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來(lái)源：本文來(lái)自潘超科學(xué)網(wǎng)博客，作者：潘超，原題：波動(dòng)基礎(chǔ)

我們研究振動(dòng)系統(tǒng)，一方面固然是因?yàn)檎駝?dòng)系統(tǒng)在物理學(xué)與工程上的重要性，另一方面是因?yàn)檎駝?dòng)所產(chǎn)生的波動(dòng)現(xiàn)象具有更為重要的意義。

這首先是因?yàn)樵趯?shí)質(zhì)上，波動(dòng)是自然界最重要的一種傳播能量的方式，在這種非常一般的意義上，波動(dòng)現(xiàn)象非常廣泛的存在于物理世界。這里我們首先討論具體的機(jī)械振動(dòng)產(chǎn)生的波動(dòng)現(xiàn)象，并以此為例來(lái)研究一般的波動(dòng)過(guò)程的物理圖象。

但一旦振子與外界發(fā)生作用，那么振子的能量就有可能傳遞給外界物質(zhì)。而我們考慮的機(jī)械波就是由于外界物質(zhì)的連續(xù)分布，并且外界物質(zhì)的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都具有振子的物理性質(zhì)，從而出現(xiàn)的一種能量在空間傳播的現(xiàn)象。

機(jī)械波的主要特征就在于它依賴傳播媒質(zhì)的接觸作用。也就是說(shuō)，首先要求媒質(zhì)具有連續(xù)分布的性質(zhì)；然后要求組成媒質(zhì)的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都必須具有振子的物理性質(zhì)，也就是說(shuō)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都必須在原始位置時(shí)，是處于某種勢(shì)場(chǎng)的極小值點(diǎn)。一旦偏離它的平衡位置，它就在勢(shì)場(chǎng)的作用下進(jìn)行振動(dòng)，從而把能量傳遞給鄰近的質(zhì)點(diǎn)。

波動(dòng)過(guò)程中涉及到幾種方向，這幾種方向能決定波動(dòng)的主要特征。首先是波動(dòng)振動(dòng)的方向，然后是波動(dòng)傳播的方向。最簡(jiǎn)單的情形是兩種，即如果振動(dòng)方向 和傳播方向平行，那么這種波被稱為縱波；如果振動(dòng)方向和傳播方向垂直，那么這種波被稱為橫波。當(dāng)然，我們知道振動(dòng)具有線性疊加性，波動(dòng)同樣應(yīng)該也具有線性疊加性，這樣任何其他的方向關(guān)系的波動(dòng)，都可以由這兩種波通過(guò)疊加而得到。

波動(dòng)傳播的復(fù)雜程度首先和傳播介質(zhì)的分布有關(guān)：

• 如果傳播介質(zhì)是一維的，那么波的傳播方向就只能在一條線上。

  
  

• 如果傳播介質(zhì)是高維的，那么波將從波源出發(fā)，向任意方向傳播。而波動(dòng)傳播的方向稱為波射線（或波線）。

由于波在介質(zhì)中的傳播是一個(gè)時(shí)間過(guò)程，那么我們就必須考慮波在空間中的分布的一些時(shí)間性的特征：

• 首先是相位的概念。由于波動(dòng)是一種周期現(xiàn)象，因此在某一個(gè)時(shí)刻振子處于一個(gè)周期的什么位置是非常重要的物理特征。

  
  

• 然后在波的空間分布中同相位的各點(diǎn)組成一個(gè)幾何面，稱為波面（或波陣面）。波面的概念在應(yīng)用波動(dòng)圖象來(lái)解釋波動(dòng)現(xiàn)象時(shí)是非常關(guān)鍵的。

  
  

• 波面的形狀和波源與介質(zhì)的分布性質(zhì)是密切相關(guān)的。最簡(jiǎn)單的兩種情形就是，如果是在各向同性的介質(zhì)中， 從點(diǎn)波源發(fā)出的波的波面就是同心球面，稱為球面波；從平面波源發(fā)出的波的波面是平行平面，稱為平面波。

