一．制定《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的目的。
應(yīng)試教育？減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)？引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣？這些是表象不是目的。
→學(xué)生發(fā)展的需要：適應(yīng)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)；
→國(guó)家發(fā)展的需要：培養(yǎng)創(chuàng)新性人才必須從基礎(chǔ)教育抓起。
成為創(chuàng)新性人才三個(gè)條件：意識(shí)、能力、機(jī)遇。
二．創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)。
創(chuàng)新能力依賴于：知識(shí)的掌握、思維的訓(xùn)練、經(jīng)驗(yàn)的積累。
思維的訓(xùn)練：演繹能力、歸納能力。
愛(ài)因斯坦：西方科學(xué)的發(fā)展是以兩個(gè)偉大成就為基礎(chǔ)，那就是：希臘哲學(xué)家發(fā)明的形式邏輯體系（在歐幾里德幾何中），以及通過(guò)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有可能找出因果關(guān)系（在文藝復(fù)興時(shí)期）。（見(jiàn)《愛(ài)因斯坦文集》第一卷）
三．我國(guó)教育的現(xiàn)狀。
楊振寧：我很有幸能夠在兩個(gè)具有不同文化背景國(guó)度里學(xué)習(xí)和工作，我在中國(guó)學(xué)到了演繹能力，我在美國(guó)學(xué)到了歸納能力。（見(jiàn)《我的生平》）
演繹能力：能夠熟練使用演繹推理的能力。
演繹推理來(lái)源于亞里士多德，他在《工具論》提出了著名的三段論理論，即大前提、小前提、結(jié)論。是一種前提與結(jié)論之間有必然性聯(lián)系的推理，是基于概念、按照規(guī)則進(jìn)行的推理，是由一般到特殊的推理。就數(shù)學(xué)而言，演繹推理是基于公理、定義和符號(hào)，按照規(guī)定的法則進(jìn)行命題證明或者公式推導(dǎo)?？巳R因說(shuō)：邏輯可以是數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)和約定，但不是它的本質(zhì)。（見(jiàn)《數(shù)學(xué)家談數(shù)學(xué)本質(zhì)》）
就歐氏幾何而言，在公理和公設(shè)的基礎(chǔ)上：“已知A求證B”，其中A和B都是確切的命題。演繹推理的主要功能在于驗(yàn)證結(jié)論，而不在于發(fā)現(xiàn)結(jié)論。
這與“數(shù)學(xué)雙基教育”的目的是一致的。
基礎(chǔ)知識(shí)（概念記憶與命題理解）扎實(shí)；
基本技能（證明技能與運(yùn)算技能）熟練。
綿延千年的科舉：基本功扎實(shí)、知識(shí)的記憶、八股文的寫(xiě)作；
重視操作技能：熟能生巧。
四．還缺少什么？
根據(jù)情況“預(yù)測(cè)結(jié)果”的能力；根據(jù)結(jié)果“探究成因”的能力。
歸納能力為熟練使用歸納推理的能力。
現(xiàn)代歸納推理來(lái)源于培根，他在《新工具論》認(rèn)為就“幫助人們尋求真理”而言，三段論的“壞作用多于好作用”。休謨利用這個(gè)思想研究了因果關(guān)系，已經(jīng)成為現(xiàn)代科學(xué)的動(dòng)力。穆?tīng)栐谒闹鳌墩撟杂伞分邢到y(tǒng)地總結(jié)了歸納推理。
就方法而言，歸納推理十分龐雜，枚舉法、歸納法、類比法、統(tǒng)計(jì)推斷、因果分析，以及觀察實(shí)驗(yàn)、比較分類、綜合分析等均可被包容。
與演繹推理相反，歸納推理是一種“從特殊到一般的推理”。
借助歸納推理可以培養(yǎng)學(xué)生“預(yù)測(cè)結(jié)果”和“探究成因”的能力，是演繹推理不可比擬的。從方法論的角度考慮，“雙基教育”缺少歸納能力的培養(yǎng)，對(duì)學(xué)生未來(lái)走向社會(huì)不利，對(duì)培養(yǎng)創(chuàng)新性人才不利。
五．如何培養(yǎng)歸納能力。
可能與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育有很大不同，需要認(rèn)真研究、實(shí)踐和總結(jié)。
傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育重視知識(shí)的傳授和技能的訓(xùn)練?！爸R(shí)在本質(zhì)上是一種結(jié)果，可以是經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果，也可以是思考的結(jié)果。”（見(jiàn)“關(guān)于教育的哲學(xué)”，史寧中，《教育研究》，10，1998年）→結(jié)果的教育、知識(shí)的積累。
