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虛數(shù)，即平方為負(fù)數(shù)的數(shù)；所有的虛數(shù)都是復(fù)數(shù)。“虛數(shù)”這個(gè)名詞由17世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)制，因?yàn)楫?dāng)時(shí)的觀念認(rèn)為這是真實(shí)不存在的數(shù)字。后來(lái)發(fā)現(xiàn)虛數(shù)可對(duì)應(yīng)平面上的縱軸，與對(duì)應(yīng)平面上橫軸的實(shí)數(shù)同樣真實(shí)。虛數(shù)軸和實(shí)數(shù)軸構(gòu)成的平面稱復(fù)數(shù)平面，復(fù)平面上每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)著一個(gè)復(fù)數(shù)。在數(shù)學(xué)里，將偶指數(shù)冪是負(fù)數(shù)的數(shù)定義為純虛數(shù)。所有的虛數(shù)都是復(fù)數(shù)。定義為i2=-1。但是虛數(shù)是沒(méi)有算術(shù)根這一說(shuō)的，所以±√(-1)=±i。對(duì)于z=a+bi,也可以表示為e的iA次方的形式，其中e是常數(shù)，i為虛數(shù)單位，A為虛數(shù)的幅角，即可表示為z=cosA+isinA。實(shí)數(shù)和虛數(shù)組成的一對(duì)數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)看成一個(gè)數(shù)，起名為復(fù)數(shù)。虛數(shù)沒(méi)有正負(fù)可言。不是實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)，即使是純虛數(shù)，也不能比較大小。

• 中文名：虛數(shù)

• 定 義：偶指數(shù)冪是負(fù)數(shù)的數(shù)
• 發(fā)明人：笛卡爾
• 單 位：i
• 特 點(diǎn)：平方是負(fù)數(shù)的話，那個(gè)數(shù)就是虛數(shù)
• 數(shù)學(xué)應(yīng)用：虛數(shù)都是復(fù)數(shù)。定義為i2 = - 1

介紹虛數(shù)可以指以下含義：

(1)unreliable figure：虛假不實(shí)的數(shù)字。

(2)imaginary part：虛部（復(fù)數(shù)中a+bi，b叫虛部，a叫實(shí)部）。

(3)imaginary number：數(shù)學(xué)名詞——虛數(shù)。

(4)漢語(yǔ)中不表明具體數(shù)量的詞。

如果有數(shù)平方是負(fù)數(shù)的話，那個(gè)數(shù)就是虛數(shù)了；所有的虛數(shù)都是復(fù)數(shù)?！疤摂?shù)”這個(gè)名詞是17世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)制，因?yàn)楫?dāng)時(shí)的觀念 認(rèn)為這是真實(shí)不存在的數(shù)字。后來(lái)發(fā)現(xiàn) 虛數(shù)可對(duì)應(yīng)平面上的縱軸，與對(duì)應(yīng)平面 上橫軸的實(shí)數(shù)同樣真實(shí)。虛數(shù)軸和實(shí)數(shù)軸構(gòu)成的平面稱復(fù)數(shù)平面，復(fù)平面上每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)著一個(gè)復(fù)數(shù)。

在數(shù)學(xué)里，如果有數(shù)平方是負(fù)數(shù)的話，那個(gè)數(shù)就是虛數(shù)了；所有的虛數(shù)都是復(fù)數(shù)?！疤摂?shù)”這個(gè)名詞是17世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)制，因?yàn)楫?dāng)時(shí)的觀念認(rèn)為這是真實(shí)不存在的數(shù)字。后來(lái)發(fā)現(xiàn)虛數(shù)可對(duì)應(yīng)平面上的縱軸，與對(duì)應(yīng)平面上橫軸的實(shí)數(shù)同樣真實(shí)。虛數(shù)軸和實(shí)數(shù)軸構(gòu)成的平面稱復(fù)數(shù)平面，復(fù)平面上每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)著一個(gè)復(fù)數(shù)。

sin(a+bi)=sinacosbi+sinbicosa

=sinachb+ishbcosa

cos(a-bi)=cosacosbi+sinbisina

=cosachb+ishbsina

tan(a+bi)=sin(a+bi)/cos(a+bi)

cot(a+bi)=cos(a+bi)/sin(a+bi)

sec(a+bi)=1/cos(a+bi)

csc(a+bi)=1/sin(a+bi)

