§7.4軌跡問題
一、知識導學
1.方程的曲線
在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡 )上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關系：
(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；
(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.
2.點與曲線的關系 若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點P0(x0,y0)在曲線C上f(x0,y0)=0；
點P0(x0,y0)不在曲線C上f(x0,y0)≠0兩條曲線的交點 若曲線C1，C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則點P0(x0,y0)是C1，C2的交點
方程組有n個不同的實數(shù)解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數(shù)解，曲線就沒有交點.
3.圓錐曲線的統(tǒng)一定義
平面內(nèi)的動點P(x,y)到一個定點F(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之比是一個常數(shù)e(e＞0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線.
其中定點F(c,0)稱為焦點，定直線l稱為準線，正常數(shù)e稱為離心率.
當0＜e＜1時，軌跡為橢圓
當e=1時，軌跡為拋物線
當e＞1時，軌跡為雙曲線
4.坐標變換
（1）坐標變換 在解析幾何中，把坐標系的變換(如改變坐標系原點的位置或坐標軸的方向)叫做坐標變換.實施坐標變換時，點的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點的坐標與曲線的方程.坐標軸的平移：坐標軸的方向和長度單位不改變，只改變原點的位置，這種坐標系的變換叫做坐標軸的平移，簡稱移軸.
（2）坐標軸的平移公式 設平面內(nèi)任意一點M，它在原坐標系xOy中的坐標是（x,y)，在新坐標系x ′O′y′中的坐標是(x′,y′).設新坐標系的原點O′在原坐標系xOy中的坐標是(h,k)，則
(1) 或 (2)
公式(1)或(2)叫做平移(或移軸)公式.
二、疑難知識導析
1.在求曲線軌跡方程的過程中,要注意：
(1)理解題意,弄清題目中的已知和結(jié)論,發(fā)現(xiàn)已知和未知的關系,進行知識的重新組合；
(2)合理進行數(shù)學語言間的轉(zhuǎn)換,數(shù)學語言包括文字語言、符號語言和圖形語言,通過審題畫出必要的圖形或示意圖,把不宜于直接計算的關系化為能直接進行數(shù)學處理的關系式,把不便于進行數(shù)學處理的語言化為便于數(shù)學處理的語言；
(3)注意挖掘題目中的隱含條件；
(4)注意反饋和檢驗.
2.求軌跡方程的基本方法有：
(1)直接法：若動點滿足的幾何條件是一些幾何量的等量關系,則將這些關系“翻譯”成x,y的關系式,由此得到軌跡方程.一般步驟是：建立坐標系—設點—列式—代換—化簡、整理.
(2)定義法：即當動點的軌跡滿足的條件符合某種特殊曲線的定義時,則可根據(jù)這種曲線的定義建立方程.
(3)待定系數(shù)法：已知動點的軌跡是某種圓錐曲線,則可先設出含有待定系數(shù)的方程,再根據(jù)動點滿足的條件確定待定系數(shù).
(4)相關點法：當動點P(x,y)隨著另一動點Q(x1,y1)的運動而運動時,而動點Q在某已知曲線上,且Q點的坐標可用P點的坐標來表示,則可代入動點Q的方程中,求得動點P的軌跡方程.
(5)參數(shù)法：當動點P的坐標x、y之間的直接關系不易建立時,可適當?shù)剡x取中間變量t,并用t表示動點的坐標x、y,從而得到動點軌跡的參數(shù)方程 ,消去t,便可得動點P的普通方程.
另外,還有交軌法、幾何法等.
3.在求軌跡問題時常用的數(shù)學思想是：
(1)函數(shù)與方程的思想：求平面曲線的軌跡方程,是將幾何條件(性質(zhì))表示為動點坐標x、y的方程及函數(shù)關系；
(2)數(shù)形結(jié)合的思想：由曲線的幾何性質(zhì)求曲線方程是“數(shù)”與“形”的有機結(jié)合；
(3)等價轉(zhuǎn)化的思想：通過坐標系使“數(shù)”與“形”相互結(jié)合,在解決問題時又需要相互轉(zhuǎn)化.
三、經(jīng)典例題導講
[例1]如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.
解：設AB的中點為R，坐標為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.
又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)
又|AR|=|PR|=
所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0
因此點R在一個圓上，而當R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動.
