筆算乘除法中的難點(diǎn)與解決的策略
常州大學(xué)嘗試教育科學(xué)研究院 / 邱學(xué)華
筆算乘除法內(nèi)容，一向不被教師重視，被認(rèn)為沒(méi)有思維含量，加上受“簡(jiǎn)化筆算”的影響，所以教師很少關(guān)注相關(guān)的教學(xué)問(wèn)題，教育刊物中也很少發(fā)表這方面的文章。
筆算乘除法的基礎(chǔ)是20以?xún)?nèi)加減法和表內(nèi)乘除法口算，如果口算不過(guò)關(guān)，學(xué)生還是會(huì)做錯(cuò)。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，筆算乘除法的計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，枯燥乏味，稍不留神就會(huì)做錯(cuò)，挨批評(píng)，所以，他們也不喜歡這部分內(nèi)容。
筆算乘除法的計(jì)算原理和計(jì)算法則，是數(shù)值計(jì)算的基礎(chǔ)，高一級(jí)的數(shù)學(xué)計(jì)算以及物理化學(xué)中的公式計(jì)算仍需運(yùn)用。因此，我們要從深層次分析，不但要看到眼前的知識(shí)，更要看到背后所蘊(yùn)藏的精神。
根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》規(guī)定，在第一學(xué)段，教學(xué)一位數(shù)乘兩、三位數(shù)，兩位數(shù)乘兩位數(shù)；一位數(shù)除兩、三位數(shù)。在第二學(xué)段，教學(xué)三位數(shù)乘兩位數(shù)，三位數(shù)除以?xún)晌粩?shù)。
整數(shù)筆算乘法教材安排分兩個(gè)階段：“萬(wàn)以?xún)?nèi)”階段學(xué)乘數(shù)是一位數(shù)和兩位數(shù)的乘法；“億以?xún)?nèi)”階段學(xué)乘數(shù)是三位數(shù)的乘法。除法教材安排也分兩個(gè)階段：“萬(wàn)以?xún)?nèi)”階段學(xué)除數(shù)是一位數(shù)的除法；“億以?xún)?nèi)”階段學(xué)除數(shù)是兩位數(shù)的除法。
乘數(shù)是一位數(shù)的乘法是乘法的基礎(chǔ)，教材編排步子較細(xì)，由易到難，循序漸進(jìn)。在四則計(jì)算中，除法是比較困難的，而且非常重要。有人問(wèn)一位數(shù)學(xué)家，小學(xué)數(shù)學(xué)中什么內(nèi)容對(duì)今后學(xué)習(xí)關(guān)系較大？他回答說(shuō)：一個(gè)是除法，一個(gè)是分?jǐn)?shù)。而除法同分?jǐn)?shù)又有關(guān)聯(lián)。學(xué)生做除法難的主要原因有：
其一，豎式的書(shū)寫(xiě)形式特殊。加、減、乘三種豎式的形式基本一致。除法就不同，用“丿——”把除數(shù)和被除數(shù)左右分開(kāi)，商和被除數(shù)上下隔開(kāi)。
其二，運(yùn)算時(shí)思考方法復(fù)雜。加法和減法只是一種單一方法的計(jì)算；乘法運(yùn)算，除了乘法還要用到加法；除法運(yùn)算，則要用到加法、減法、乘法三種運(yùn)算，其中只要有一種運(yùn)算出錯(cuò)，就做錯(cuò)了。
其三，計(jì)算難度大。除法運(yùn)算首先要試商，如果學(xué)生沒(méi)有一定的口算能力，就會(huì)受阻。除的結(jié)果往往有余數(shù)，看了商數(shù)，還要看余數(shù)，還要考慮商書(shū)寫(xiě)的位置，真是層層有難。
由于除法計(jì)算復(fù)雜，難度大，所以教材編排分步較細(xì)，由淺入深，分步遞進(jìn)。用一位數(shù)除和用兩位數(shù)除，分別都有多道例題，教師要仔細(xì)分析研究，每道例題的特點(diǎn)和作用。
乘法的難點(diǎn)是什么？我們可從學(xué)生的錯(cuò)例分析中找到。下面，我以68×8為例，呈現(xiàn)5種錯(cuò)例：