歸納推理可以表現(xiàn)為一種智慧。“智慧并不表現(xiàn)在經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果上，也不表現(xiàn)在思考的結(jié)果上，而表現(xiàn)在經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，表現(xiàn)在思考的過(guò)程。”→歸納能力是建立在實(shí)踐的基礎(chǔ)上的。→過(guò)程的教育、經(jīng)驗(yàn)的積累。
“過(guò)程的教育”不是指在授課時(shí)要講解、或者讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，甚至不是指知識(shí)的呈現(xiàn)方式。而是，探究的過(guò)程、思考的過(guò)程、抽象的過(guò)程、預(yù)測(cè)的過(guò)程、推理的過(guò)程、反思的過(guò)程，等等。
大量的調(diào)查表明：現(xiàn)在的課堂比過(guò)去活躍了，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣也比過(guò)去高了。這是非常好的事情。
但是教學(xué)的形式不是本質(zhì)的?！读x務(wù)教育法》：“國(guó)家鼓勵(lì)學(xué)校和教師采用啟發(fā)式教育等教育教學(xué)方法，提高教育教學(xué)質(zhì)量?！保ㄔ瓌t）
教育教學(xué)活動(dòng)，除了知識(shí)與技能之外，必須能夠：引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性；培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，掌握有效的學(xué)習(xí)方法。
如果在討論的課堂上，教師重視的還是學(xué)生討論的結(jié)果，評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)還是結(jié)果的對(duì)錯(cuò)。那么，成效只在于幫助學(xué)生理解。應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生通過(guò)討論，理清自己的思想、理解他人的意思。
我們必須清楚，世界有很多東西是不可傳遞的，只能*親身經(jīng)歷。智慧并不完全依賴知識(shí)的多少，而依賴知識(shí)的運(yùn)用、依賴經(jīng)驗(yàn)，你只能讓學(xué)生在實(shí)際操作中磨練。下面我舉例說(shuō)明。可以給小學(xué)三年級(jí)以下的學(xué)生出這樣的題目：
自己選擇某一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)將全班同學(xué)分成兩類，并與同學(xué)交流分類的標(biāo)準(zhǔn)和分類的結(jié)果。
分類在數(shù)學(xué)中是很重要的，一個(gè)好的分類必須抓住事物的本質(zhì)特征。對(duì)于這樣的問(wèn)題，答案是無(wú)所謂對(duì)錯(cuò)的，只要分類的結(jié)果與分類的標(biāo)準(zhǔn)一致就可以?？梢宰寣W(xué)生感悟到，標(biāo)準(zhǔn)是可以自己訂的，這種思維是創(chuàng)新的根本思維。教師要是幫助學(xué)生整理清思路。對(duì)于三年級(jí)以上的學(xué)生，問(wèn)題可以提的更為深入一些：
如圖所示，桌上散落著一些扣子，請(qǐng)同學(xué)們想一想可以把這些扣子分成幾類？分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？然后，數(shù)一數(shù)每一類各有多少顆扣子，并用文字、圖畫(huà)或者列表等方式把結(jié)果紀(jì)錄下來(lái)。
這個(gè)問(wèn)題要復(fù)雜一些，因?yàn)榭梢灾饾u加多分類的標(biāo)準(zhǔn)，把類分的更細(xì)。開(kāi)始可能不一樣，結(jié)果會(huì)“殊途同歸”。到了初中階段，問(wèn)題就可以更復(fù)雜了：
某電視臺(tái)希望了解本地區(qū)居民喜歡電視節(jié)目的類型，請(qǐng)同學(xué)幫助設(shè)計(jì)一個(gè)調(diào)查方案。
這個(gè)問(wèn)題就十分復(fù)雜了，涉及到不同年齡段以及這個(gè)年齡段的居民所占比例；涉及到不同文化背景及其所占比例；涉及到不同類型的人看電視的時(shí)間；涉及到需要調(diào)查的人數(shù)，等等。但是，這個(gè)問(wèn)題的核心還是在于標(biāo)準(zhǔn)和結(jié)果的關(guān)系。
