)體系而言，轉(zhuǎn)化思想在學(xué)習(xí)平行四邊形的面積、三角形的面積和梯形的面積時(shí)一直都在強(qiáng)調(diào)使用，而“圓的面積”一課中，最需要突出和強(qiáng)化的是讓學(xué)生感受極限思想，教師應(yīng)該在這方面多加滲透和引導(dǎo)。學(xué)習(xí)進(jìn)階重在發(fā)展與提升，同一知識(shí)點(diǎn)在不同教學(xué)階段應(yīng)有不同的階，學(xué)生通過不同的階的連續(xù)“攀爬”才能達(dá)到理想的學(xué)習(xí)境界。
數(shù)學(xué)進(jìn)階需要設(shè)計(jì)循序漸進(jìn)的階梯發(fā)展目標(biāo)，階的設(shè)定需要面向未來，但更要面對(duì)現(xiàn)實(shí)、面對(duì)真實(shí)，要著落在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，而不能基于成人的邏輯設(shè)計(jì)發(fā)展目標(biāo)。如一位教師教學(xué)“用數(shù)對(duì)確定位置”這一內(nèi)容，在課的拓展階段，引導(dǎo)學(xué)生研究這樣的問題：“這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了在一個(gè)平面上確定一個(gè)點(diǎn)的位置與列和行兩個(gè)因素有關(guān)，那大家想一想，如果這個(gè)點(diǎn)不在這個(gè)平面上，來到了一個(gè)立體的空間中，該怎么確定它的位置呢？在作業(yè)單上畫一畫、寫一寫?！边@樣的現(xiàn)象應(yīng)引起我們的思考。對(duì)于“用數(shù)對(duì)確定位置”的教學(xué)，沒有必要從平面拓展到立體。從小學(xué)知識(shí)體系來看，可以前伸，突出與一維的線段上的確定位置的對(duì)比，也可以后延，借助負(fù)數(shù)的知識(shí)滲透在直角坐標(biāo)系中第二、三、四象限內(nèi)確定位置的方法，而這些都在小學(xué)生能夠理解的知識(shí)范圍之內(nèi)。拓展目標(biāo)有遠(yuǎn)近之分，拓展時(shí)機(jī)有緩急之別，這意味著，對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的拓展，需要在整個(gè)拓展內(nèi)容序列中加以審視，這樣才能讓學(xué)生在合情、合理的學(xué)習(xí)過程中“拾級(jí)而上”，生長出可持續(xù)的學(xué)習(xí)力。
始階位置決定了教學(xué)起點(diǎn)，因此，始階位置的確定會(huì)直接影響教學(xué)的效果。如教學(xué)三下“認(rèn)識(shí)小數(shù)”一課，小數(shù)概念的切入有三種代表性的設(shè)計(jì)。一是出示10枚1角硬幣的圖片，讓學(xué)生圈出0.1元；二是出示一個(gè)正方形圖片，告訴學(xué)生它表示1元，讓其在圖中表示出0.1元；三是出示一個(gè)正方形圖片，告訴學(xué)生它表示1，讓學(xué)生直接標(biāo)出0.1。這三種設(shè)計(jì)中，第一種始階過低，學(xué)生沒有進(jìn)階學(xué)習(xí)的體驗(yàn)和過程，缺少“獲得感”，耗費(fèi)了寶貴的學(xué)習(xí)時(shí)間；第三種始階過高，學(xué)生高不可攀，無從下腳；只有第二種情況，切中了學(xué)生學(xué)習(xí)的準(zhǔn)確起點(diǎn)，使學(xué)習(xí)進(jìn)階成為可能。學(xué)習(xí)進(jìn)階的研究，就是要盡可能避免作為教育者“一廂情愿”的單向設(shè)計(jì)，讓教踩著學(xué)的“節(jié)拍”，更好地為學(xué)習(xí)者提供服務(wù)。
學(xué)習(xí)進(jìn)階的教學(xué)價(jià)值
對(duì)于課程建設(shè)與課堂教學(xué)而言，學(xué)習(xí)進(jìn)階的意義在于延續(xù)了“應(yīng)為學(xué)生設(shè)定怎樣的學(xué)習(xí)路徑”這一核心問題的探索，其教學(xué)價(jià)值體現(xiàn)為如下幾個(gè)方面。
