( 本來是寫成回答的，但是發(fā)現(xiàn)回答無法支持 Markdown 格式 Copy，于是又發(fā)成圖文了！)
問題：形式邏輯和數(shù)學(xué)邏輯有什么區(qū)別嗎？
（遇到感興趣的問題，小石頭總是標(biāo)記一下留在草稿箱里，于是積累的問題就會越來越多。已經(jīng)很長時間注意力都在圖文寫作上了，但最近推薦量太低，實在打擊寫作熱情。自己想一想：反正也沒啥推薦，與其寫要求最高的圖文，還不如這段時間準(zhǔn)備清一清之前積累的回答！）
（這個問題，從去年三月份左右小石頭被邀請到現(xiàn)在，已經(jīng)一年零三個月了，竟然沒有一個人回答，估計大家不敢興趣，但小石頭覺得這是個好問題，感謝題主提問，接下來自己會認真回答的！）
A. 什么是形式邏輯？
邏輯學(xué)研究的對象是：可以區(qū)分正確推理和錯誤推理的方法和原理。那些獨立于意義的、可以在形式上明確區(qū)分正確推理或錯誤推理的部分，就是形式邏輯，而除此之外的都是非形式邏輯。
演繹邏輯 ，例如，
大前提： 人都會死小前提： 蘇格拉底是人 ────────────────結(jié)論： 蘇格拉底會死
和 歸納邏輯 ，例如，前提： 沒有人見過黑天鵝────────────────結(jié)論： 世界上沒有黑天鵝
是人類的兩大邏輯推理模式。
其中 演繹邏輯 可以保證 從 前提 到 結(jié)論 的 有效性，故屬于 形式邏輯，而 大部分歸納邏輯則不能，故 他們不屬于 形式邏輯。
形式邏輯用三大律，確保推理的有效性，
同一律：推理過程中的任何思維形式必須保證確定性和一致性，即，A 是 A；
矛盾律：兩個矛盾命題不能同時為真，即，非 'A 且 非A' ；
排中律：兩個矛盾命題必要有一個是真，即， A 或 非A；
充足理由律：用于論證，論題的 論據(jù) 必須是 真實有效的，即，由 A 和 '若A則B' 可推出 B。
B. 什么是數(shù)學(xué)邏輯？
數(shù)學(xué)邏輯并不是一種邏輯類型，而是指：數(shù)學(xué)所包含的所有邏輯的總和。具體來說，數(shù)學(xué)邏輯有，
首先，數(shù)學(xué)使用的大部分的形式邏輯；
其次，形式邏輯不包含意義，而數(shù)學(xué)還使用部分與數(shù)學(xué)意義相關(guān)的邏輯；
最后，數(shù)學(xué)還反過來成為了研究形式邏輯的工具，也就是說數(shù)學(xué)會去研究邏輯。
也就是說，數(shù)學(xué)邏輯分為：數(shù)學(xué)使用的邏輯（前兩者） 和 數(shù)學(xué)研究的邏輯（后者）。
數(shù)學(xué)的本質(zhì)是，從公理（使用數(shù)學(xué)邏輯）推導(dǎo)出定理的過程。
C. 形式邏輯和數(shù)學(xué)邏輯之間的關(guān)系？
演繹邏輯，分為，古典邏輯 和 現(xiàn)代邏輯 兩個流派，數(shù)學(xué)使用后者。
現(xiàn)代邏輯，具有自己的邏輯語言，
值：F 假，T 真；
運算：? 非，∧與，∨或， →蘊含，?等價，? 恒真， ⊥ 恒假；
量詞：?存在，?全稱；
模態(tài)詞：□ 必然 ◇ 可能；
謂詞：P(x), ...；
變量：x, y, ...;
蘭姆達表達式：λx. P(x)；
同時，又分為很多子類，這些子類對邏輯語言的使用廣度不同，如下圖所示，
其中，（非模態(tài)的）一階謂詞邏輯（包括命題邏輯），被證明具有 可靠性 和 完全性（詳見后文），所以被數(shù)學(xué)當(dāng)做可靠的邏輯工具使用，也就是說，數(shù)學(xué)使用的邏輯包含 僅僅包含 現(xiàn)代邏輯 中的 一階謂詞邏輯。