學(xué)生通過(guò)類似這樣的貫穿始終的訓(xùn)練，是能夠逐漸領(lǐng)悟歸納的思想的。
代數(shù)的例子：
在一個(gè)房間里有四條腿的椅子和三條腿的凳子供16個(gè)，如果椅子腿與凳子腿加起來(lái)共有60個(gè)，有幾個(gè)椅子和幾個(gè)凳子？
這是典型的“雞兔同籠”的問(wèn)題，但是椅子和凳子相差一條腿，有利于學(xué)生進(jìn)行“嘗試”。對(duì)于低年級(jí)學(xué)生，可以讓學(xué)生列表嘗試：
椅子數(shù) 凳子數(shù) 腿的總數(shù)
16 0 4?/span>16＝64
15 1 4?/span>15＋3?/span>1＝63
14 2 4?/span>14＋3?/span>2＝62
繼續(xù)運(yùn)算下去，可以得到椅子數(shù)12，凳子數(shù)4時(shí)，腿數(shù)正好60。也可以引發(fā)學(xué)生思考：從計(jì)算可以看出，每減少一個(gè)椅子就要增加一個(gè)凳子，腿的總數(shù)就要減少4-3=1。如果這個(gè)思考是正確的，腿的總數(shù)為60時(shí)，需要減少的椅子數(shù)是64-60=4，于是椅子數(shù)是12，凳子數(shù)是4。最后驗(yàn)證是否正確。到了高年級(jí)，可以仍然用嘗試的方法列出方程：
椅子數(shù) 凳子數(shù) 腿的總數(shù)
a＝16 16－a＝0 4?/span>a＋3?/span>(16－a)＝64
a＝15 16－a＝1 4?/span>a＋3?/span>(16－a)＝63
a＝14 16－a＝2 4?/span>a＋3?/span>(16－a)＝62
這樣，合題意的方程為4?/span>a＋3?/span>(16－a)＝64。
這些也許就是“過(guò)程的教育”，讓學(xué)生自己探索答案，而不一定是通過(guò)講道理分析出答案。通過(guò)“道理”直接給出方程固然是好的，但是通過(guò)有規(guī)律的計(jì)算尋求這個(gè)規(guī)律是得到一般結(jié)果的有效手段，特別是能夠幫助學(xué)生更直觀地理解“道理”。這是歸納推理的手法，也是我們過(guò)去的數(shù)學(xué)教育忽視的地方。
當(dāng)然，不需要每一個(gè)問(wèn)題都這樣處理，但需要在整個(gè)中小學(xué)階段不間斷地進(jìn)行，引導(dǎo)學(xué)生自己去感悟、去體會(huì)，幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)，最終掌握歸納推理的思想和手法。
結(jié)果是重要的，最終還是要通過(guò)結(jié)果驗(yàn)證。正如李大潛先生所說(shuō)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)不可能憑空出現(xiàn)，它是在知識(shí)的傳授過(guò)程中逐步熏陶而來(lái)的。
在有些情況下，即使結(jié)果錯(cuò)了，只要思路正確也是應(yīng)當(dāng)給予肯定的。如果思路正確結(jié)果錯(cuò)誤，那只能是前提不對(duì)，而前提是可以修改的。看下面這個(gè)例子。
學(xué)習(xí)的內(nèi)容是有理數(shù)乘法運(yùn)算：“負(fù)負(fù)得正”。有一位學(xué)生通過(guò)計(jì)算，得到（－3）祝ǎ?/span>4）＝＋9的結(jié)論。這個(gè)結(jié)果顯然是錯(cuò)誤的，教師不加思索就否定了這個(gè)學(xué)生的結(jié)果，并批評(píng)這個(gè)學(xué)生計(jì)算不用心。這個(gè)結(jié)果的得來(lái)是因?yàn)橛?jì)算不用心嗎？課后與這位同學(xué)交流。這位學(xué)生回答：“根據(jù)乘法法則，－3乘以－4就是按照數(shù)軸的反方向的反方向，以3為單位、數(shù)4個(gè)單位。你看，我從數(shù)軸上的－3這個(gè)位置開(kāi)始，向正方向數(shù)，不正好數(shù)到＋9的位置嗎？”
學(xué)生說(shuō)的是有道理的，這是利用數(shù)軸解釋有理數(shù)乘法運(yùn)算所引起的問(wèn)題：
在解釋加法運(yùn)算時(shí)，是從數(shù)值所在位置開(kāi)始的；在解釋乘法運(yùn)算時(shí)，為什么就必須從0的位置開(kāi)始呢？如果都從0的位置開(kāi)始、與數(shù)值所在的具體位置無(wú)關(guān)，那么用數(shù)軸解釋還有什么意義呢？
這個(gè)學(xué)生的想法是合理的，是非常好的。如果教師回答不了這些問(wèn)題，可以通過(guò)舉例給這個(gè)學(xué)生講解：按照你的思考，（＋2）祝ǎ?/span>2）會(huì)等于幾呢？應(yīng)該是＋6，從＋2這個(gè)點(diǎn)處開(kāi)始數(shù)不正好是＋6嗎？這樣可以引導(dǎo)學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)問(wèn)題之所在。
