經(jīng)緯線
關(guān)于用算術(shù)方法研究圖形的歷史可以追溯到古埃及，古巴比倫以及古代中國(guó)。因?yàn)槿粘Ｉ詈蜕a(chǎn)實(shí)踐的需要，人們從土地測(cè)量開始，后來又發(fā)明了面積，體積的計(jì)算方法，發(fā)明了研究三角形邊角關(guān)系的有力工具三角函數(shù)。特別是在這個(gè)過程中，人們研究了兩個(gè)重要的問題，這對(duì)后來坐標(biāo)系的建立起到了至關(guān)重要的作用：一個(gè)是發(fā)明了地球表面上和空間星座中的經(jīng)緯線，用經(jīng)緯線來確定點(diǎn)的位置，另一個(gè)是研究了平面上滿足某些條件的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。
古巴比倫人和古代中國(guó)人都利用了數(shù)字12發(fā)明了被稱為黃道的坐標(biāo)系，用來確定夜空中星座的位置。在地球表面，據(jù)說是亞里士多德第一個(gè)發(fā)明了確定位置的辦法，他發(fā)現(xiàn)越接近赤道越熱，越靠近北極越冷，于是他建議在地球上按南北方位劃分五個(gè)氣候區(qū)域，并稱這樣劃分的線為緯線。后來，在亞歷山大圖書館從事研究的托勒密在他的8卷本的《地理學(xué)》中提出，繪制地圖不僅需要維度也需要經(jīng)度，為了把地球的位置平面化，他設(shè)計(jì)了扇形的經(jīng)緯線，繪制出著名的“托勒密地圖”，雖然這個(gè)地圖并不實(shí)用。
阿波羅尼奧斯
談到運(yùn)動(dòng)軌跡的研究，就必然要涉及古希臘學(xué)者關(guān)于圓錐曲線的研究。據(jù)說，古希臘學(xué)者熱衷于研究圓錐曲線是與倍立方問題有關(guān)，或者與日晷有關(guān)，日晷是古代的一種利用日影定時(shí)的儀器。圓錐曲線研究的集大成者是亞歷山大圖書館的學(xué)者阿波羅尼奧斯（約公元前262-約前190），他的巨著《圓錐曲線論》對(duì)后世產(chǎn)生了很大的影響，并啟發(fā)笛卡爾發(fā)明了直角坐標(biāo)系。這部巨著共分8卷，含487個(gè)命題，前4卷是基礎(chǔ)部分，后四卷是拓展，但最后一卷遺失了。《圓錐曲線論》這部書的思想非常深刻，但因?yàn)闆]有更多地使用數(shù)學(xué)符號(hào)和公式，特別是沒有給出用于直觀解釋的圖形，使人難以理解，現(xiàn)在書中的圖形大多是后人根據(jù)書中的闡述補(bǔ)加的。
與歐幾里得的《原理》一樣，《圓錐曲線論》開宗明義給出了書中要討論對(duì)象的定義，但阿波羅尼奧斯遠(yuǎn)沒有歐幾里得表達(dá)得清晰。關(guān)于圓錐的定義，參見圖（1）
圖（1）直圓錐
我們歸納如下：
對(duì)于給定圓心為O的圓，及圓所在平面外的一點(diǎn)A，連接點(diǎn)A與圓周上任意一點(diǎn)B，并向兩端延長(zhǎng)得到一條直線，稱這條直線為母線。以固定點(diǎn)A為軸心，令母線沿圓周轉(zhuǎn)動(dòng)一圈回到點(diǎn)B，則母線的運(yùn)動(dòng)軌跡就得到兩個(gè)曲面，稱之為圓錐曲面。稱A為圓錐的頂點(diǎn)，給定的圓為圓錐的底；如果AO垂直于底，稱這個(gè)圓錐為直圓錐，否則稱為斜圓錐。
如果用一個(gè)平面去截這個(gè)圓錐，因?yàn)槠矫媾c母線之間的夾角不同在圓錐曲線上可能截出不同的曲線，但就類型而言，可以得到三種曲線，統(tǒng)稱為圓錐曲線。如果平面只與兩個(gè)曲面的一個(gè)相交，那么分兩種情況：平面與曲面截出一條開放曲線，即平面與母線都相交，則稱這條曲線為拋物線。如果平面與兩個(gè)曲面都相交，那么，平面與曲面截出兩條對(duì)稱的開放曲線，則稱這兩條曲線為雙曲線。這三種圓錐曲線的名字都是阿波羅尼奧斯給出的，沿用至今。其中，橢圓英文為ellipse，源于希臘語ελλετΨ?，意為“不足”“缺乏”，可以直譯為“虧曲線”；雙曲線英文為hyperbola，源于希臘語νπερβоλη，意為“優(yōu)越”“超越”，亞里士多德曾經(jīng)用過這個(gè)詞，指天體與地平線的角距，在這里可以直譯為“盈曲線”；拋物線英文為parabola，源于希臘語παραβоλη，意為“并列”“相對(duì)照”柏拉圖曾經(jīng)用過這個(gè)詞，指兩個(gè)天體處同一經(jīng)線，在這里可以直譯為“齊曲線”。
圓錐曲線論
阿波羅尼奧斯給出了這三種圓錐曲線的方程，我們知道，要把曲線的方程闡述清楚就必須利用坐標(biāo)。下面以橢圓為例進(jìn)行說明，這是在《圓錐曲線論》第1卷中命題13所討論的，我們用現(xiàn)代語言和符號(hào)來闡述。設(shè)橢圓曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為x和y（書中沒有明確給出坐標(biāo)的定義，但已經(jīng)明確地利用了坐標(biāo)地思想），利用平行線和相似三角形地性質(zhì)，可以得到下面的方程