反過來，現(xiàn)代邏輯 就是 以數(shù)學(xué)為工具 進行研究的，也稱為 數(shù)理邏輯，所以說，現(xiàn)代邏輯 屬于 數(shù)學(xué)研究的邏輯，也就是說，數(shù)學(xué)用了一部分可靠的 現(xiàn)代邏輯 為基礎(chǔ) 研究了 整個 現(xiàn)代邏輯。
數(shù)學(xué)在一階謂詞邏輯的基礎(chǔ)上，加入了 歸納邏輯 中的 完全歸納邏輯：
若謂詞P(x) 滿足，
P(0) 成立；
對于任意 n∈?，若 P(n) 成立，則 P(n+1) 成立；
則，對于 自然數(shù)集合 ? 中的任意元素 n，P(n) 都成立。
作為新的邏輯工具來使用，這稱為 數(shù)學(xué)歸納法。
數(shù)學(xué)還發(fā)展了 概率論，于是 部分 不完全歸納邏輯 ，可用概率來表達 歸納推理的 可靠性后，就變成 統(tǒng)計歸納法，例如，
總體S的n個樣本m個樣本是 P剩下的個樣本不是 P────────────────S有m/n的概率是P
這樣，這部分歸納邏輯就成為了有一種數(shù)學(xué)工具，被數(shù)學(xué)（特別是統(tǒng)計學(xué)）廣泛使用。而 科學(xué)歸納法 是對 不完全歸納邏輯 的科學(xué)使用，它只能作為 數(shù)學(xué)家 在研究數(shù)學(xué)時 的方式，不能作為邏輯工具被數(shù)學(xué)使用。
D.形式邏輯系統(tǒng)的具體定義是什么？
在一階謂詞邏輯基礎(chǔ)上，我們用 L 表示一個邏輯系統(tǒng)使用的 符號的 總體，稱為 一門 語言，例如：
群語言： L = {?, e}
語言 L 中的 符號是抽象的，我們需要對它具體化，例如：
整數(shù)加法群：? = {?, +, 0}
自然數(shù)乘法群：? = {?, × , 1}
這些成為 語言L的 結(jié)構(gòu)。
同一個 L 語言的公式（即，命題） φ ，在 L 的不同結(jié)構(gòu)中 可能 邏輯 真假不同。又設(shè) Γ 語言 L 的公式組成的集合。對于任意 L的結(jié)構(gòu)M，若 Γ中的所有公式在M中為真，則 φ 在M中一定為真，我們稱 Γ 重言蘊含 φ，記為 Γ ? φ。
一階謂詞邏輯的 推演系統(tǒng) PF，包括：
一組一階謂詞邏輯公式，稱為 推演公理，記為 Λ ，例如：A → (B → A)；
一組推理規(guī)則，例如：分離規(guī)則 A∧(A→B) ? B （充足理由律）；
對于 Γ 和 φ，若 存在 一組 公式序列 a? a? a? ... a?=φ，滿足 ：
a? ∈ Γ ∪ Λ ；
或
a? 由 a?, a?（u, v < i） 經(jīng)過 推理規(guī)則 得到；
則稱 φ 是 Γ 的 定理， Γ 是 公理。
E.數(shù)學(xué)系統(tǒng)的邏輯缺陷是什么？
我們在之前已經(jīng)說過，一階謂詞邏輯具有 可靠性 和 完全性，因此被數(shù)學(xué)邏輯所使用。
可靠性 是說，一個公理系統(tǒng) Γ 的任何定理 φ 都是 Γ 重言蘊含，即，若 Γ ? φ 則 Γ ? φ；
可靠性的逆命題，任意 Γ 重言蘊含 φ 都是 Γ 的定理 ， 就是 完全性，即，若 Γ ? φ 則 Γ ? φ；
后者被哥德爾首先證明，稱為哥德爾完全性定理。