不難看出，前4題都是由于沒(méi)有掌握計(jì)算法則而造成的。教學(xué)時(shí)，教師要認(rèn)真講清進(jìn)位的方法，并多做示范，在課堂上要多讓學(xué)生做板演，以便及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤。起步要慢，不能貪快。當(dāng)錯(cuò)誤發(fā)生后，教師要及時(shí)糾正或進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)。
第5題錯(cuò)例，并不是學(xué)生沒(méi)有掌握計(jì)算法則，而是由于學(xué)生的基本口算不熟練造成的。根據(jù)調(diào)查分析，這種錯(cuò)誤所占比重很大，應(yīng)該引起重視。
所以，筆算乘法的錯(cuò)誤根子還在基本口算不熟練。如果發(fā)現(xiàn)學(xué)生筆算乘法錯(cuò)誤多，就多練筆算乘法，這是“頭痛醫(yī)頭，腳痛醫(yī)腳”的辦法。教師應(yīng)該從根子上解決問(wèn)題，抓基本口算訓(xùn)練。
進(jìn)行乘法計(jì)算的基礎(chǔ)是乘法和加法兩步計(jì)算，特別是乘過(guò)以后加法又要進(jìn)位的，學(xué)生比較難掌握，因?yàn)樗纫炀氄莆粘朔谠E，又要熟練掌握加法口訣，思維過(guò)程比較復(fù)雜。例如，6×8+6，7×7+5，4×7+3，3×9+6……有些學(xué)生口算能力差，遇到這種情況，只能在筆算外面再做“小筆算”（列豎式計(jì)算兩位數(shù)加一位數(shù)）。做多位數(shù)乘法，如果學(xué)生連48+6=54這一類(lèi)題都不熟練，還得做多次“小筆算”，錯(cuò)誤的概率自然大。這樣做一道乘法題該多費(fèi)力?。?/span>
解決進(jìn)位難點(diǎn)的辦法，主要是加強(qiáng)乘加兩步計(jì)算的基本訓(xùn)練，用口算促進(jìn)筆算。如6×8+7，關(guān)鍵又落在尾數(shù)8+7的口算，如果有加法口訣，八七15，就能很快得出結(jié)果55。這里又能看到加法口訣的神威，加法口訣能夠解決乘法進(jìn)位的困難，是有科學(xué)依據(jù)的。所以，筆算教學(xué)時(shí)，教師一定要加強(qiáng)口算基本訓(xùn)練，可以補(bǔ)教加法口訣，練習(xí)乘加兩步計(jì)算。如果學(xué)生對(duì)乘加兩步計(jì)算能力達(dá)到了“一望而知”的熟練程度，基本上就可以解決這個(gè)問(wèn)題了。所以說(shuō)，不能以“筆”治“筆”，應(yīng)該以“口”治”筆”。
對(duì)學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，在個(gè)別輔導(dǎo)時(shí)，教師可允許他們把進(jìn)位數(shù)寫(xiě)在草稿紙上，也可以用“左手助記法”（就是用左手記住進(jìn)位的數(shù)目，如進(jìn)4就用左手伸出4個(gè)指頭，如進(jìn)6就伸出大拇指和食指），避免把進(jìn)位的數(shù)目忘記，以后再慢慢脫離這些助記的方法。
用兩位數(shù)乘的難點(diǎn)，主要是部分積的對(duì)位問(wèn)題。寫(xiě)部分積的位置，學(xué)生往往會(huì)出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：
教學(xué)時(shí)，教師要重點(diǎn)突出每一部分積寫(xiě)的位置。為了說(shuō)明道理，教師可以把算式先拆開(kāi)計(jì)算，然后再合并。要使學(xué)生清楚地理解兩個(gè)部分積的排列要相錯(cuò)一位，實(shí)質(zhì)上是要把相同數(shù)位對(duì)齊，然后再相加。例如：