“教師需要關(guān)注學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)給定主題時(shí)隨之帶來的不完整理解、錯(cuò)誤觀念和對(duì)概念的天真解釋?！薄?】 數(shù)學(xué)教學(xué)非常重要的一個(gè)任務(wù)就是促進(jìn)“生活數(shù)學(xué)”向“學(xué)科數(shù)學(xué)”的轉(zhuǎn)變，這個(gè)轉(zhuǎn)變過程就是學(xué)習(xí)進(jìn)階的過程。 例如，對(duì)于“平均數(shù)”的學(xué)習(xí)，學(xué)生的初始理解往往是“平均分”“用總數(shù)除以份數(shù)”等外在的、淺表的理解，距離“平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的整體水平”“平均數(shù)既是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，又是一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)概念”“平均數(shù)是一個(gè)虛擬數(shù)”等概念的本質(zhì)屬性尚有不小的距離，即使到了高中畢業(yè)，可能仍然對(duì)“平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)”等統(tǒng)計(jì)量這一獨(dú)特的學(xué)習(xí)內(nèi)容存在理解不到位的現(xiàn)象，很難構(gòu)建起關(guān)于統(tǒng)計(jì)量知識(shí)的完整、系統(tǒng)的知識(shí)體系。學(xué)習(xí)進(jìn)階過程往往不是一蹴而就的，需要經(jīng)歷一個(gè)或多個(gè)學(xué)習(xí)時(shí)段，有的內(nèi)容的學(xué)習(xí)甚至?xí)殡S學(xué)生許多年。如人教版教材，對(duì)三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的教學(xué)目標(biāo)就進(jìn)行了這樣的進(jìn)階設(shè)計(jì)：四下的目標(biāo)為“初步認(rèn)識(shí)平均數(shù)，學(xué)會(huì)求簡單數(shù)據(jù)的平均數(shù)”，五下的目標(biāo)為“進(jìn)一步認(rèn)識(shí)平均數(shù)，體會(huì)平均數(shù)在具體問題中的實(shí)際意義”，八上目標(biāo)為“理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念的差異，會(huì)求不同統(tǒng)計(jì)圖表所呈現(xiàn)數(shù)據(jù)和實(shí)例中的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)?！蓖ㄟ^這樣的學(xué)習(xí)進(jìn)階整體建構(gòu)，使學(xué)習(xí)方向更明確，學(xué)習(xí)過程更通透，學(xué)習(xí)效果更明顯。
在日常的教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)教材編寫存在不少問題。其一，知識(shí)多而散，學(xué)生的學(xué)習(xí)無法深入。比如人教版二上“乘法口訣”這一單元，教材安排了多達(dá)6課時(shí)的教學(xué)時(shí)間。其實(shí)，如果從大概念的視角來分析，所有乘法口訣的原理都是一樣的，那就是“乘法的意義”，即“求幾個(gè)幾的和是多少”，因此完全可以對(duì)此單元進(jìn)行教學(xué)重組，把全單元?jiǎng)澐譃?課時(shí)進(jìn)行教學(xué)，即“口訣的意義”“口訣的記憶”“口訣的應(yīng)用”和“口訣的表征”。其二，不同學(xué)段課標(biāo)和教材設(shè)計(jì)缺乏連貫性，學(xué)生無法實(shí)現(xiàn)對(duì)某些大概念的持續(xù)、連貫的概念建構(gòu)。比如“認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”，小學(xué)階段只設(shè)計(jì)了一個(gè)3課時(shí)的小單元就“戛然而止”，這樣的編排使學(xué)生無法實(shí)現(xiàn)對(duì)“負(fù)數(shù)”這一大概念的持續(xù)、連貫的意義構(gòu)建。學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是一個(gè)循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過程，是“生活數(shù)學(xué)”和“學(xué)科數(shù)學(xué)”博弈的過程。在不同的學(xué)習(xí)環(huán)境下，學(xué)生的認(rèn)知可能會(huì)沿著不同的方向發(fā)展，可能會(huì)在“生活數(shù)學(xué)”與“學(xué)科數(shù)學(xué)”之間反復(fù)徘徊。因此，課程的設(shè)計(jì)應(yīng)該基于學(xué)生學(xué)習(xí)過程的“大視角”，從更長遠(yuǎn)的時(shí)間跨度上關(guān)注學(xué)生對(duì)大概念的認(rèn)知構(gòu)建。而基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的課程、教材設(shè)計(jì)將能夠?yàn)檫@種“大視角”的學(xué)習(xí)提供情境支持，使得學(xué)生在更復(fù)雜的情境下構(gòu)建對(duì)于概念的更連貫、精確的理解。