但是，這只是 一階謂詞邏輯系統(tǒng)，而數(shù)學(xué)邏輯系統(tǒng)，又加入了 完全歸納邏輯，由前面的定義看出，這是建立在 算術(shù)系統(tǒng)之上的，因此，這要求 數(shù)學(xué)必須先加入 算術(shù)系統(tǒng) ? ，這就出現(xiàn)了問題。
對于由 L語言 公式組成的公理系統(tǒng) Γ ，
一致性（自洽性）：若 存在公式 φ ，同時有 Γ ? φ 和 Γ ? ? φ，則稱 Γ 是不一致的，否則 稱 是一致的 ；（滿足 矛盾律）
完全性（完備性）：對于 任何 公式 φ ，總有 Γ ? φ 或 Γ ? ? φ，則稱 Γ 是 完全的，否則 稱 不完全的；（滿足 排中律）
而哥德爾證明了，哥德爾第一不完全性定理：
含有 ? 的 Γ 不能同時保證 一致性 和 完全性；
于是，數(shù)學(xué)只能犧牲 完全性 而 讓位于 一致性，但是遺憾的是，
哥德爾同時又證明了，哥德爾第二不完全性定理：
一致系統(tǒng) Γ 的 一致性 不能在Γ內(nèi)被證明；
這就是數(shù)學(xué)系統(tǒng)的兩大邏輯缺陷。
第一個缺陷告訴我們，數(shù)學(xué)永遠不可能搭建一個可以證明任何命題的公理系統(tǒng)，哥德巴赫猜想很可能是當(dāng)前數(shù)論系統(tǒng)的不完全實例。
第二個缺陷告訴我們，對于公理系統(tǒng)的 一致性，我們只能在沒有發(fā)現(xiàn)矛盾時，被迫承認。
再回到最初，讓我們看看，數(shù)學(xué)邏輯 對于 形式邏輯 的 四大律 的支持：
同一性：完全支持，數(shù)據(jù)概念是精確的；
矛盾律：支持，但無法證明支持（第二不完全性定理）；
排中律：大部分情況支持，存在不支持的可能（第一不完全性定理）；
充足理由律：數(shù)學(xué)是從 公理 到 定理 的 演繹推導(dǎo) 過程，在這個過程中完全支持，但是，數(shù)學(xué)無法 給出 公理 正確性 的 論據(jù)。嚴格的來說，演繹的前提，必須 歸納得到，公理的 歸納 不是 完全歸納法，其可靠性是一個 概率，數(shù)學(xué)不能無法保證其值是1，而且公理的正確性來自（數(shù)學(xué)之外的）實踐。
所以說，數(shù)學(xué)邏輯是有限的支持形式邏輯的四大律的。
雖然，完全歸納法的引入，給數(shù)學(xué)引起了不小的麻煩，但是數(shù)學(xué)確實離不開這個邏輯，所以也就只能這樣了。
F. 數(shù)學(xué)邏輯有哪些演變？
演變1：
數(shù)學(xué) 將 概率本身 直接 作為邏輯工具的一部分使用，開創(chuàng)了一個新的數(shù)學(xué)分支—— 模糊數(shù)學(xué)， 概率 可認為是 模態(tài)詞 的 數(shù)學(xué)化，于是 模糊數(shù)學(xué) 可認為納入了 模態(tài)邏輯 的數(shù)學(xué) 。
演變2：
無窮是數(shù)學(xué)中引入的一個邏輯概念，對于 無窮 有兩種認識：
潛無窮：認為 無窮是一個 變化過程，而非數(shù)學(xué)對象，以此建立了 標(biāo)準(zhǔn)分析；
實無窮： 認為 無窮是一種 對象，以此建立了 非標(biāo)準(zhǔn)分析；
而 集合論 也是 實無窮 思想的體現(xiàn)。
演變3：
有一部分數(shù)學(xué)家，認為數(shù)學(xué)是一種構(gòu)造，稱為直覺主義。而，反證法：
由 Γ 證明 φ 比較難，于是 將 ? φ 加入 Γ 中，組成 Γ' = Γ ∪ {? φ}，然后找出 Γ' 的不一致性，這樣就說明，? φ 與 Γ 不兼容，? φ 不是 Γ 的定理， Γ ? ? φ 不成了， 然后 排中律，得出 Γ ? φ 成立。