教師要讓學(xué)生多練習(xí)幾道第一式的分解計(jì)算，加深印象，讓學(xué)生感到每次都寫(xiě)“0”比較麻煩，可以省去不寫(xiě)。學(xué)生有了這種'感覺(jué)'，再過(guò)渡到第二式就水到渠成了。教師還可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察，不論乘數(shù)十位上的數(shù)是幾，第二部分積的個(gè)位上都是“0”，兩個(gè)部分積相加，0與任何數(shù)相加，還是這個(gè)數(shù)，所以0可以省略不寫(xiě)。
前面已經(jīng)談到，四則計(jì)算中除法最難，難點(diǎn)很多，由于篇幅所限，不能一一論述。以下，我主要談三個(gè)難點(diǎn)。
其一，商的定位困難。教師在講解除法的計(jì)算法則時(shí)，特別要突出兩條：一是除到被除數(shù)的哪一位，就把商寫(xiě)在哪一位上面；二是每次除得的余數(shù)必須比除數(shù)小。教師可引導(dǎo)學(xué)生作專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練。如：
這種訓(xùn)練免除了學(xué)生計(jì)算的麻煩，能夠把注意力集中到確定商的位置上，同時(shí)也滲透了估算的思想，讓學(xué)生找到規(guī)律。
其二，乘加兩步計(jì)算以及乘法計(jì)算的困難。乘法是除法的基礎(chǔ)。除法計(jì)算過(guò)程中，經(jīng)過(guò)試商后，就要用乘法計(jì)算，如果乘法計(jì)算過(guò)程中有一步算錯(cuò)，就會(huì)造成整個(gè)計(jì)算錯(cuò)誤。例如：
這種情況的計(jì)算錯(cuò)誤比重很大。為什么有些學(xué)生平常單獨(dú)做乘法不會(huì)錯(cuò)，而在做除法時(shí)用到乘法計(jì)算卻會(huì)錯(cuò)呢？這是因?yàn)檫@里的乘法計(jì)算同單獨(dú)做乘法筆算不一樣。乘法筆算是豎式計(jì)算，而這里的乘法類(lèi)似橫式計(jì)算（不列出豎式，直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果），形式不同（如下）。
學(xué)生平時(shí)用上述形式訓(xùn)練的機(jī)會(huì)少，所以在做除法時(shí)就會(huì)發(fā)生困難。這一點(diǎn)，過(guò)去往往被忽視了。今后在教除法時(shí)，教師可以讓學(xué)生作如下形式的乘法計(jì)算專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練：
如果經(jīng)常進(jìn)行這方面的基本訓(xùn)練，學(xué)生就能減少除法計(jì)算的錯(cuò)誤率。在教乘法時(shí)，教師也要多讓學(xué)生練兩位數(shù)乘一位數(shù)的橫式計(jì)算。以下面48×9為例：
很多學(xué)生都錯(cuò)在36+7這一步上，毛病還在20以?xún)?nèi)加法上，如果有背熟加法口訣，立即反應(yīng)七六13，就能正確無(wú)誤地過(guò)關(guān)了。這里看出在筆算除法中，還要用到加法口訣。我為什么反復(fù)強(qiáng)調(diào)熟記加法口訣的重要性，甚至到了苦口婆心的地步，就是這個(gè)道理。我們要從四則計(jì)算的全局上認(rèn)識(shí)問(wèn)題。
其三，試商的困難。用兩位數(shù)除最大的困難在于試商。而試商的方法較多，教師不必都教給學(xué)生，這并不是算法多樣化，否則反而使學(xué)生無(wú)所適從。按照教材要求，一般用四舍五入法把除數(shù)看成與它接近的整十?dāng)?shù)進(jìn)行試商。事實(shí)上這也是一種估算。
前面提到用兩位數(shù)除的基礎(chǔ)是一位數(shù)乘兩位數(shù)的口算，如56×8、48×6、28×7……學(xué)生這方面的口算能力提高了，就能在試商過(guò)程中自行調(diào)整。這里進(jìn)一步證明“口算是筆算的基礎(chǔ)”的科學(xué)論斷。
教學(xué)中，教師要讓學(xué)生多進(jìn)行試商的專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練——運(yùn)用口算卡片，上面寫(xiě)著除式，要求學(xué)生很快說(shuō)出商是幾。例如：
