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1.圓錐曲線的兩個定義：

　（1）第一定義中要重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點

的距離的和等于常數(shù)2a，且此常數(shù)2a一定要大于

，當常數(shù)等于

時，軌跡是線段

，當常數(shù)小于

時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點

的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a，且此常數(shù)2a一定要小于

，定義中的“絕對值”與

不可忽視。若

，則軌跡是以

為端點的兩條射線，若

，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。比如：
①已知定點

，在滿足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是
A．

B．

C．

D．

（答：C）；
②方程

表示的曲線是_____（答：雙曲線的左支）
?。?）第二定義中要注意定點和定直線是相應(yīng)的焦點和準線，且“點點距為分子、點線距為分母”，其商即是離心率e。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應(yīng)準線距離間的關(guān)系，要善于運用第二定義對它們進行相互轉(zhuǎn)化。
如已知點

及拋物線

上一動點P（x,y）,則y+|PQ|的最小值是_____（答：2）

2.圓錐曲線的標準方程（標準方程是指中心（頂點）在原點，坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程）：
　
（1）橢圓：焦點在x軸上時

（參數(shù)方程，其中

為參數(shù)），焦點在y軸上時

。方程

表示橢圓的充要條件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同號，A≠B）。比如：已知方程

表示橢圓，則k的取值范圍為____（答：

）；
　（2）雙曲線：焦點在x軸上：

，焦點在y軸上：

。方程

表示雙曲線的充要條件是什么？（ABC≠0，且A，B異號）。比如：雙曲線的離心率等于

，且與橢圓

有公共焦點，則該雙曲線的方程_______（答：

）；
?。?）拋物線：開口向右時

，開口向左時

，開口向上時

，開口向下時

。

3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然后再判斷）：
?。?）橢圓：由

分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。
　　如已知方程

表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是__（答：

）
?。?）雙曲線：由

項系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐標軸上；
　（3）拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。
　特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點

位置，焦點、的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標準方程的類型，而方程中的兩個參數(shù)a,b，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向；（2）在橢圓中，a最大，

，在雙曲線中，c最大，

。

4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：
　（1）橢圓（以

為例）：①范圍：

；②焦點：兩個焦點

；③對稱性：兩條對稱軸x=0,y=0，一個對稱中心（0,0），四個頂點

，其中長軸長為2a，短軸長為2b；④準線：兩條準線

； ⑤離心率：

，橢圓

，e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。
比如：若橢圓

的離心率

，則m的值是__（答：3或

）；
?。?）雙曲線（以

為例）：①范圍：

；②焦點：兩個焦點

；③對稱性：兩條對稱軸x=0,y=0，一個對稱中心（0,0），兩個頂點

，其中實軸長為2a，虛軸長為2b，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為

；④準線：兩條準線

； ⑤離心率：

，雙曲線

，等軸雙曲線

，e越小，開口越小，e越大，開口越大；⑥兩條漸近線：

。
比如：雙曲線的漸近線方程是

，則該雙曲線的離心率等于______（答：

或

）；
?。?）拋物線（以

為例）：①范圍：

；②焦點：一個焦點

，其中p的幾何意義是：焦點到準線的距離；③對稱性：一條對稱軸y=0，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）；④準線：一條準線

； ⑤離心率：

，拋物線

。
　如設(shè)

，則拋物線

的焦點坐標為________（答：

）；

5、點

和橢圓

的關(guān)系：
（1）點

在橢圓外

；
（2）點

在橢圓上

；
（3）點

在橢圓內(nèi)

6．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：
（1）相交：

直線與橢圓相交；

直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有

，當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故

是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；

直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有

，當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故

也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。
比如：若直線y=kx+2與雙曲線

的右支有兩個不同的交點，則k的取值范圍是_______（答：

）；
（2）相切：

直線與橢圓相切；

直線與雙曲線相切；

直線與拋物線相切；
（3）相離：

直線與橢圓相離；

直線與雙曲線相離；

直線與拋物線相離。

特別提醒：
?。?）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點；
?。?）過雙曲線

外一點

的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：①P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；④P為原點時不存在這樣的直線；
?。?）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。比如：
　?、龠^點(2,4)作直線與拋物線

只有一個公共點，這樣的直線有______（答：2）；
　?、趯τ趻佄锞€C：

，我們稱滿足

的點

在拋物線的內(nèi)部，若點

在拋物線的內(nèi)部，則直線

：

與拋物線C的位置關(guān)系是_______（答：相離）； ③求橢圓

上的點到直線

的最短距離（答：

）；[要學習網(wǎng),只做中學生最喜歡、最實用的學習論壇，地址 www.yaoxuexi.cn 手機版地址 wap.yaoxuexi.cn]

7、焦半徑（圓錐曲線上的點P到焦點F的距離）的計算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準線的距離，即焦半徑r=ed，其中d表示P到與F所對應(yīng)的準線的距離。比如：
?、僖阎獧E圓

上一點P到橢圓左焦點的距離為3，則點P到右準線的距離為____（答：

）；
　②橢圓

內(nèi)有一點p(1,-1)，F(xiàn)為右焦點，在橢圓上有一點M，使

之值最小，則點M的坐標為_______（答：

）

8、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形）問題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。設(shè)橢圓或雙曲線上的一點

