一、知識導(dǎo)學(xué)
1．橢圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點距離之和等于定長（定長大于兩定點間的距離）的動點的軌跡
2．橢圓的標準方程：
，
（
）
3
橢圓的第二定義
:一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個
內(nèi)常數(shù)
，那么這個點的軌跡叫做橢圓
其中定點叫做焦點，定直線叫做準線，常數(shù)
就是離心率
橢圓的第二定義與第一定義是等價的，它是橢圓兩種不同的定義方式
4．橢圓的準線方程
對于
，左準線
；右準線
對于
，下準線
；上準線
5.焦點到準線的距離
（焦參數(shù)）
橢圓的準線方程有兩條，這兩條準線在橢圓外部，與短軸平行，且關(guān)于短軸對稱
6
橢圓的參數(shù)方程
7．雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩定點
的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于
）的動點的軌跡叫雙曲線
即
這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距
8．雙曲線的標準方程及特點：
（1）雙曲線的標準方程有焦點在x軸上和焦點y軸上兩種：
焦點在
軸上時雙曲線的標準方程為：
(
,
)；
焦點在
軸上時雙曲線的標準方程為：
(
,
)
(2)
有關(guān)系式
成立，且
其中
與b的大小關(guān)系:可以為
9
焦點的位置:從橢圓的標準方程不難看出橢圓的焦點位置可由方程中含字母
、
項的分母的大小來確定，分母大的項對應(yīng)的字母所在的軸就是焦點所在的軸
而雙曲線是根據(jù)項的正負來判斷焦點所在的位置，即
項的系數(shù)是正的，那么焦點在
軸上；
項的系數(shù)是正的，那么焦點在
軸上
10．雙曲線的幾何性質(zhì)：
（1）范圍、對稱性
由標準方程
，從橫的方向來看，直線x=-
,x=
之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線
雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心
（2）頂點
頂點：
，特殊點：
實軸：
長為2
,
叫做半實軸長
虛軸：
長為2b，b叫做虛半軸長
雙曲線只有兩個頂點，而橢圓則有四個頂點，這是兩者的又一差異
（3）漸近線
過雙曲線
的漸近線
（
）
（4）離心率
雙曲線的焦距與實軸長的比
，叫做雙曲線的離心率
范圍：
雙曲線形狀與e的關(guān)系：
，e越大，即漸近線的斜率的絕對值就大，這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊
由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊
11． 雙曲線的第二定義：到定點F的距離與到定直線
的距離之比為常數(shù)
的點的軌跡是雙曲線
其中，定點叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線
常數(shù)e是雙曲線的離心率．
12．雙曲線的準線方程：
對于
來說，相對于左焦點
對應(yīng)著左準線
，相對于右焦點
對應(yīng)著右準線
；
焦點到準線的距離
（也叫焦參數(shù)）
對于
來說，相對于上焦點
對應(yīng)著上準線
；相對于下焦點
對應(yīng)著下準線
拋物線
圖形
方程
焦點
準線
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拋物線定義：
平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線
的距離相等的點的軌跡叫做拋物線
定點F叫做拋物線的焦點，定直線
叫做拋物線的準線
二、疑難知識導(dǎo)析
橢圓、雙曲線、拋物線同屬于圓錐曲線，它們的定義、標準方程及其推導(dǎo)過程以及簡單的幾何性質(zhì)都存在著相似之處，也有著一定的區(qū)別,因此，要準確地理解和掌握三種曲線的特點以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系
1．等軸雙曲線
定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線
等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：
；（2）漸近線互相垂直；（3）離心率
2．共漸近線的雙曲線系
如果已知一雙曲線的漸近線方程為
，那么此雙曲線方程就一定是：
或?qū)懗?div id="fbwnfa5u" class='imgcenter'>
3．共軛雙曲線
以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線
雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在同一圓上
確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變?yōu)?1
4．拋物線的幾何性質(zhì)
（1）范圍
因為p＞0，由方程
可知，這條拋物線上的點M的坐標(x，y)滿足不等式x≥0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．
（2）對稱性
以－y代y，方程
不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．
（3）頂點
拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點．在方程
中，當(dāng)y=0時，x=0，因此拋物線
的頂點就是坐標原點．
（4）離心率
拋物線上的點M與焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示．由拋物線的定義可知，e=1．
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拋物線的焦半徑公式：
拋物線
，
拋物線
，
拋物線
，
拋物線
，
三、經(jīng)典例題導(dǎo)講
[例1]設(shè)雙曲線的漸近線為：
，求其離心率.
錯解：由雙曲線的漸近線為：
，可得：
，從而
剖析：由雙曲線的漸近線為
是不能確定焦點的位置在x軸上的，當(dāng)焦點的位置在y軸上時，
，故本題應(yīng)有兩解，即：
或
.
［例2］設(shè)點P(x,y)在橢圓
上，求
的最大、最小值.
錯解：因
∴
，得：
，同理得：
，故
∴最大、最小值分別為3,-3.
剖析：本題中x、y除了分別滿足以上條件外，還受制約條件
的約束.當(dāng)x=1時,y此時取不到最大值2,故x+y的最大值不為3.其實本題只需令
，則
，故其最大值為
，最小值為
.
［例3］已知雙曲線的右準線為
，右焦點
,離心率
,求雙曲線方程.