(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

(a+bi)(c+di）=(ac-bd)+(ad+bc)i

(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c2+d2)+(bc-ad)/(c2+d2)i

r1(isina+cosa)r2(isinb+cosb)=r1r2(cos(a+b)+isin(a+b)

r1(isina+cosa）/r2(isinb+cosb)=r1/r2(cos(a-b)+isin(a-b))

r(isina+cosa)n=r^n(isinna+cosna)

_(a+bi)=a-bi

_(z1+z2)=_z1+_z2

_(z1-z2)=_z1-_z2

_(z1z2)=_z1_z2

_(zn)=(_z)n

_z1/z2=_z1/_z2

_zz=|z|2∈R

zm·zn=zm+n

zm/zn=zm-n

(zm)n=zmn

z1m·z2m=(z1z2)m

(zm)1/n=zm/n

z·z·z…·z（n個(gè)）=zn

z1n=z2-->z2=z11/n

logai(x)=ln(x)/[ iπ/2+ lna]

xai+b=xai·xb= xb[cosln(xa) + i sinln(xa). ]

在數(shù)學(xué)里，將偶指數(shù)冪是負(fù)數(shù)的數(shù)定義為純虛數(shù)。所有的虛數(shù)都是復(fù)數(shù)。定義為i2=-1。但是虛數(shù)是沒(méi)有算術(shù)根這一說(shuō)的，所以±√(-1)=±i。對(duì)于z=a+bi,也可以表示為e的iA次方的形式，其中e是常數(shù)，i為虛數(shù)單位，A為虛數(shù)的幅角，即可表示為z=cosA+isinA。實(shí)數(shù)和虛數(shù)組成的一對(duì)數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)看成一個(gè)數(shù)，起名為復(fù)數(shù)。虛數(shù)沒(méi)有正負(fù)可言。不是實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)，即使是純虛數(shù)，也不能比較大小。

這種數(shù)有一個(gè)專門(mén)的符號(hào)“i”(imaginary)，它稱為虛數(shù)單位。不過(guò)在電子等行業(yè)中，因?yàn)閕通常用來(lái)表示電流，所以虛數(shù)單位用j來(lái)表示。

若存在一個(gè)數(shù)，它的倒數(shù)等于它的相反數(shù)（或者它的倒數(shù)的相反數(shù)為其自身），這個(gè)數(shù)是什么形式？
根據(jù)這一要求，可以給出如下方程：
-x = (1/x)
不難得知，這個(gè)方程的解x=i （虛數(shù)單位）
由此，若有代數(shù)式 t'=ti，我們將i理解為從t的單位到t'的單位之間的轉(zhuǎn)換單位，則t'=ti將被理解為
-t' = 1/t
即
t' = - 1/t
這一表達(dá)式在幾何空間上的意義不大，但若配合狹義相對(duì)論，在時(shí)間上理解，則可以解釋若相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度可以大于光速c，相對(duì)時(shí)間間隔產(chǎn)生的虛數(shù)值，實(shí)質(zhì)上是其實(shí)數(shù)值的負(fù)倒數(shù)。也就是所謂回到過(guò)去的時(shí)間間隔數(shù)值可以由此計(jì)算出來(lái)。
虛數(shù)成為微晶片和數(shù)字壓縮算法設(shè)計(jì)中的核心工具，虛數(shù)是引發(fā)電子學(xué)革命的量子力學(xué)的理論基礎(chǔ)。

要追溯虛數(shù)出現(xiàn)的軌跡，就要聯(lián)系與它相對(duì)實(shí)數(shù)的出現(xiàn)過(guò)程。我們知道，實(shí)數(shù)是與虛數(shù)相對(duì)應(yīng)的，它包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，也就是說(shuō)它是實(shí)實(shí)在在存在的數(shù)。

有理數(shù)出現(xiàn)的非常早，它是伴隨人們的生產(chǎn)實(shí)踐而產(chǎn)生的。

無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，應(yīng)該歸功于古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。無(wú)理數(shù)的出現(xiàn)，與德謨克利特的“原子論”發(fā)生矛盾。根據(jù)這一理論，任何兩個(gè)線段的比，不過(guò)是它們所含原子數(shù)目的經(jīng)。而勾股定理卻說(shuō)明了存在著不可通約的線段。