目前，教學(xué)測評(píng)在準(zhǔn)確測評(píng)學(xué)生學(xué)習(xí)的進(jìn)展方面不盡人意，一方面，因?yàn)闇y評(píng)的目標(biāo)和方法等缺少學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)階的尺度作為參照，另一方面，教師的教學(xué)決策多數(shù)是依靠對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的外在表現(xiàn)做出一些粗略的預(yù)判，這種臨時(shí)性的、經(jīng)驗(yàn)型的決策與行為往往與學(xué)生真實(shí)學(xué)習(xí)狀況并不相符。而學(xué)習(xí)進(jìn)階能為教學(xué)提供相對(duì)準(zhǔn)確的教學(xué)診斷，可以幫助教師選擇對(duì)學(xué)生發(fā)展最重要的知識(shí)和技能作為教學(xué)的立足點(diǎn)，并形成科學(xué)的研判素材來測量學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)展情況。以“平均數(shù)”教學(xué)為例，我們可以基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的理念研究，設(shè)定0-5進(jìn)階水平層級(jí)，并列出每一個(gè)學(xué)習(xí)水平中學(xué)生的預(yù)期學(xué)業(yè)表現(xiàn)。比如，水平0的表現(xiàn)為“尚無任何與平均數(shù)有關(guān)的概念”，水平1的表現(xiàn)為“了解平均數(shù)的名稱及簡單的計(jì)算”……水平5的表現(xiàn)為“能用統(tǒng)計(jì)的思想方法解決實(shí)際問題”。有了這種科學(xué)理性的階的設(shè)定，為教師提供了解那些對(duì)學(xué)生發(fā)展最重要的“點(diǎn)”（知識(shí)和技能）作為標(biāo)記，并以這些標(biāo)記來偵測學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)展，用以保證學(xué)生按這種預(yù)期水平前后連貫、逐漸深入地持續(xù)發(fā)展。
學(xué)習(xí)進(jìn)階的教學(xué)實(shí)踐策略
學(xué)習(xí)進(jìn)階與教學(xué)實(shí)踐密切相關(guān)，在有效的教學(xué)策略支撐下，學(xué)習(xí)進(jìn)階才可能真正服務(wù)教學(xué)。
一般情況下，教材編寫是運(yùn)用“版塊式”結(jié)構(gòu)把教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分段編排，這種“演變式”模式使教學(xué)內(nèi)容前后變化十分明顯。而學(xué)習(xí)進(jìn)階意義下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是大概念學(xué)習(xí)，圍繞大概念來組建學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。從數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的關(guān)系來看，大概念是美國教育心理學(xué)家奧蘇伯爾所說的上位知識(shí)，它位于學(xué)科知識(shí)“金字塔”的塔尖，其概括性、抽象性、包攝性最高，解釋力也最強(qiáng)。從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來看，大概念好比魚網(wǎng)上的“綱”，只有綱舉才能目張，也就是說，抓住了大概念，學(xué)科的其他知識(shí)相應(yīng)的教學(xué)活動(dòng)就可以被有機(jī)地組織起來。比如，放眼整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，數(shù)學(xué)可分為定性描述與定量刻畫兩部分，而定量刻畫又可分成計(jì)數(shù)與計(jì)量兩類。究其計(jì)數(shù)和計(jì)量的本質(zhì)，都可以納入到“度量”這一大概念序列之中（如圖2）。