的證明 并沒有，從 Γ 構(gòu)造出 φ，因此 被 直覺主義 否認。直覺主義 將 排中律 從形式邏輯中拿掉，從而 建立的 直覺邏輯。
G. 如何學(xué)習(xí)形式邏輯和數(shù)學(xué)邏輯？
數(shù)理邏輯 就是用 數(shù)學(xué)的方法來研究 形式邏輯，而在 數(shù)理邏輯之前，人們使用 傳統(tǒng)的 哲學(xué)方式來研究 形式邏輯，這稱為 經(jīng)典邏輯。
早期，與經(jīng)典邏輯，同時出現(xiàn)的 還有 印度的 因明 和 中國的 名/墨辯，但時間進入 19 世紀(jì) 中葉，數(shù)理邏輯 的出現(xiàn)，標(biāo)志著 形式邏輯 從 傳統(tǒng) 走向 現(xiàn)代，而 因明 和 名辯 至今并沒有 長足發(fā)展。黑格爾的辯證邏輯，雖然 和 傳統(tǒng)邏輯有少部分重合，但它也沒有進入現(xiàn)代化。
學(xué)習(xí) 《數(shù)理邏輯》需要很好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，這就把很多人拒之門外，為了讓更多的人學(xué)習(xí)形式邏輯，邏輯學(xué)家，盡量 去除 現(xiàn)代形式邏輯 中 數(shù)學(xué)部分，得到了 《普通邏輯學(xué)》 比較基礎(chǔ) 和 數(shù)學(xué)關(guān)系不大。《普通邏輯》（或《邏輯學(xué)》）是 形式邏輯的入門 教材，以經(jīng)典邏輯為主要內(nèi)容，包含一些數(shù)理邏輯 的初期的結(jié)論（以哲學(xué)方式來論述）。由于學(xué)習(xí) 數(shù)理邏輯 需要很好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，所有 這樣編寫教材的好處是，不至于把文科生拒之形式邏輯的大門外。
雖然，理科生的 形式邏輯入門教材 是 《離散數(shù)學(xué)》，其中包括 數(shù)理邏輯，但是 看看《普通邏輯》依然有好處。
這里必須吐槽一句：有些輔導(dǎo)機構(gòu)，以中國沒有單獨的開設(shè)邏輯學(xué)課，來抹中國基礎(chǔ)教育，從而達到銷售其課程的目的，的作法，是非常不厚道的。實際上，數(shù)理邏輯，在 高中數(shù)學(xué) 中 就引入了，而 從小學(xué) 開始 語文 就 潛移默化 的 培養(yǎng) 孩子 的 傳統(tǒng)邏輯 能力了。
當(dāng)然，不管是 文科 還是 理科，要研究形式邏輯，最終都要去 啃 像《數(shù)理邏輯教程》這樣，磚一樣的書，因為數(shù)理邏輯是 現(xiàn)代形式邏輯的 唯一形式。
《數(shù)理邏輯》主要包括：《公理集合論》《證明論》《模型論》《遞歸論》，今年來也加入了 《范疇論》的支持。
其實，數(shù)學(xué)邏輯 也可以指 數(shù)學(xué)思維，那么就包括：邏輯推理、數(shù)字計算、結(jié)構(gòu)搭建、空間想象、概念抽象、... 等 多種思維能力。這其中只有 邏輯推理 和 形式邏輯 直接相關(guān)，算是 形式邏輯 的應(yīng)用，所有大家不要僅僅將眼光集中在形式邏輯上！
（最后，小石頭用 圖對以上 回答 進行總結(jié)，希望大家能喜歡，感謝各位閱讀?。?/p>
邏輯學(xué)-形式邏輯-數(shù)學(xué)邏輯 概貌
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