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　　豎直平面內(nèi)的圓周運動一般是變速圓周運動(帶電粒子在勻強磁場中運動除外)，運動的速度大小和方向在不斷發(fā)生變化，運動過程復(fù)雜，合外力不僅要改變運動方向，還要改變速度大小，所以一般不研究任意位置的情況，只研究特殊的臨界位置──最高點和最低點。

 

　　一、兩類模型——輕繩類和輕桿類

 

　　1．輕繩類。運動質(zhì)點在一輕繩的作用下繞中心點作變速圓周運動。由于繩子只能提供拉力而不能提供支持力，質(zhì)點在最高點所受的合力不能為零，合力的最小值是物體的重力。所以：（1）質(zhì)點過最高點的臨界條件：質(zhì)點達最高點時繩子的拉力剛好為零，質(zhì)點在最高點的向心力全部由質(zhì)點的重力來提供，這時有

，式中的

是小球通過最高點的最小速度，叫臨界速度；（2）質(zhì)點能通過最高點的條件是

；（3）當(dāng)質(zhì)點的速度小于這一值時，質(zhì)點運動不到最高點高作拋體運動了；（4）在只有重力做功的情況下，質(zhì)點在最低點的速度不得小于

，質(zhì)點才能運動過最高點；（5）過最高點的最小向心加速度

。

 

 

　　2．輕桿類。運動質(zhì)點在一輕桿的作用下，繞中心點作變速圓周運動，由于輕桿能對質(zhì)點提供支持力和拉力，所以質(zhì)點過最高點時受的合力可以為零，質(zhì)點在最高點可以處于平衡狀態(tài)。所以質(zhì)點過最高點的最小速度為零，（1）當(dāng)

時，輕桿對質(zhì)點有豎直向上的支持力，其大小等于質(zhì)點的重力，即

；（2）當(dāng)

時，

；（3）當(dāng)

，質(zhì)點的重力不足以提供向心力，桿對質(zhì)點有指向圓心的拉力；且拉力隨速度的增大而增大；（4）當(dāng)

時，質(zhì)點的重力大于其所需的向心力，輕桿對質(zhì)點的豎直向上的支持力，支持力隨

的增大而減小，

；（5）質(zhì)點在只有重力做功的情況下，最低點的速度

，才能運動到最高點。過最高點的最小向心加速度

。

 

　　過最低點時，輕桿和輕繩都只能提供拉力，向心力的表達式相同，即

，向心加速度的表達式也相同，即

。質(zhì)點能在豎直平面內(nèi)做圓周運動（輕繩或輕桿）最高點的向心力

最低點的向心力

，由機械能守恒

，質(zhì)點運動到最低點和最高點的向心力之差

，向心加速度大小之差也等于

。

 

　　二、可化為這兩類模型的圓周運動

 

　　豎直平面內(nèi)的圓周運動一般可以劃分為這兩類，豎直（光滑）圓弧內(nèi)側(cè)的圓周運動，水流星的運動，過山車運動等，可化為豎直平面內(nèi)輕繩類圓周運動；汽車過凸形拱橋，小球在豎直平面內(nèi)的（光滑）圓環(huán)內(nèi)運動，小球套在豎直圓環(huán)上的運動等，可化為輕豎直平面內(nèi)輕桿類圓周運動。

 

　　三、水流星運動中過最高點的速度和水不流出速度的區(qū)別

 

　　水流星是一種雜技表演，表演者在兩個碗里裝上水，用繩子系住碗，然后在豎直平面內(nèi)舞動，碗中的水和碗一起作圓周運動，水不從碗中流出來。水流星在豎直平面內(nèi)作圓周運動過最高點的臨界條件是滿足輕繩類圓周運動，很多參考書就把這個速度當(dāng)作是水不流出的最小速度，其實這種理解是不正確的。我們不能把這當(dāng)作是水不流出的條件，這是因為當(dāng)

不但水不能做圓周運動，碗也不能做圓周運動，即是

，當(dāng)碗運動到最高點之前就做斜拋運動了，碗中的水也隨之作斜拋運動，在斜拋運動中，水和碗都處于完全失重狀態(tài)，水也不從碗中流出。所以不能把

當(dāng)作是水不流出的條件。

 

　　四、例子講解

 