由于機(jī)械波的波動(dòng)過(guò)程實(shí)際上是介質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)運(yùn)動(dòng)的傳遞，因此可以想象波速是由介質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)間相互作用性質(zhì)決定的。最明顯的例子就是聲波的傳播速度，是空氣的屬性決定了聲速。

對(duì)于由不同頻率混合起來(lái)的波動(dòng)，在一定條件下，還會(huì)出現(xiàn)另一種速度的概念，所謂群速，在后面再討論。

簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式有幾種等價(jià)的不同形式：

同學(xué)們一定要從數(shù)學(xué)的角度理解到這幾種表達(dá)式的等價(jià)性，而在物理上則是強(qiáng)調(diào)了不同的描述波的性態(tài)的物理量。一定要靈活掌握，而不能被表面的形式繁復(fù)所迷惑。

下面我們就討論這幾個(gè)物理量：

很顯然周期就是波沿著波射線方向傳播一個(gè)波長(zhǎng)的距離所花的時(shí)間。而頻率則是周期的倒數(shù)，意思就是在單位時(shí)間里波傳播以一個(gè)波長(zhǎng)為單位的數(shù)目。換句話從波源的振動(dòng)的角度來(lái)說(shuō)，就是單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。

對(duì)于描述波動(dòng)過(guò)程的上述三個(gè)概念一定要建立非常明確的直觀圖象，才能在做題時(shí)不至于因?yàn)榛靖拍畹哪：涎恿藭r(shí)間。

考慮到機(jī)械波的波動(dòng)過(guò)程實(shí)際上就是介質(zhì)的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相續(xù)的振動(dòng)，也就是說(shuō)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)過(guò)程是相同的 （在介質(zhì)均勻，不發(fā)生波的吸收的情況下），那么在已知波的傳播速度的前提下，波動(dòng)過(guò)程就可以看成是單個(gè)振動(dòng)形態(tài)的勻速移動(dòng)。

這樣我們就可以很容易地寫(xiě)出波動(dòng)方程來(lái)：設(shè)在波源處 (x=0) 的振子的振動(dòng)方程為，則在波傳播到任一一點(diǎn)處的振動(dòng)方程為

這個(gè)方程距離波源為x的某一點(diǎn)上在任一時(shí)刻的位移，這也就是沿著x的方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程。

在這個(gè)方程里，波動(dòng)的傳播位置x和時(shí)間t 是兩個(gè)獨(dú)立變量，這樣我們可以從這個(gè)方程獲得幾種物理意義：

• 如果固定t 不變，那么方程描述的是介質(zhì)里不同x處的波動(dòng)狀態(tài)的分布。

  
  

• 如果固定x不變，那么方程描述的是介質(zhì)里某一個(gè)固定位置處的振動(dòng)狀態(tài)，也就是那個(gè)位置的振動(dòng)方程。

  
  

• 如果這兩個(gè)變量都不固定，那么這個(gè)方程描述的就是隨時(shí)間而發(fā)生變化的介質(zhì)里各個(gè)位置的波動(dòng)狀態(tài)的變化。這樣就給出了一個(gè)波動(dòng)過(guò)程的整體圖象。

同學(xué)們?cè)谶@里一定要加強(qiáng)對(duì)這些物理圖象的直觀理解，而不能只是滿足于能夠推導(dǎo)出相應(yīng)的方程來(lái)就可以了。在我們解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，這種直觀理解往往能起到關(guān)鍵的作用。特別是在做題時(shí)，有時(shí)并不需要我們完全把解析式都列出來(lái)，只要具備很強(qiáng)的直觀理解能力，就可以很快的看出答案來(lái)。這一點(diǎn)往往成為取得好的考試成績(jī)的“不傳之秘”。

