有的人說(shuō)數(shù)學(xué)是物理學(xué)家的工具，是描寫(xiě)大自然的語(yǔ)言，我覺(jué)得這么說(shuō)還不足以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的厲害。你越了解物理，就越覺(jué)得數(shù)學(xué)不僅僅是大自然的語(yǔ)言，而且是大自然的法則。
如果數(shù)學(xué)禁止一件事發(fā)生，這件事就絕對(duì)不會(huì)發(fā)生。那如果數(shù)學(xué)允許一件事發(fā)生，這件事會(huì)發(fā)生嗎?從邏輯上來(lái)說(shuō)它應(yīng)該可能發(fā)生也可能不發(fā)生。但是如果你相信一種更強(qiáng)硬的哲學(xué)，你也許可以說(shuō)，只要數(shù)學(xué)允許一件事發(fā)生，這件事就一定會(huì)發(fā)生。
我們來(lái)見(jiàn)識(shí)一下數(shù)學(xué)的威力。薛定諤方程可以完美地解釋氫原子的能級(jí)，但是好的理論必須不但解釋一些已知的現(xiàn)象，還要能預(yù)言未知的現(xiàn)象。最厲害的物理理論甚至?xí)A(yù)言一些你絕對(duì)想不到的東西。你覺(jué)得那有點(diǎn)太離奇了，你不敢相信，但是你一去驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)居然是真的。
我們要做一件所有嚴(yán)肅學(xué)習(xí)量子力學(xué)的人，在學(xué)了薛定諤方程之后，都必須做的事情。那就是用這個(gè)方程來(lái)求幾個(gè)簡(jiǎn)單的解。我會(huì)忽略所有數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)，你只要安心體會(huì)微觀世界的妙處就行。
我們把問(wèn)題簡(jiǎn)化，假設(shè)空間是一維的，只有x這一個(gè)方向。
咱們首先考慮一個(gè)最簡(jiǎn)單的情況，自由粒子。沒(méi)有任何東西會(huì)影響這個(gè)粒子，所以薛定諤方程中的勢(shì)能Ⅴ=0。這個(gè)方程的解可以擁有任何能量。給定一個(gè)能量，波函數(shù)的形狀是一個(gè)所謂“平面波”。下面這張圖中表現(xiàn)了波函數(shù)的實(shí)部、虛部和絕對(duì)值的平方——
你要看波函數(shù)本身，它是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的波動(dòng)。它的波長(zhǎng)由粒子的能量決定，再考慮到能量跟動(dòng)量的關(guān)系，這個(gè)波正好滿足德布羅意那個(gè)“物質(zhì)波”公式。自由的粒子，是一個(gè)自由的波。
波函數(shù)本身是個(gè)波動(dòng)，可是波函數(shù)的絕對(duì)值的平方，卻是一個(gè)常數(shù)。它在x空間中每一點(diǎn)都是一樣的。波函數(shù)絕對(duì)值的平方代表粒子在這個(gè)區(qū)域被發(fā)現(xiàn)的概率。所以這就意味著，這個(gè)自由粒子，出現(xiàn)在空間各個(gè)位置的可能性都是一樣大的。
這也符合海森堡不確定性原理，因?yàn)槟憬o定了能量就給定了動(dòng)量，而既然動(dòng)量沒(méi)有不確定性，位置的不確定性就必須是無(wú)窮大。這也就是說(shuō)，在量子世界里，絕對(duì)自由的粒子，同時(shí)身處世界所有的地方。它是一片無(wú)處不在的云，你在哪里都有可能遇到它。
你體會(huì)一下這個(gè)意境，什么叫自由。
當(dāng)然絕對(duì)的自由是沒(méi)有的，人生充滿限制。我們?cè)倏紤]一個(gè)絕對(duì)限制的情況。勢(shì)能Ⅴ在一個(gè)區(qū)域內(nèi)部仍然是零，但是在區(qū)域外部是無(wú)窮大，就好像用一個(gè)盒子把粒子給裝起來(lái)了。像下面圖中這樣——
這時(shí)候方程在區(qū)域內(nèi)的解仍然是平面波，在區(qū)域外無(wú)解，波函數(shù)在邊界上的取值必須是0。有意思的是，能級(jí)出現(xiàn)了。
數(shù)學(xué)上要求，雖然只有這么簡(jiǎn)單的限制，這個(gè)粒子的能量就不能是任意的。它只能從一些固定的能級(jí)中選取，E1，E2，E3......這樣從小到大排列。這就是為什么氫原子是有能級(jí)的!特別是，其中最小的能級(jí)E1≠0。為什么呢?因?yàn)椴淮_定性原理!現(xiàn)在粒子位置的不確定性變成有限大了，那么它就必然有一個(gè)動(dòng)量的不確定性——它就不能一動(dòng)不動(dòng)。
量子力學(xué)不允許受限制的東西一動(dòng)不動(dòng)。這就是為什么哪怕是在無(wú)比接近絕對(duì)零度的情況下，粒子們也會(huì)動(dòng)一動(dòng)。
現(xiàn)在考慮一個(gè)最實(shí)際的情況。假設(shè)一個(gè)原本自由的粒子，被右邊的一面墻給擋住了。墻的勢(shì)能Ⅴ比粒子的能量E高，所以墻對(duì)粒子形成了限制。
在經(jīng)典的世界中，粒子永遠(yuǎn)都不可能穿越這面墻。否則穿墻的時(shí)候粒子的動(dòng)能=E-V<0，這算怎么回事兒呢?