　　例1（07年全國2）如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的光滑有軌道，由一段斜的直軌道與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道的半徑為R。一質(zhì)量為m的小物塊從斜軌道上某處由靜止開始下滑，然后沿圓形軌道運動。要求物塊能通過圓形軌道最高點，且在該最高點與軌道間的壓力不能超過5mg（g為重力加速度）。求物塊初始位置相對于圓形軌道底部的高度h的取值范圍。

 

 

　　解：設(shè)物塊在圓形軌道最高點的速度為v，由機械能守恒定律得

 

　　mgh＝2mgR＋

mv²                            ①

 

　　物塊在最高點受的力為重力mg、軌道的壓力N。重力與壓力的合力提供向心力，有

 

　　mg＋N＝m

                                  ②

 

　　物塊能通過最高點的條件是

 

　　N≥0                                          ③

 

　　由②③式得

 

　　V≥

                                       ④

 

　　由①④式得

 

　　H≥2．5R                                        ⑤

 

　　按題的需求，N＝5mg，由②式得

 

　　V＜

                                      ⑥

 

　　由①⑥式得

 

　　h≤5R                                          ⑦

 

　　h的取值范圍是2．5R≤h≤5R                                 

 

　　例2  如圖所示光滑管形圓軌道半徑為R（管徑遠小于R）固定，小球a、b大小相同，質(zhì)量相同，均為m，其直徑略小于管徑，能在管中無摩擦運動．兩球先后以相同速度v通過軌道最低點，且當(dāng)小球a在最低點時，小球b在最高點，以下說法正確的是（    ）

 

　　A．速度v至少為

，才能使兩球在管內(nèi)做圓周運動

 

　　B．當(dāng)v=

時，小球b在軌道最高點對軌道無壓力

 

　　C．當(dāng)小球b在最高點對軌道無壓力時，小球a比小球b所需向心力大5mg

 

　　D．只要v≥

，小球a對軌道最低點壓力比小球b對軌道最高點壓力都大6mg

 

　　解：內(nèi)管可以對小球提供支持力，可化為輕桿模型，在最高點時，小球速度可以為零，由機械能守恒知

得

，所以A錯，

得

，此時

即重力剛好能提供向心力，小球?qū)壍罒o壓力。最低點時的向心力為5mg，向心力相差4倍，B對，C錯，最高點

，最低點

 

　　由機械能守恒有

，所以

，D對。

 

　　例3（06重慶）如圖，半徑為R的光滑圓形軌道固定在豎直面內(nèi)。小球A、B質(zhì)量分別為m、βm（β為待定系數(shù)）。A球從工邊與圓心等高處由靜止開始沿軌道下滑，與靜止于軌道最低點的B球相撞，碰撞后A、B球能達到的最大高度均為

，碰撞中無機械能損失。重力加速度為g。試求：

　?。?span>1）待定系數(shù)β；

 

　?。?span>2）第一次碰撞剛結(jié)束時小球A、B各自的速度和B球?qū)壍赖膲毫Γ?/span>

 

　　（3）小球A、B在軌道最低處第二次碰撞剛結(jié)束時各自的速度，并討論小球A、B在軌道最低處第n次碰撞剛結(jié)束時各自的速度。

 

　　解：（1）由mgR＝

+得β＝3

 

　?。?span>2）設(shè)A、B碰撞后的速度分別為v_1、v₂，則

 

　　

   設(shè)向右為正、向左為負(fù)，解得

 

　　v₁＝

，方向向左     v₂＝

，方向向右

 

　　設(shè)軌道對B球的支持力為N，B球?qū)壍赖膲毫?i>N ^/，方向豎直向上為正、向下為則　N－βmg＝

N ^/＝－N＝－4．5mg，方向豎直向下。

 

　?。?span>3）設(shè)A、B球第二次碰撞剛結(jié)束時的速度分別為V_1．V₂，則

 

　　

 

　　解得：V₁＝－

，V₂＝0

 

　　（另一組：V₁＝－v₁，V₂＝－v₂，不合題意，舍去）

 

　　由此可得：

 

　　當(dāng)n為奇數(shù)時，小球A、B在第n次碰撞剛結(jié)束時的速度分別與第一次碰撞剛結(jié)束時相同

 

　　當(dāng)n為偶數(shù)時，小球A、B在第n次碰撞剛結(jié)束時的速度分別與第二次碰撞剛結(jié)束時相同。