一般地我們得到波動(dòng)過(guò)程中的能量表達(dá)式是：

其中，A為振幅，ω為頻率。

從能量的角度來(lái)看波動(dòng)過(guò)程，我們可以發(fā)現(xiàn)波動(dòng)和振動(dòng)的一個(gè)重要區(qū)別來(lái)：

• 波動(dòng)過(guò)程中的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)盡管也是處在振動(dòng)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)中，但這個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)并非孤立系統(tǒng)，而是隨時(shí)在和外界作能量的交換與傳遞，因?yàn)槿绻麤](méi)有這種能量的傳遞，也就根本不會(huì)有波動(dòng)現(xiàn)象的發(fā)生。

這樣對(duì)于介質(zhì)里的每個(gè)振動(dòng)中的質(zhì)點(diǎn)而言，它總是在不斷地吸收和放出能量，而它的動(dòng)能和勢(shì)能則發(fā)生具有相同相位的周期變化。我們知道在孤立的振子系統(tǒng)里，動(dòng)能和勢(shì)能的周期變化的相位是相反的。

• 波的平均能流：類似于對(duì)水流的流量度量的定義，我們把波的能流定義為單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)介質(zhì)中單位面積的平均能量，稱為通過(guò)這一面積的平均能流（或稱為在這一面積上的波的功率）。

  
  

• 能流密度：單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于波的傳播方向的單位面積的平均能流就被稱為能流密度?？梢?jiàn)能流密度的意思就是在單位面積上的波動(dòng)的功率，因此其單位一定是w·m?2。

我們有表達(dá)式：

可見(jiàn)一定頻率的波在一種確定的介質(zhì)中傳播時(shí)，其能流密度和波源的振幅的平方成正比。

請(qǐng)注意這個(gè)定義里出現(xiàn)了對(duì)方向的要求，也就是說(shuō)能流密度是一個(gè)矢量，有時(shí)我們把它稱為波的強(qiáng)度時(shí)，則是只取其大小，也就是說(shuō)成了一個(gè)標(biāo)量。

常見(jiàn)的波的振幅的衰減規(guī)律可以表示為：

相應(yīng)的波的強(qiáng)度的衰減規(guī)律為：

從直觀上來(lái)理解惠更斯原理并不復(fù)雜，建議同學(xué)們不妨動(dòng)手畫(huà)一下草圖，就可以得到一個(gè)很明晰的物理圖象。應(yīng)用惠更斯原理我們就已經(jīng)可以解釋很多的波動(dòng)現(xiàn)象，這些波動(dòng)現(xiàn)象的共同特征就是在各向同性的均勻介質(zhì)中，波動(dòng)過(guò)程中保持波面的幾何形狀的相似性。最典型的就是下面要討論的反射與折射，以及衍射和散射。

前面已經(jīng)說(shuō)明了波動(dòng)過(guò)程，實(shí)際上就是組成介質(zhì)的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，按照一定的空間順序和時(shí)間順序的關(guān)聯(lián)。那么兩列波的疊加，歸根結(jié)底也就落實(shí)到質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)的疊加上了，而我們已經(jīng)知道振動(dòng)的疊加正是來(lái)源于一般的運(yùn)動(dòng)疊加原理。因此我們顯著討論的波的疊加原理，同樣是來(lái)源于運(yùn)動(dòng)疊加原理的。只是在具體的波動(dòng)現(xiàn)象中，我們要強(qiáng)調(diào)兩列波的疊加并不是這兩列波的本來(lái)的物理性質(zhì)。波的疊加原理最直接的應(yīng)用就是下面要討論的波的干涉現(xiàn)象。

首先發(fā)生干涉現(xiàn)象的波必須滿足一定的條件，那就是：

• 必須具有相同的振動(dòng)方向；

  
  

• 具有相同的頻率；

  
  

• 相位差必須是固定的。

很顯然，兩列波對(duì)同一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的作用和效果是取決于這兩列波的相位差的。一般的我們可以得到干涉加強(qiáng)與減弱的條件如下：

• 位相差Δθ=±2πk，k=0,1,2,3,···時(shí)，干涉加強(qiáng)；

  
  

