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銀行貸款的還款方式有等額本金法和等額本息法，它們各有什么利弊？哪一種還款方式利息多？每個(gè)月的還款額怎么計(jì)算？這篇文章通過數(shù)學(xué)計(jì)算告訴你！

經(jīng)過多年的改革開放，人們的消費(fèi)觀念有了很大的變化。越來越多的人需要買房、買車，有的人還需要投資，錢不夠怎么辦？向銀行貸款就成為很普遍的事情。

貸款就要還款，不但要還本金，還要付利息。

一般來講，利息是按照利率來計(jì)算的，比如：向銀行貸款30萬元，也就是欠了銀行30萬元。如果月利為0.2%，每月就要付利息300000×0.2% =600（元）。

假定貸款30萬元的期限是10年，一共是120個(gè)月。一種還款方式是等額本金法：將30萬元的本金平均分到120個(gè)月去歸還，每月歸還300000÷120=2500（元）。除了每月歸還本金2500元，還需付利息。

第1月，由于還沒開始?xì)w還本金，應(yīng)當(dāng)按照欠銀行30萬元來計(jì)算利息，應(yīng)付利息600元。于是，第1月連本帶利應(yīng)當(dāng)付給銀行2500+600=3100（元）。

第2月，由于已經(jīng)還了2500的本金，還欠銀行本金300000-2500=297500（元），按此計(jì)算利息應(yīng)為297500×0.2% =595（元）。以后，每月歸還本金2500元，欠銀行本金每月減少2500元，應(yīng)付利息每月減少2500×0.2% =5（元）。

第k月欠本金a_k=300000-2500k（元），第k+1月應(yīng)付利息為a_k×0.2%=(300000-2500k)×0.2%=600-5k （元），連本帶利付2500+（600-5k）=3100-5k(元)。

等額本金還款法計(jì)算起來比較容易，但也有問題：由于所欠本金逐月減少，應(yīng)付利息也逐月減少，每月連本帶利付給銀行的金額也逐月減少。每月還錢總額不相等，執(zhí)行起來不夠方便。更重要的是：開始還得多，后來就還得少。貸款者在一開始的還款壓力相當(dāng)大。更何況，貸款者之所以貸款，就是因?yàn)槿卞X，而且往往在開始的時(shí)候更缺錢，這更加重了還款壓力。因此就有另外一些還款方式。其中一種是等額本息法：每月付給銀行的本金和利息的總額始終保持相等。

以下來計(jì)算每月連本帶利應(yīng)當(dāng)付給銀行多少錢，假定這個(gè)數(shù)額為c。我們來看c應(yīng)當(dāng)滿足什么樣的條件，根據(jù)條件列出方程，再解出c來。

由于應(yīng)還本金的總數(shù)30萬固定不變，關(guān)鍵是要算出每個(gè)月應(yīng)付的利息。而每月應(yīng)付的利息是前一個(gè)月末欠銀行本金總額的0.2%。設(shè)第k月欠銀行的本金額為a_k，則a₀就是還款之前欠款總數(shù)，應(yīng)為a₀=300000。第k+1月應(yīng)付利息為0.002a_k，歸還的本金就是c-0.002a_k，于是第k+1月欠款總額a_k+1=a_k-(c-0.002a_k)=1.002a_k-c。

以下根據(jù)數(shù)列a_k滿足的遞推關(guān)系a_k+1=1.002a_k-c求出a_k的通項(xiàng)公式，并選擇適當(dāng)?shù)腸滿足條件a₁₂₀=0。

如果c=0，則滿足條件a_k+1=1.002a_k的數(shù)列｛a_k｝是以1.002為公比的等比數(shù)列?，F(xiàn)在的情況是c>0，我們將數(shù)列｛a_k｝的各項(xiàng)同減去一個(gè)待定常數(shù)λ，使得數(shù)列｛a_k-λ｝=｛a₀-λ，a₁-λ，a₂-λ，……｝成為等比數(shù)列，找出它的通項(xiàng)公式a_k-λ=f(k)，從而得到｛a_k｝的通項(xiàng)公式a_k=f(k)+λ。

令b_k=a_k-λ，則a_k=b_k+λ，代入遞推關(guān)系a_k+1=1.002a_k-c得到：b_k+1+λ=1.002（b_k+λ）-c，即b_k+1=1.002b_k+（0.002λ-c）。只要取 λ 使得0.002λ-c=0，則｛b_k｝是等比數(shù)列。為此，只需λ=500c。

于是｛b_k｝是以1.002為公比的等比數(shù)列，且b₀=a₀-λ=300000-500c，我們有：

b_k=b₀·1.002^k=(300000-500c)·1.002^k，

a_k=(300000-500c)·1.002^k+500c

=300000·1.002^k-500c(1.002^k-1)，

由a₁₂₀=0，可得

一般地，設(shè)向銀行貸款總額為N，貸款時(shí)間為n個(gè)月，月利率為p，則可以同樣的計(jì)算出等額本息每月應(yīng)還款（包括本金與利息）金額為：

第k+1個(gè)月支付利息為d_k+1=(pN-c)(1+p)^k+c，歸還本金為c-d_k+1。

對于以上所舉的具體數(shù)例N=300000元，n=120，p=0.002，按等額本息還款方案付給銀行的總金額為2814.48×120=337737.60元，除去歸還本金300000元，支付利息總額為37737.60元。而按等額本金還款方案，第k+1月支付利息為（600-5k）元，120個(gè)月支付的利息總額為：600+595+…+5=36300（元）

兩者相比較，等額本息還款方案支付的利息更高一些。這是什么道理呢？

在兩種還款方式下，由于逐月歸還本金，所欠銀行本金逐月下除，因而支付的利息逐月下降。

按照等額本金還款方式，每月歸還本金數(shù)額相等。

按照等額本息還款方式，由于每月還款總額不變，隨著支付利息金額逐月下降，歸還本金的數(shù)額逐月增加。

兩種方案都在同樣的時(shí)間120月內(nèi)將本金還完，但是等額本金方式每月歸還同樣多的本金，而等額本息方式開始還得少，以后越還越多。這就意味著，等額本息方式歸還本金總是比等額本金方式還得更慢，從第2個(gè)月開始一直到還款結(jié)束之前的任何一個(gè)月，按等額本息方式所欠銀行的款都比等額本金的方式更多，因此每個(gè)月支付的利息更多。積累起來，當(dāng)然等額本息方式支付的利息總額更多。

下表列出了每月初按兩種還款方案已歸還的本金總額。

由上表可以看出，等客本息方案第一歸還本金2214.48元，比等額本金方式的2500元少。以后等額本息方案歸還的本金雖然逐月增多，但每月已還本金的總額始終比等額本金方式少，一直到最后一個(gè)月（第120月末）趕上。這就意味著，在還款過程中的第一個(gè)月，等額本息方式的欠款都比等額本金方式欠得更多，應(yīng)付的利息也更多。

等額本息方式付的利息更多，是否說明這種方式不好？不是。世界上沒有白吃的午餐，有一利就有一弊。既然向銀行借錢，就是因?yàn)槟闳卞X。不論采用什么還款方式，支付的利息總是在一開始最多，以后逐月減少。為了使貸款都支付的本息總額不至于開始多以后少，就只能讓他歸還的本金由少到多，這就必然導(dǎo)致利息總額增加。帶來的好處就是一開始的時(shí)候還款壓力不至于太大。

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