但是在量子世界中，薛定諤方程的解卻是下面這個(gè)樣子的——
波函數(shù)在墻的左邊是個(gè)正常的平面波，在經(jīng)過(guò)墻的時(shí)候是一個(gè)快速衰減的波一但是它沒(méi)有衰減到O!它在墻的右邊，仍然有一個(gè)絕對(duì)值變小了很多的平面波。
粒子可以穿墻。
當(dāng)然，因?yàn)橛疫叢ǖ慕^對(duì)值平方會(huì)比左邊小很多，你在右邊發(fā)現(xiàn)粒子的概率肯定比在左邊小很多——也就是說(shuō)穿墻的概率并不是很大......但是!穿墻是可能的。
量子力學(xué)允許粒子穿過(guò)勢(shì)能比它自身能量大的墻。這就相當(dāng)于說(shuō)，一個(gè)東西可以突破比它自己的能力大的限制。
這怎么可以呢?
咱們把以往的經(jīng)過(guò)再捋一遍。薛定諤方程只是薛定諤在“情欲大爆發(fā)”期間靈感來(lái)了，寫(xiě)下的波函數(shù)方程。薛定諤運(yùn)氣好，這個(gè)方程恰好能解出氫原子的能級(jí)。但是當(dāng)時(shí)連薛定諤本人都不知道波函數(shù)是什么東西，后來(lái)還是玻恩提出一個(gè)猜測(cè)，說(shuō)波函數(shù)絕對(duì)值的平方代表概率。
你這么看的話，數(shù)學(xué)只是物理學(xué)家用的一個(gè)工具，甚至可以說(shuō)是一個(gè)玩具。真實(shí)世界沒(méi)有任何理由必須聽(tīng)從你這個(gè)方程的，對(duì)吧?
那么現(xiàn)在這個(gè)方程得出了一個(gè)違背常識(shí)的解，你應(yīng)該怎么辦呢?中學(xué)老師一定會(huì)告訴你舍掉那個(gè)解。
1927年，也就是薛定諤的論文剛剛發(fā)表不到一年，就有好幾個(gè)物理學(xué)家解薛定諤方程得到了這個(gè)穿墻的解。我們可以稱之為“量子隧道效應(yīng)”， 也叫“量子隧穿”。當(dāng)時(shí)人們并不知道這有什么意義。
1928年，24歲的美籍俄裔物理學(xué)家喬治·伽莫夫，說(shuō)不應(yīng)該舍棄這個(gè)解。
因?yàn)榱孔铀泶?duì)應(yīng)的物理現(xiàn)象是真的。
伽莫夫說(shuō)，這個(gè)量子隧穿，能解釋為什么原子核會(huì)衰變。我們知道原子核是質(zhì)子和中子緊密結(jié)合在一起的一個(gè)核，那既然有一種力量讓它們結(jié)合得這么緊密，為什么有的原子核有時(shí)候又能突然分裂呢?質(zhì)子和中子怎么突然就克服了那個(gè)結(jié)合的力量呢?