• 位相差Δθ=±2π(k+1/2)，k=0,1,2,3,···時(shí)，干涉減弱。

最好同學(xué)們能自己嘗試推導(dǎo)一下，并且努力建立相應(yīng)的直觀圖象，從而可以透徹的理解干涉現(xiàn)象的物理實(shí)質(zhì)。在一種特殊的情形下，干涉會(huì)導(dǎo)致所謂駐波的出現(xiàn)。

駐波的一個(gè)主要特點(diǎn)就是駐波區(qū)間內(nèi)存在一些等距離的點(diǎn)，始終靜止，稱為波節(jié)。而又存在另外一些點(diǎn)的振幅是一列波的振幅的2倍，稱為波腹。這就使得在這個(gè)區(qū)間上，波動(dòng)是分段存在的。每一個(gè)分段中，各點(diǎn)的位相相同，而相鄰分段的位相相反。各個(gè)分段相互獨(dú)立振動(dòng)，相鄰波節(jié)之間的距離為半個(gè)波長(zhǎng)。

如果在媒質(zhì)中存在尺度與波長(zhǎng)相比擬的粒子，波動(dòng)作用于這些粒子，使得這些粒子本身作為波源而發(fā)出子波，類似于被劃分出來(lái)的波陣面，從而導(dǎo)致散射現(xiàn)象的發(fā)生。

• 聲壓：傳播媒質(zhì)中，在存在聲波的傳播時(shí)的壓強(qiáng)，與不存在聲波時(shí)的靜壓強(qiáng)的差，就是所傳播的聲波的聲壓。聲壓本身是一種壓強(qiáng)的波動(dòng)，這種波動(dòng)的振幅為

• 聲強(qiáng)：即是作為機(jī)械波的聲波的能流密度。因此可以得到聲強(qiáng)的表達(dá)式為

可以看出，聲壓與聲強(qiáng)都隨頻率的增高而增高。對(duì)于聽(tīng)覺(jué)而言，除了是由頻率范圍來(lái)決定的以外，也有一個(gè)聲強(qiáng)范圍，超過(guò)這個(gè)范圍都不能被人感知為聲音。因此定義一個(gè)聲強(qiáng)單位，以人的一個(gè)感知下限，即在1000Hz時(shí)聲強(qiáng)為10?12Wm?2，作為測(cè)定聲強(qiáng)的基本標(biāo)準(zhǔn)，用I0表示，則聲強(qiáng)級(jí)定義為

單位為分貝(dB)。

答：波動(dòng)方向來(lái)源于波源的振動(dòng)方向，它與波的傳播方向并沒(méi)有必然的關(guān)系，對(duì)于縱波來(lái)說(shuō)，波動(dòng)方向與波的傳播方向是一致的，但是對(duì)于橫波來(lái)說(shuō)，則是波動(dòng)方向與波的傳播方向相互垂直。

2. 進(jìn)行簡(jiǎn)諧波動(dòng)的媒質(zhì)的每一個(gè)體積元都是在進(jìn)行簡(jiǎn)諧振動(dòng)嗎？

答：不對(duì)。這是一個(gè)最容易混淆的問(wèn)題，在波動(dòng)過(guò)程中，媒質(zhì)的體積元的動(dòng)能與勢(shì)能的變化是同相而且相等的，動(dòng)能和勢(shì)能同步地達(dá)到最大與最小，因此可以想象，每一個(gè)體積元作為一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)都不是保守的能量保持守恒的系統(tǒng)。因?yàn)椴▌?dòng)作為一種能量傳播形式， 本來(lái)就是要把能量在媒質(zhì)中進(jìn)行傳播，而不能是媒質(zhì)中的每一個(gè)體積元都保持自己的能量不發(fā)生變化。相反，簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)，則是一個(gè)保守系統(tǒng)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，這樣動(dòng)能和勢(shì)能就不能是同相的了而只能是反相的。