設Q(x,y)，R(x1,y1)，因為R是PQ的中點，所以x1=,
代入方程x2+y2－4x－10=0,得
－10=0
整理得 x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程.
技巧與方法：對某些較復雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個較易于求得的點的軌跡方程，再以此點作為主動點，所求的軌跡上的點為相關點，求得軌跡方程.
[例2]某檢驗員通常用一個直徑為2 cm和一個直徑為1 cm的標準圓柱，檢測一個直徑為3 cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個合適的同號標準圓柱，問這兩個標準圓柱的直徑為多少？
解：設直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q,使它們與⊙O相內(nèi)切，與⊙A、⊙B相外切.
建立如圖所示的坐標系，并設⊙P的半徑為r,則
|PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5
∴點P在以A、O為焦點，長軸長2.5的橢圓上，其方程為
=1 ①
同理P也在以O、B為焦點，長軸長為2的橢圓上，其方程為
(x－)2+y2=1 ②
由①、②可解得，∴r=
故所求圓柱的直徑為 cm.
[例3] 直線L：與圓O：相交于A、B兩點，當k變動時，弦AB的中點M的軌跡方程.
錯解：易知直線恒過定點P（5,0），再由，得：
∴，整理得：
分析：求動點軌跡時應注意它的完備性與純粹性。本題中注意到點M應在圓內(nèi)，故易求得軌跡為圓內(nèi)的部分，此時.
[例4] 已知A、B為兩定點，動點M到A與到B的距離比為常數(shù)λ,求點M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線.
解：建立坐標系如圖所示，
設|AB|=2a,則A(－a,0）,B(a,0).
設M(x,y）是軌跡上任意一點.
則由題設，得=λ,坐標代入，得=λ,化簡得
(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0
(1)當λ=1時，即|MA|=|MB|時，點M的軌跡方程是x=0，點M的軌跡是直線(y軸).
(2)當λ≠1時，點M的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0.點M的軌跡是以
(－，0)為圓心，為半徑的圓.
[例5]若拋物線y=ax2-1上，總存在不同的兩點A、B關于直線y+x=0對稱，求實數(shù)a的取值范圍.
分析：若存在A、B關于直線y+x=0對稱，A、B必在與直線y+x=0垂直的直線系中某一條與拋物線y=ax2-1相交的直線上，并且A、B的中點M恒在直線y+x=0上.
解：如圖所示，設與直線y+x=0垂直的直線系方程為
y=x+b
由 得
ax2-x-(b+1)=0 ①
令 △＞0
即 (-1)-4a[-(b+1)]＞0
整理得
4ab+4a+1＞0 ②
在②的條件下，由①可以得到直線y=x+b、拋物線y=ax2-1的交點A、B的中點M的坐標為
（,+b）,要使A、B關于直線y+x=0對稱，則中點M應該在直線y+x=0上，所以有
+（+b）=0 ③
即 b=- 代入②解不等式得 a＞
因此，當a＞時，拋物線y=ax2-1上總存在不同的兩點A、B關于直線y+x=0對稱.
四、典型習題導練
1.已知橢圓的焦點是F1、F2，P是橢圓上的一個動點，如果延長F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么動點Q的軌跡是( )
A.圓 B.橢圓
C.雙曲線的一支 D.拋物線
2.高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標分別確定為A(－5，0)、B(5，0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡方程是_________.
3．設直線2x-y-=0與y軸的交點為P，點P把圓(x+1)2+y2 ＝25的直徑分為兩段，則其長度之比是
4.已知A、B、C是直線上的三點，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直線于點A，又過B、C作⊙O′異于的兩切線，設這兩切線交于點P，求點P的軌跡方程.
5.雙曲線=1的實軸為A1A2，點P是雙曲線上的一個動點，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q與A2Q的交點為Q，求Q點的軌跡方程.
6.已知橢圓=1(a＞b＞0),點P為其上一點，F1、F2為橢圓的焦點，∠F1PF2的外角平分線為，點F2關于的對稱點為Q，F2Q交于點R.
(1)當P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；
(2)設點R形成的曲線為C，直線l：y=k(x+a)與曲線C相交于A、B兩點，當△AOB的面積取得最大值時，求k的值.
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