質(zhì)子中子的動(dòng)能比結(jié)合力的勢(shì)能小，但是它們也能跑出來(lái)，這不就是量子隧穿嗎?伽莫夫的計(jì)算結(jié)果正好符合衰變概率。馬克思·玻恩一聽(tīng)說(shuō)伽莫夫的工作，立即意識(shí)到量子隧穿應(yīng)該是個(gè)普遍現(xiàn)象。
結(jié)果物理學(xué)家放眼一看，它在自然界簡(jiǎn)直比比皆是。
比如說(shuō)核聚變，是兩個(gè)比較小的原子核聚在一起，合成一個(gè)大的原子核，同時(shí)釋放大量能量。太陽(yáng)之所以發(fā)光發(fā)熱，就是因?yàn)槔锩嬖诎l(fā)生核聚變反應(yīng)。
但是我們知道原子核都是帶正電的，正電和正電互相排斥，那這兩個(gè)原子核要想克服這個(gè)排斥的電勢(shì)能，本來(lái)是必須要以非常高的動(dòng)能發(fā)生碰撞才行......正是因?yàn)榱孔铀泶司圩儾拍茉跍囟炔凰闾?、?dòng)能不算太強(qiáng)的情況下發(fā)生——而按核聚變的標(biāo)準(zhǔn)，太陽(yáng)的溫度就不算太高。
換句話說(shuō)，我們能享受太陽(yáng)的光和熱，多虧了有量子隧穿。
在生物學(xué)中，植物能發(fā)生光合作用，細(xì)胞能夠呼吸， DNA能夠自我修復(fù)，都和量子隧穿有關(guān)。
量子隧穿最著名的一個(gè)應(yīng)用是1981年發(fā)明的“掃描隧道顯微鏡”。這種儀器能測(cè)量出原子尺度的結(jié)構(gòu)。它的原理是用一根探針去接近一個(gè)金屬表面，探針和金屬表面之間有一個(gè)非常非常小的空隙，這個(gè)空隙就相當(dāng)于一個(gè)墻。金屬表面的電子本來(lái)是無(wú)法克服空隙和探針接觸的，但是由于隧穿效應(yīng)，電子有時(shí)候就到達(dá)探針，探針就探測(cè)到了電流。
量子隧穿對(duì)墻的寬度非常非常敏感，金屬表面原子的高低排列哪怕一點(diǎn)點(diǎn)的起伏都能體現(xiàn)在電子穿墻的概率上，而這就意味著掃描隧道顯微鏡能看到原子的圖像。
可是我們應(yīng)該怎么理解量子隧穿呢?
既然E<V，粒子為什么還能穿墻呢，難道說(shuō)能量守恒定律在穿墻那一刻失效了嗎?
你有兩種選擇。一個(gè)選擇是認(rèn)為量子力學(xué)可以違反能量守恒。對(duì)物理學(xué)家來(lái)說(shuō)這非常別扭，我們非常非常相信能量守恒。
另一個(gè)選擇是，你還可以換個(gè)角度來(lái)理解這件事。我們知道能量和時(shí)間之間有一個(gè)不確定性原理，隨著時(shí)間的推移，量子世界里系統(tǒng)的能量可以有一個(gè)小小的漲落，AE。而E+AE，可以大于Ⅴ。只要嘗試的次數(shù)足夠多，不確定性總會(huì)有一次讓能量正好夠用，從而穿墻。
你選擇哪種理解都可以，要點(diǎn)是量子隧穿是個(gè)真實(shí)的現(xiàn)象。
說(shuō)到這里我們可以暢想一下，如果粒子可以穿墻，那人是不是也可以呢?薛定諤方程可沒(méi)說(shuō)只適用于微觀粒子，人無(wú)非就是質(zhì)量大一點(diǎn)唄?
你把人的質(zhì)量帶入薛定諤方程求解，理論上也有一個(gè)不為零的概率，人可以穿墻而過(guò)。但是那個(gè)概率實(shí)在是太小太小了。讓一個(gè)人不停地試驗(yàn)，每秒鐘撞一次墻，他試驗(yàn)到宇宙年齡那么長(zhǎng)的時(shí)間也不會(huì)有一次成功。
不過(guò)這個(gè)假想的推導(dǎo)帶給我們一個(gè)啟發(fā)。也許真實(shí)世界中很多所謂的“不可能”，其實(shí)都是概率極其小的意思。你要這么看的話，我們其實(shí)是生活在一個(gè)概率的世界中，每天都在“擁抱不確定性”。在理論上，只要數(shù)學(xué)允許，這個(gè)世界真的就像那句勵(lì)志口號(hào)說(shuō)的那樣，“一切皆有可能”——只不過(guò)有些可能性實(shí)在太小了而已。
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