度量（客觀對(duì)象都是可被度量的）教學(xué)依據(jù)的基本方法一般是①立標(biāo)準(zhǔn)、定單位（確定統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)）②造工具、計(jì)個(gè)數(shù)（對(duì)標(biāo)準(zhǔn)逐一計(jì)數(shù)）③簡便數(shù)、構(gòu)模型（依特征簡便計(jì)數(shù)）。因此，包括整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)等在內(nèi)所有的計(jì)數(shù)教學(xué)，與包括周長的計(jì)算、各種幾何圖形面積的計(jì)算等在內(nèi)的計(jì)量教學(xué)，都可以用“度量”這一大概念體系方法進(jìn)行教學(xué)。
根據(jù)相關(guān)原理，開發(fā)教學(xué)設(shè)計(jì)
學(xué)習(xí)猶如登山，學(xué)習(xí)進(jìn)階不僅僅要解決學(xué)習(xí)者認(rèn)知發(fā)展的路徑，還要解決學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過程中用以“踏腳”的具體“附著點(diǎn)”?！半A”是一個(gè)迭代的過程，要以學(xué)情的把握與分析為重要依據(jù)。學(xué)習(xí)進(jìn)階必須基于學(xué)習(xí)者的現(xiàn)實(shí)的學(xué)情，而不只是基于作為教師的邏輯結(jié)構(gòu)，是學(xué)習(xí)者與知識(shí)之間主客體共同作用的結(jié)果。比如教學(xué)“認(rèn)識(shí)周長”這一內(nèi)容，根據(jù)學(xué)生認(rèn)知的實(shí)際情況，可以設(shè)計(jì)四階學(xué)習(xí)任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生拾級(jí)而上，漸次實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)性目標(biāo)和發(fā)展性目標(biāo)。第一階：什么是周長？舉一些例子來說明；第二階：想辦法測量出下列物體的周長：①課本封面 ②一片樹葉；第三階：計(jì)算下面各圖（如圖3）的周長（單位：厘米）。第四階：在方格圖中畫兩個(gè)圖形，使它們的周長相等（每小格的邊長是1厘米）。北京師范大學(xué)郭玉英教授提出：在一段時(shí)間內(nèi)，學(xué)生針對(duì)某個(gè)具體概念的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷階的“攀爬”（如圖4）。如上“認(rèn)識(shí)周長”設(shè)計(jì)正是遵循了這一基本理論，使進(jìn)階學(xué)習(xí)成為可能。第一階，在現(xiàn)實(shí)背景下，激活學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，理解了“周長”的概念；第二階，讓學(xué)生圍繞規(guī)則與不規(guī)則兩種情況下的實(shí)物進(jìn)行實(shí)際測量，掌握周長的度量方法，滲透“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)與思想的關(guān)聯(lián)；第三階，引導(dǎo)學(xué)生研究圖形的周長，掌握周長的計(jì)算方法，進(jìn)一步理解度量的本質(zhì)，體現(xiàn)大概念教學(xué)的特點(diǎn)；第四階，則可以讓學(xué)生進(jìn)行概念理解和實(shí)際測量整合之后的系統(tǒng)思維，培養(yǎng)整體思維意識(shí)。
以學(xué)習(xí)進(jìn)階為參照，進(jìn)行有意義的教學(xué)診斷和評(píng)價(jià)
傳統(tǒng)的教學(xué)診斷，命題的錨點(diǎn)往往是依據(jù)教師的經(jīng)驗(yàn)及知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)，至于為什么要考這個(gè)而不考那個(gè)、各知識(shí)點(diǎn)在整個(gè)考評(píng)過程中的權(quán)重都沒有明確的尺度。教學(xué)中，我們可以參照SOLO分類理論進(jìn)行科學(xué)有效的評(píng)價(jià)。SOLO分類理論是香港大學(xué)教育心理學(xué)教授約翰·比格斯首創(chuàng)的一種學(xué)生學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)方法，有著成熟的評(píng)測框架。