到兩焦點

的距離分別為

，焦點

的面積為

，則在橢圓

中， ①

，且當

即P為短軸端點時，

最大為

；②

，當

即P為短軸端點時，

的最大值為bc；對于雙曲線

的焦點三角形有：①

；②

。
比如：短軸長為

，離心率

的橢圓的兩焦點為

，過

作直線交橢圓于A、B兩點，則

的周長為________（答：6）；

9、拋物線中與焦點弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切；（2）設(shè)AB為焦點弦， M為準線與x軸的交點，則∠AMF＝∠BMF；（3）設(shè)AB為焦點弦，A、B在準線上的射影分別為

，若P為

的中點，則PA⊥PB；（4）若AO的延長線交準線于C，則BC平行于x軸，反之，若過B點平行于x軸的直線交準線于C點，則A，O，C三點共線。
10、弦長公式：若直線

與圓錐曲線相交于兩點A、B，且

分別為A、B的橫坐標，則

，若

分別為A、B的縱坐標，則

，若弦AB所在直線方程設(shè)為

，則

。特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。
比如：過拋物線

焦點的直線交拋物線于A、B兩點，已知|AB|=10，O為坐標原點，則ΔABC重心的橫坐標為_______（答：3）；

11、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓

中，以

為中點的弦所在直線的斜率

；在雙曲線

中，以

為中點的弦所在直線的斜率

；在拋物線中，以

為中點的弦所在直線的斜率。
比如：如果橢圓

弦被點A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是（答：

）；
12．你了解下列結(jié)論嗎？
（1）雙曲線

的漸近線方程為

；
（2）以

為漸近線（即與雙曲線

共漸近線）的雙曲線方程為

（

為參數(shù)，

≠0）。
（3）中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為

；
（4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）為

，焦準距（焦點到相應(yīng)準線的距離）為

，拋物線的通徑為2p，焦準距為p；
（5）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；
（6）若拋物線

的焦點弦為AB，

，則①

；②

（7）若OA、OB是過拋物線

頂點O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過定點(2p,0)

13．動點軌跡方程：
（1）求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點、列式、化簡、確定點的范圍；
（2）求軌跡方程的常用方法：
　　 ①直接法：直接利用條件建立x,y之間的關(guān)系F(x,y)=0；
　　如已知動點P到定點F(1,0)和直線x=3的距離之和等于4，求P的軌跡方程．（答：

或

）；
　　 ②待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程――先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。
　　如線段AB過x軸正半軸上一點M（m，0）(m>0)，端點A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三點作拋物線，則此拋物線方程為（答：

）；[要學習網(wǎng),只做中學生最喜歡、最實用的學習論壇，地址 www.yaoxuexi.cn 手機版地址 wap.yaoxuexi.cn]
　 ③定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；
　　如點M與點F(4,0)的距離比它到直線

的距離小于1，則點M的軌跡方程是_______ （答：

）；
　?、艽朕D(zhuǎn)移法：動點P(x,y)依賴于另一動點

的變化而變化，并且

又在某已知曲線上，則可先用x,y的代數(shù)式表示

，再將

代入已知曲線得要求的軌跡方程；
　　如動點P是拋物線

上任一點，定點為A(0,-1),點M分

所成的比為2，則M的軌跡方程為__________（答：

）；
⑤參數(shù)法：當動點P(x,y)坐標之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考慮將x,y均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）。
　　如若點

在圓

上運動，則點

的軌跡方程是____（答：

）；
注意：①如果問題中涉及到平面向量知識，那么應(yīng)從已知向量的特點出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化。
　　如已知橢圓

的左、右焦點分別是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足

點P是線段

與該橢圓的交點，點T在線段

上，并且滿足

（1）設(shè)x為點P的橫坐標，證明

；（2）求點T的軌跡C的方程；（3）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使△F1MF2的面積S=

若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由. （答：（1）略；（2）

；（3）當

時不存在；當

時存在，此時∠F1MF2＝2）

　
　?、谇€與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時應(yīng)注意軌跡上特殊點對軌跡的“完備性與純粹性”的影響.
　?、墼谂c圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合(如角平分線的雙重身份――對稱性、利用到角公式)、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.
　?、苋绻谝粭l直線上出現(xiàn)“三個或三個以上的點”，那么可選擇應(yīng)用“斜率或向量”為橋梁轉(zhuǎn)化.

14、解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容：　
?。?）給出直線的方向向量

；
?。?）給出

與AB相交,等于已知

過AB的中點;
?。?）給出

,等于已知P是MN的中點;
　（4）給出

,等于已知P,Q與AB的中點三點共線;
（5）給出以下情形之一：①

；②存在實數(shù)

；③若存在實數(shù)

,等于已知A,B,C三點共線
　（6）給出

，等于已知P是

的定比分點，

為定比，即

　（7）給出

,等于已知

,即

是直角,給出

,等于已知

是鈍角, 給出

,等于已知

是銳角。
　（8）給出

,等于已知MP是

的平分線;
　（9）在平行四邊形ABCD中，給出

，等于已知ABCD是菱形;
　（10）在平行四邊形ABCD中，給出

，等于已知ABCD是矩形;
　（11）在△ABC中，給出

，等于已知O是△ABC的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；
（12）在△ABC中，給出

，等于已知O是△ABC的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）；
　（13）在△ABC中，給出

，等于已知O是△ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；
　（14）在△ABC中，給出

等于已知

通過△ABC的內(nèi)心；
　（15）在△ABC中，給出

等于已知O是△ABC的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點）；
　（16）在△ABC中，給出

,等于已知AD是△ABC中BC邊的中線

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