錯解一：
故所求的雙曲線方程為
錯解二： 由焦點
知
故所求的雙曲線方程為
錯因： 這兩個解法都是誤認為雙曲線的中心在原點，而題中并沒有告訴中心在原點這個條件。由于判斷錯誤，而造成解法錯誤。隨意增加、遺漏題設(shè)條件，都會產(chǎn)生錯誤解法.
解法一： 設(shè)
為雙曲線上任意一點，因為雙曲線的右準線為
，右焦點
，離心率
，由雙曲線的定義知
整理得
解法二： 依題意，設(shè)雙曲線的中心為
,
則
解得
,所以
故所求雙曲線方程為
［例4］設(shè)橢圓的中心是坐標原點，長軸
在軸上，離心率
，已知點
到這個橢圓上的最遠距離是
，求這個橢圓的方程.
錯解：依題意可設(shè)橢圓方程為
則
，
所以
，即
設(shè)橢圓上的點
到點
的距離為
，
則
所以當(dāng)
時，
有最大值，從而
也有最大值。
所以
，由此解得：
于是所求橢圓的方程為
錯因：盡管上面解法的最后結(jié)果是正確的，但這種解法卻是錯誤的。結(jié)果正確只是碰巧而已。由當(dāng)
時，
有最大值，這步推理是錯誤的，沒有考慮
到的取值范圍.事實上，由于點
在橢圓上，所以有
，因此在求
的最大值時，應(yīng)分類討論.
正解：若
，則當(dāng)
時，
（從而
）有最大值.
于是
從而解得
.
所以必有
，此時當(dāng)
時，
（從而
）有最大值，
所以
，解得
于是所求橢圓的方程為
［例5］從橢圓
,(
>b>0)上一點M向x軸所作垂線恰好通過橢圓的左焦點F1，A、B分別是橢圓長、短軸的端點，AB∥OM
設(shè)Q是橢圓上任意一點，當(dāng)QF2⊥AB時，延長QF2與橢圓交于另一點P，若⊿F1PQ的面積為20
，求此時橢圓的方程
解：本題可用待定系數(shù)法求解
∵b=c,
=
c，可設(shè)橢圓方程為
∵PQ⊥AB,∴kPQ=-
，則PQ的方程為y=
(x-c)，
代入橢圓方程整理得5x2-8cx+2c2=0，
根據(jù)弦長公式，得
,
又點F1到PQ的距離d=
c
∴
,由
故所求橢圓方程為
［例6］已知橢圓：
，過左焦點F作傾斜角為
的直線交橢圓于A、B兩點，求弦AB的長
解：a=3,b=1,c=2
; 則F（-2
，0）
由題意知：
與
聯(lián)立消去y得：
設(shè)A（
、B（
，則
是上面方程的二實根，由違達定理，
，
又因為A、B、F都是直線
上的點，
所以|AB|=
點評：也可利用“焦半徑”公式計算
［例7］（06年全國理科）設(shè)P是橢圓
短軸的一個端點，Q為橢圓上的一個動點，求｜PQ｜的最大值.
解： 依題意可設(shè)P（0,1），Q（
），則｜PQ｜＝
，又因為Q在橢圓上，所以，
，｜PQ｜2＝
＝
＝
.
因為
≤1，
＞1，若
≥
，則
≤1，當(dāng)
時，｜PQ｜取最大值
；若1＜
＜
，則當(dāng)
時，｜PQ｜取最大值2.
［例8］已知雙曲線的中心在原點，過右焦點F（2，0）作斜率為
的直線，交雙曲線于M、N 兩點，且
=4，求雙曲線方程
解：設(shè)所求雙曲線方程為
，由右焦點為（2，0）
知C=2，b2=4-
2
則雙曲線方程為
，設(shè)直線MN的方程為：
，代入雙曲線方程整理得：(20-8
2)x2+12
2x+5
4-32
2=0
設(shè)M（x1,y1）,N(x2,y2),則
，
解得
，
故所求雙曲線方程為：
點評：利用待定系數(shù)法求曲線方程，運用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系將兩根之和與積整體代入，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體思想，也簡化了計算，要求學(xué)生熟練掌握
四、典型習(xí)題導(dǎo)練
1. 設(shè)雙曲線
兩焦點為F1、F2,點Q為雙曲線上除頂點外的任一點,過F1作∠F1QF2的平分線的垂線,垂足為P,則點P的軌跡是 ?。?nbsp; ）
A.橢圓的一部分 B.雙曲線的一部分
C.拋物線的一部分 D.圓的一部分.
2．已知點(-2，3)與拋物線y2=2px(p＞0)的焦點 的距離是5，則p= .
3.平面內(nèi)有兩定點
上，求一點P使
取得最大值或最小值，并求出最大值和最小值.
4.已知橢圓
的離心率為
.（1）若圓（x-2）2+(y-1)2=
與橢圓相交于A、B兩點且線段AB恰為圓的直徑，求橢圓方程；（2）設(shè)L為過橢圓右焦點F的直線，交橢圓于M、N兩點，且L的傾斜角為600，求
的值.
5.已知拋物線方程為
，直線
過拋物線的焦點F且被拋物線截得的弦長為3，求p的值．
6.線段AB過x軸正半軸上一點M（m,0）（m>0），端點A、B到x軸距離之積為
，以x軸為對稱軸，過A，O，B三點作拋物線
（1）求拋物線方程；
（2）若
的取值范圍