它是以等級(jí)描述為特征的質(zhì)性評(píng)價(jià)方法，能對(duì)學(xué)生的理解程度進(jìn)行具體、清晰的層級(jí)劃分，使得每個(gè)學(xué)生的理解水平變得更可見、可評(píng)。基于SOLO分類理論，學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果可以分為5個(gè)不同的思維水平，具體是：①前結(jié)構(gòu)，能力最低，問題線索和解答混淆；②單點(diǎn)結(jié)構(gòu)，能力低，只能聯(lián)系單一事件進(jìn)行概括；③多點(diǎn)結(jié)構(gòu)，能力中，雖然想達(dá)到一致，但由于基本上只注意孤立的素材而使回答收斂太快，從而導(dǎo)致用同樣的素材得出不同的結(jié)論；④關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，能力高，能在設(shè)定的情境或已經(jīng)歷的經(jīng)驗(yàn)范圍內(nèi)利用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行概括；⑤抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)，能力最高，通過演繹與歸納的方法，能對(duì)未經(jīng)歷的情境進(jìn)行概括。比如，學(xué)習(xí)“乘法分配律”內(nèi)容之后，可以通過如下試題考量學(xué)生“多點(diǎn)結(jié)構(gòu)”的水平。再比如，學(xué)習(xí)“圓的面積”之后，如下試題就可以很好地測量出學(xué)生“抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)”的水平。圓面積公式的推導(dǎo)有不同的方法。有一位同學(xué)是這樣做的：把圓平均分成4份、9份、16份、25份……，得到若干個(gè)大小相等的小扇形，再把這些小扇形拼成一個(gè)近似的三角形（分的份數(shù)越多,拼成的圖形就越近似于三
角形）。右圖是他把圓等分( )份后拼成的圖形，如果圓的半徑用r表示，那么三角形的底可以表示成( ),高可以表示成（ ），則三角形的面積是（ ），由此得到圓的面積是（ ）。
將“階”及其表現(xiàn)期望嵌入教學(xué)設(shè)計(jì)，以形成有效的形成性評(píng)價(jià)，教師在教學(xué)過程中，通過嵌入的“階”及其表現(xiàn)期望來檢測教學(xué)的效果，將有利于形成性評(píng)價(jià)及教師的教學(xué)決策，課堂生成性資源將更豐富、合理。
學(xué)習(xí)進(jìn)階研究在西方科學(xué)教育領(lǐng)域已成為一個(gè)研究熱點(diǎn)，并且在物理、生物、化學(xué)領(lǐng)域取得了長足地進(jìn)展，而關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)階的研究尚在起步階段。展望未來，我們應(yīng)該思考：數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)進(jìn)階與其他領(lǐng)域的學(xué)習(xí)進(jìn)階有什么差異？小學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)階與初高中學(xué)習(xí)進(jìn)階有哪些不同的地方？小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)階研究應(yīng)該如何進(jìn)一步科學(xué)有序地推進(jìn)？等這一系列問題，將學(xué)習(xí)進(jìn)階研究推向深入。
【1】翟小銘，郭玉英.構(gòu)建學(xué)習(xí)進(jìn)階：本質(zhì)問題與教學(xué)實(shí)踐策略【J】.教育科學(xué).2015（4）：47.
【2】翟小銘，郭玉英.構(gòu)建學(xué)習(xí)進(jìn)階：本質(zhì)問題與教學(xué)實(shí)踐策略【J】.教育科學(xué).2015（4）：48.
【3】翟小銘，郭玉英.構(gòu)建學(xué)習(xí)進(jìn)階：本質(zhì)問題與教學(xué)實(shí)踐策略【J】.教育科學(xué).2015（4）：50.
【4】皇甫倩，常珊珊，王后雄.美國學(xué)習(xí)進(jìn)階的研究進(jìn)展及啟示【J】.外國中小學(xué)教育.2015（8）：54.
【5】約翰·D·布蘭思福特.人是如何學(xué)習(xí)的【M】.程可拉，等，譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2013：10.
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