小數(shù)乘除法的豎式形式和計(jì)算法則同整數(shù)乘除法基本一致，只是多了小數(shù)點(diǎn)的處理問(wèn)題。學(xué)生掌握如何確定積或商的小數(shù)點(diǎn)的位置，是小數(shù)乘除法教學(xué)的難點(diǎn)和關(guān)鍵。
我們先從幾則小數(shù)乘法中的錯(cuò)例，分析學(xué)生常見(jiàn)的錯(cuò)誤，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，加以糾正。
消除以上錯(cuò)誤，除了要講清楚算理，還需進(jìn)行專(zhuān)項(xiàng)對(duì)比訓(xùn)練。如：
小數(shù)除法計(jì)算，最難的是除數(shù)是小數(shù)的除法。計(jì)算時(shí)，首先要把除數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，除數(shù)擴(kuò)大了，被除數(shù)也要相應(yīng)擴(kuò)大，因此在豎式中小數(shù)點(diǎn)劃來(lái)劃去，學(xué)生搞不清楚了。例如：
改來(lái)改去，劃來(lái)劃去，最后學(xué)生看不清，商的小數(shù)點(diǎn)應(yīng)該在哪里。
我經(jīng)過(guò)反復(fù)研究，并進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，設(shè)計(jì)了一種“提前化整”的方法解決這個(gè)難點(diǎn)。“提前化整”是在橫式上提前進(jìn)行小數(shù)點(diǎn)的處理，把小數(shù)化為整數(shù)處理，再寫(xiě)豎式，轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法。同樣用上例分析（如下），這種“提前化整法”說(shuō)理清楚，學(xué)生很容易接受，大大降低了錯(cuò)誤率。
“提前化整法”可作專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練，既可鞏固小數(shù)基本性質(zhì)的概念，又為除數(shù)是小數(shù)的除法教學(xué)打好基礎(chǔ)。舉例如下：
75÷0.25=7500÷25 7.5÷0.25=750÷25
75÷2.5=750÷25 7.5÷0.025=7500÷25
0.75÷2.5=7.5÷25 0.075÷2.5=0.75÷25
整數(shù)乘除法和小數(shù)乘除法內(nèi)容較多，幾乎橫跨三、四、五3個(gè)年級(jí)。本文重點(diǎn)談如何解決教學(xué)中的難點(diǎn)。綜上所述，我主要教給大家兩個(gè)訣竅：
其一，解決乘除法中的難點(diǎn)，關(guān)鍵要有熟練的基本口算作基礎(chǔ)。我提出的“口算是筆算的基礎(chǔ)”“計(jì)算要過(guò)關(guān)，必須抓口算”的觀(guān)點(diǎn)，是有科學(xué)依據(jù)的，是切合實(shí)際教學(xué)情況的。所以，有人認(rèn)為筆算不過(guò)關(guān)就多練筆算，這種“以筆治筆”不能對(duì)癥下藥。相反，“以口治筆”才是科學(xué)的辦法。所以，中高年級(jí)還必須重視口算訓(xùn)練，特別要補(bǔ)教加法口訣。
其二，我設(shè)計(jì)了多種專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練，既能有效地突破難點(diǎn)，又能減輕學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)。筆算乘除法比較繁難，計(jì)算步驟如果都要從頭做起，既費(fèi)時(shí)間，學(xué)生又討厭。如果只做專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練，就能練在刀口上，講在要害處?！?/span>
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