不可通約線段的存在，使古希臘的數(shù)學(xué)家感到左右為難，因?yàn)樗麄兊膶W(xué)說(shuō)中只有整數(shù)和分?jǐn)?shù)的概念，他們不能完全表示正方形對(duì)角線與邊長(zhǎng)的比，也就是說(shuō)，在他們那里，正方形對(duì)角線與邊長(zhǎng)的比不能用任何“數(shù)”來(lái)表示。西亞他們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)這個(gè)問(wèn)題，但是卻又讓它從自己的身邊悄悄溜走了，甚至到了希臘最偉大的代數(shù)學(xué)家丟番圖那里，方程的無(wú)理數(shù)解仍然被稱為是“不可能的”。
“虛數(shù)”這個(gè)名詞是17世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)制，因?yàn)楫?dāng)時(shí)的觀念認(rèn)為這是真實(shí)不存在的數(shù)字。后來(lái)發(fā)現(xiàn)虛數(shù)可對(duì)應(yīng)平面上的縱軸，與對(duì)應(yīng)平面上橫軸的實(shí)數(shù)同樣真實(shí)。
人們發(fā)現(xiàn)即使使用全部的有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，也不能解決代數(shù)方程的求解問(wèn)題。像x2+1=0這樣最簡(jiǎn)單的二次方程，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒(méi)有解。12世紀(jì)的印度大數(shù)學(xué)家婆什伽羅都認(rèn)為這個(gè)方程是沒(méi)有解的。他認(rèn)為正數(shù)的平方是正數(shù)，負(fù)數(shù)的平方也是正數(shù)，因此，一個(gè)正數(shù)的平方根是兩重的；一個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，因此負(fù)數(shù)不是平方數(shù)。這等于不承認(rèn)方程的負(fù)數(shù)平方根的存在。
到了16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾在其著作《大術(shù)》（《數(shù)學(xué)大典》）中，把記為1545R15-15m這是最早的虛數(shù)記號(hào)。但他認(rèn)為這僅僅是個(gè)形式表示而已。1637年法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾，在其《幾何學(xué)》中第一次給出“虛數(shù)”的名稱，并和“實(shí)數(shù)”相對(duì)應(yīng)。
1545年意大利米蘭的卡爾達(dá)諾發(fā)表了文藝復(fù)興時(shí)期最重要的一部代數(shù)學(xué)著作，提出了一種求解一般三次方程的求解公式：
形如：x3+ax+b=0的三次方程解如下：
x={(-b/2)+[(b2)/4+(a3)/27]1/2}1/3+{(-b/2)-[(b2)/4+(a3)/27]1/2}1/3
當(dāng)卡丹試圖用該公式解方程x3-15x-4=0時(shí)他的解是：x=[2+(-121)^(1/2)]^(1/3)+[2-(-121)^(1/2)]^(1/3)
在那個(gè)年代負(fù)數(shù)本身就是令人懷疑的，負(fù)數(shù)的平方根就更加荒謬了。因此卡丹的公式給出x=(2+j)+(2-j)=4。容易證明x=4確實(shí)是原方程的根，但卡丹不曾熱心解釋(-121)1/2的出現(xiàn)。認(rèn)為是“不可捉摸而無(wú)用的東西”。
直到19世紀(jì)初，高斯系統(tǒng)地使用了i這個(gè)符號(hào)，并主張用數(shù)偶（a、b）來(lái)表示a+bi，稱為復(fù)數(shù)，虛數(shù)才逐步得以通行。
由于虛數(shù)闖進(jìn)數(shù)的領(lǐng)域時(shí)，人們對(duì)它的實(shí)際用處一無(wú)所知，在實(shí)際生活中似乎沒(méi)有用復(fù)數(shù)來(lái)表達(dá)的量，因此在很長(zhǎng)一段時(shí)間里，人們對(duì)它產(chǎn)生過(guò)種種懷疑和誤解。笛卡爾稱“虛數(shù)”的本意就是指它是虛假的；萊布尼茲則認(rèn)為：“虛數(shù)是美妙而奇異的神靈隱蔽所，它幾乎是既存在又不存在的兩棲物?！睔W拉盡管在許多地方用了虛數(shù)，但又說(shuō)：“一切形如,√-1，√-2的數(shù)學(xué)式子都是不可能有的，想象的數(shù)，因?yàn)樗鼈兯硎镜氖秦?fù)數(shù)的平方根。對(duì)于這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻。”
繼歐拉之后，挪威測(cè)量學(xué)家維塞爾提出把復(fù)數(shù)（a+bi）用平面上的點(diǎn)來(lái)表示。后來(lái)高斯又提出了復(fù)平面的概念，終于使復(fù)數(shù)有了立足之地，也為復(fù)數(shù)的應(yīng)用開(kāi)辟了道路。現(xiàn) 在，復(fù)數(shù)一般用來(lái)表示向量（有方向的量），這在水利學(xué)、地圖學(xué)、航空學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，虛數(shù)越來(lái)越顯示出其豐富的內(nèi)容。