y2=px-px2/2a (1)
其中，p為焦距，a為橢圓長(zhǎng)軸的一半。阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》第3卷中又專門討論了橢圓和雙曲線焦點(diǎn)的性質(zhì)，得知p=2b2/a，其中b為橢圓短軸的一半。代入（1）式可以得到
y2/b2=2x/a-x2/a2 (2)
注意到，阿波羅尼奧斯得到上述結(jié)論，是把坐標(biāo)的原點(diǎn)設(shè)定在橢圓的長(zhǎng)軸的一端，如果把坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)定在長(zhǎng)軸的中心，即把x變?yōu)閤+a，則（2）式為
y2/b2=2(x+a)/a-(x+a)2/a2
整理以后就可以得到現(xiàn)代數(shù)學(xué)教科書中橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
x2/a2+y2/b2=1
阿波羅尼奧斯得到的雙曲線方程和拋物線方程分別為
y2=px+px2/2a (3)
和
y2=px (4)
利用上面處理橢圓方程的方法，可以類似地得到現(xiàn)代意義上的雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。我們把（1）式和（3）式分別與（4）式比較，就可以知道阿波羅尼奧斯為什么把橢圓曲線叫做虧曲線，把雙曲線叫做盈曲線，把拋物線叫做齊曲線。
下面，我們進(jìn)一步討論橢圓曲線。在現(xiàn)代的教科書中關(guān)于橢圓的定義為：
平面上，到兩個(gè)點(diǎn)的距離之和為一個(gè)常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡。
這個(gè)定義是1579年，由意大利數(shù)學(xué)家蒙地（1545-1607）給出的，事實(shí)上，阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中已經(jīng)證明了這個(gè)結(jié)果。
比利時(shí)數(shù)學(xué)家丹德林（1794-1847）利用兩個(gè)球給出了上述命題的一個(gè)非常直觀的證明，后來人們稱其為丹德林球。如圖（2）所示
圖（2） 橢圓定義的直觀解釋
在一個(gè)正圓錐中先放入一個(gè)小球，設(shè)這個(gè)小球與圓錐面相切得到的圓為ω；然后斜放入一個(gè)平面，設(shè)這個(gè)平面與圓錐面相交得到的曲線為α,同時(shí)，與小球的切點(diǎn)為O；最后放入一個(gè)大球，設(shè)這個(gè)大球與圓錐面相切得到的圓為ω’，與斜平面的切點(diǎn)為O’。很顯然，圓ω所在平面與圓ω’所在平面是平行的。在曲線α上任取一點(diǎn)C，因?yàn)榍蛲庖稽c(diǎn)到球的切線均相等，因此CA=CO,CB=CO’，即點(diǎn)C到兩個(gè)切點(diǎn)O和O’的距離之和總為一個(gè)常數(shù)，因此曲線α為一個(gè)橢圓，O和O’為焦點(diǎn)。
在上面的討論中我們已經(jīng)看到了解析幾何的影子，但真正引發(fā)笛卡爾開始思考坐標(biāo)系的是所謂“3條或4條直線的軌跡”的問題，阿波羅尼奧斯《圓錐曲線論》的第3卷的后半部分專門討論了這個(gè)問題，問題可以描述如下：
“在平面上給定三條直線，令一動(dòng)點(diǎn)到其中一條直線距離的平方，與到另外兩條直線距離的積成正比，求這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡”
如果給定的是四條直線，那么，把到一條直線距離的平方改為到兩條直線距離的積。阿波羅尼奧斯用幾何的方法研究了這個(gè)問題，證明了這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線，并為自己能得到這個(gè)結(jié)論而感到驕傲，他的那本名著的序言中說：
“第3卷包含許多......令人不可思議的和最完美的定理，其中絕大部分都是新的，而且當(dāng)我們掌握這些時(shí)便知道，歐幾里得未曾作出的三線和四線軌跡，只有它的偶然的部分才被不很愉快地解出，因?yàn)闆]有我們所發(fā)現(xiàn)地事實(shí)它們就不可能被圓滿解出”
幾百年后，亞歷山大圖書館晚期地?cái)?shù)學(xué)家帕斯（約300-350）把這個(gè)問題推廣到四條以上直線和任意給定角，后來人們稱這樣的問題為帕斯問題。笛卡爾對(duì)帕斯問題很感興趣，正是在解決這個(gè)問題的過程中笛卡爾萌發(fā)了建立坐標(biāo)系的構(gòu)想，最終發(fā)明了解析幾何。
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