有時(shí)候，教師是需要聽(tīng)一聽(tīng)學(xué)生是如何思考的，特別是學(xué)生得到的結(jié)果很特殊的時(shí)候、有規(guī)律性的時(shí)候。應(yīng)當(dāng)看到，幫助學(xué)生整理清楚思路，比讓學(xué)生單純地認(rèn)同和模仿要重要的多，我們不應(yīng)當(dāng)忽視。
六．如何改變標(biāo)準(zhǔn)？
把“雙基”改變“四基”，即為關(guān)于數(shù)學(xué)的：基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能。
→基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。
希望能夠改變過(guò)去的教學(xué)方法，在教學(xué)活動(dòng)中，能夠繼續(xù)：促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、訓(xùn)練學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基本技能；學(xué)會(huì)：?jiǎn)l(fā)學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想、幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。不是簡(jiǎn)單的疊加，是一個(gè)有機(jī)的整體，是相互促進(jìn)的。加上了后面的“兩基”，就必須改造傳統(tǒng)的“雙基”，給出充分的空間與時(shí)間；在教學(xué)活動(dòng)中“基本思想”將是主線，“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”將成為重要的形式。
關(guān)于時(shí)間與空間
幾何（形式≠邏輯）。
證明切線長(zhǎng)定理：過(guò)圓外一點(diǎn)所畫(huà)的圓的兩條切線的長(zhǎng)相等。
我們先設(shè)這個(gè)圓的圓心為O，圓外一點(diǎn)為P，兩個(gè)切點(diǎn)分別為A和B，分析下面兩種敘述方法：
⑴證明：連接OA和OB。因?yàn)镻A和PB是圓的切線，則∠PAO=∠PBO=90?，即⊿POA和⊿POA均為直角三角形。又因?yàn)镺A=OB和OP=OP，則⊿POA與⊿POA全等。于是有PA=PB。
⑵證明：連接OA和OB。
∵ PA和PB是圓的切線（已知），
∴∠PAO=∠PBO=90埃ㄇ邢咝災(zāi)剩?/span>
即⊿POA、⊿POA為直角三角形。
∵ OA=OB（同圓半徑相等），OP=OP，
∴⊿POA≌⊿POA（斜邊直角邊定理），
∴ PA=PB（對(duì)應(yīng)邊相等）。
代數(shù)（技巧≠技能）。
絕對(duì)值中的字母。
“韋達(dá)”定理。
解方程：列方程、遞歸（三元→二元→一元）。
確定二元一次方程的系數(shù)。
關(guān)于基本思想
“基本思想”主要是指演繹和歸納，這應(yīng)當(dāng)是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線。在具體的問(wèn)題中，會(huì)涉及到數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)模型、等量替換、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，但最上位的思想還是演繹和歸納。
之所以用“基本思想”而不用基本思想方法，就是要與換元法、遞歸法、配方法等具體的數(shù)學(xué)方法區(qū)別。每一個(gè)具體的方法可能是重要的，但不具有一般性，作為一種思想掌握是不必要的，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，學(xué)生很可能就忘卻了。這里所說(shuō)的思想，是希望學(xué)生領(lǐng)會(huì)之后能夠終生受益的那種思想方法。
七．結(jié)束語(yǔ)。
如果在我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，一方面保持“數(shù)學(xué)雙基教學(xué)”合理的內(nèi)核，一方面添加“基本思想”和“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，出現(xiàn)既有“演繹能力”又有“歸納能力”的培養(yǎng)模式，就必將會(huì)出現(xiàn)“外國(guó)沒(méi)有的我們有、外國(guó)有的我們也有”的局面，那一天，我們就能自豪地說(shuō)，我國(guó)的基礎(chǔ)教育領(lǐng)先于世界