i 的高次方會(huì)不斷作以下的循環(huán)：
i1 = i
i2= - 1
i3 = - i
i4 = 1
i5 = i
i6 = - 1
...
in具有周期性，且最小正周期是4.
那么 i4n=1
i4n+1=i
i4n+2=-1
i4n+3=-i
由于虛數(shù)特殊的運(yùn)算規(guī)則，出現(xiàn)了符號(hào)i
當(dāng)ω=-1/2+（√3）/2i或ω=-1/2-（√3）/2i時(shí)：
ω2 + ω + 1 = 0
ω3 = 1

許多實(shí)數(shù)的運(yùn)算都可以推廣到i，例如指數(shù)、對(duì)數(shù)和三角函數(shù)。
一個(gè)數(shù)的ni次方為：
xni = cos(ln(xn)) + i sin(ln(xn)).
一個(gè)數(shù)的ni次方根為：
x1/ni= cos(ln(x1/n)) - i sin(ln((x1/n)).
以i為底的對(duì)數(shù)為：
log_i(x) = 2 ln(x)/ iπ.
i的余弦是一個(gè)實(shí)數(shù)：
cos(i) = cosh(1) = (e + 1/e)/2 = (e2 + 1) /2e = 1.54308064.
i的正弦是虛數(shù)：
sin(i) = sinh(1) i =[(e - 1/e)/ 2]i = 1.17520119 i.
i,e,π,0和1的奇妙關(guān)系：
eiπ+1=0
ii=e-π/2

1777年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler，或譯為歐勒)開(kāi)始使用符號(hào)i表示虛數(shù)的單位。而后人將虛數(shù)和實(shí)數(shù)有機(jī)地結(jié)合起來(lái),寫(xiě)成a+bi形式 (a、b為實(shí)數(shù)，a等于0時(shí)叫純虛數(shù)，ab都不等于0時(shí)叫復(fù)數(shù)，b等于0時(shí)就是實(shí)數(shù))。
通常，我們用符號(hào)C來(lái)表示復(fù)數(shù)集，用符號(hào)R來(lái)表示實(shí)數(shù)集。

虛數(shù) 原作：勞倫斯·馬克·萊瑟（阿姆斯特朗大西洋州立學(xué)院）
翻譯：徐國(guó)強(qiáng)
虛文自古向空構(gòu)，艾字如今可倍乘。所問(wèn)逢人驚詫甚，生活何處有真能？嗟哉小試調(diào)音放，訝矣大為掌夜燈。三極管中知用否，交流電路肯咸恒。憑君漫問(wèn)荒唐義，負(fù)值求根疑竇增。情類當(dāng)初聽(tīng)?wèi)T耳，事關(guān)負(fù)數(shù)見(jiàn)折肱。幾分繁復(fù)融學(xué)域，百計(jì)聯(lián)席悅有朋。但看幾何三角地，蓬勃艾草意同承[①]。
IMAGINARY by Lawrence Mark LesserArmstrong Atlantic State University
Imaginary numbers, multiples of iEverybody wonders, 'are they used in real life?'Well, try the amplifier I'm using right now -- A.C.!You say it's absurd,this root of minus one.but the same things once were heardAbout the number negative one!Imaginary numbers are a bit complex,But in real mathematics, everything connects:Geometry, trig and call all see 'i to i.'
[①] see 'i to i.'指可見(jiàn)虛數(shù)符號(hào)的應(yīng)用，并諧音雙關(guān)see eye to eye 為意見(jiàn)一致引