初二數(shù)學(xué)軸對稱這一章節(jié)中，課題研究中的最短路徑問題，是中考的熱門考點，在初二的考試中也是經(jīng)常會出現(xiàn)。最短路徑問題中，初中階段主要涉及三方面的內(nèi)容，“將軍飲馬”、“造橋選址”和“費馬點”，涉及到的知識點主要有“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，“三角形三邊關(guān)系”，“軸對稱”，“平移”等，需要同學(xué)們根據(jù)題目給定的條件，做出最短路徑問題，而這類題目的解題思路就是找對稱點實現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，這是最為關(guān)鍵的，從而找到最短路徑的點，解決出最短路徑的問題，我們先來學(xué)習一個比較簡單的“將軍飲馬”類型，最短路徑的求解，通過四種題型，詳解解釋作圖方法。希望同學(xué)們能夠認真總結(jié)，將這類題目掌握。
以“將軍飲馬”為原型常見的四種類型的題目分別是：（1）、A,B兩點位于L的同側(cè)，求出直線上一點P，使得PA+PB最??；（2）、A,B兩點位于L的兩側(cè)，求出直線上一點P，使得PA+PB最??；（3）、在兩條相交直線L1,L2內(nèi)一點P，在兩條直線上分別求出M,N,使△PMN的周長最小；（4）、在直線L1、L2上分別求點M、N，使四邊形PQMN的周長最小。
例1：作圖題.如圖，小河邊有兩個村莊A、B，要在河邊建一自來水廠P，向A村B村供水．（1）若要使廠部到A、B兩村的距離相等，則廠部P應(yīng)選在哪里？在圖①中畫出；（2）若要使廠部到A、B兩村的輸水管長度之和最小，則廠部P應(yīng)選在什么地方？在圖②中畫出．（保留作圖痕跡，不寫作法，但要寫結(jié)論）
本題關(guān)鍵是掌握在直線L上的同側(cè)有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點．
例2：尺規(guī)作圖：（不要求寫作法，只保留作圖痕跡）如圖，工廠A和工廠B，位于兩條公路OC、OD之間的地帶，現(xiàn)要建一座貨物中轉(zhuǎn)站P．若要求中轉(zhuǎn)站P到兩條公路OC、OD的距離相等，且到工廠A和工廠B的距離之和最短，請用尺規(guī)作出P的位置．
本題不僅考察了最短路徑的作圖方法，還要求根據(jù)題意明確點P還在角COD的角平分線上。
例3：在曠野上，一個人騎馬從A處出發(fā)，他先到河邊N飲水，再到草場M出放馬，然后返回A地，如圖，請問他應(yīng)該怎樣走才能使總路程最短？
本題屬于上面類型三的問題，通過A點分別做兩條直線的對稱點，然后連接起來，交兩條直線與兩點，然后將A與兩點分別連接，所得的線段就是最短的路程。
希望同學(xué)們經(jīng)過學(xué)習，能夠掌握最短路徑的作圖方法和尋找方法，在以后學(xué)到勾股定理等知識點的時候，經(jīng)常會求出最短距離的值，也是必須掌握的知識點。
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