勾股定理之所以被西方稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”，是因?yàn)楫呥_(dá)哥拉斯學(xué)派第一個(gè)證明了它的普遍正確性。即使我們應(yīng)用它的歷史記錄早了1000年，我們可能并不能確定它對任何的直角三角形都成立，而只能確定它對我們所測試的三角形成立。
但是畢達(dá)哥拉斯怎樣知道這個(gè)定理對于每個(gè)直角三角形都是成立的呢？他不可能期望測試所有的不同的直角三角形（不完全歸納），然而他仍然百分百的確信這個(gè)定理絕對正確。讓他如此篤定的原因就是——數(shù)學(xué)證明這個(gè)概念。尋找一個(gè)證明就是尋找一種認(rèn)識(shí)，這種認(rèn)識(shí)比任何別的訓(xùn)練所積累的認(rèn)識(shí)都更不容置疑。
這種證明不但可以獲得親人和朋友的掌聲，就是你的敵人也只能俯首稱臣、毫無辯駁。
2500年來，驅(qū)使著數(shù)學(xué)家甘心的賠上生命的正是這種以證明的方法發(fā)現(xiàn)最終真理的欲望。
1、 證明的絕對性
經(jīng)典的數(shù)學(xué)證明辦法是從一系列公理、陳述出發(fā)，這些陳述有些可以是假定為真的，有些則是顯然為真的；然后通過邏輯論證，一步接一步，最后就可能得到某個(gè)結(jié)論。公理是正確的，邏輯也無缺陷，那么得到的結(jié)論將是不可不否定的。這個(gè)結(jié)論就是一個(gè)定理。
數(shù)學(xué)證明是依靠邏輯過程，而且一經(jīng)證明就永遠(yuǎn)是對的，這就是數(shù)學(xué)證明的絕對性。
為什么數(shù)學(xué)證明必須是絕對正確的呢？
如果一個(gè)定理不被完全證明就當(dāng)作是正確的，那么它就會(huì)被用于另外一系列別的較大的證明中不可或缺的要素。然后這些較大的證明又被用另外一些證明，如此以往，可能有成百上千個(gè)定理要依賴于這個(gè)最初的未經(jīng)核查的定理的正確性。萬一在某個(gè)時(shí)候發(fā)現(xiàn)這個(gè)最初被依賴的定理是錯(cuò)的，那龐大的數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)?huì)崩潰。
數(shù)學(xué)證明是不能靠舉例完成的，舉例法唯一能用的場合就是反證法，即證偽。證明是使用再多的例子都沒有用。而這一點(diǎn)在我們的教育中是如此地荒謬。我們在上學(xué)時(shí)，寫文章經(jīng)常被要求舉例，這些都是邏輯上嚴(yán)重的漏洞，我們卻一代一代的傳承下來了（這也是不同學(xué)科的特點(diǎn)決定的，這里只是借此說明數(shù)學(xué)的邏輯性，別無他意）。
定理是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因?yàn)橐坏┧鼈兊恼_性被證明，就可以放心地在它們上面建立別的定理。任何依賴猜想而進(jìn)行的邏輯推理，其本身也是一個(gè)猜想。
畢達(dá)哥拉斯說“萬物皆數(shù)”，這個(gè)結(jié)論他沒有給出完美的證明，也就是說這只能是個(gè)猜想。但可惜的是，他猜錯(cuò)了。據(jù)說，他的一個(gè)叫希伯索斯的學(xué)生問他，一個(gè)直角邊長均為1的直角三角形的斜邊長是多少？希帕索斯不知道經(jīng)過怎樣的計(jì)算，發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)并不能用分?jǐn)?shù)來表示，也就是說畢達(dá)哥拉斯前面剛提出來的“萬物皆數(shù)”被無數(shù)人認(rèn)為是真理的理論竟然是錯(cuò)誤的，大廈將傾？希伯索斯的問題直擊畢達(dá)哥拉斯的心臟，為了自己的名譽(yù)與地位，狠心的畢達(dá)哥拉斯和他的門徒把希伯索斯丟進(jìn)了大海。
2、 無理數(shù)
所有的可以寫成分?jǐn)?shù)形式P/Q（Q≠0，P、Q是既約分?jǐn)?shù)）的數(shù)都是有理數(shù)，無理數(shù)就是不能寫成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)。為什么√2不是有理數(shù)呢？它為什么不能表述成上述形式呢？
2.1√2是無理數(shù)
√2是無理數(shù)的證明方法有很多，下面給出簡單又實(shí)用的三種證法。
2.1.1（反證法）
假設(shè)√2為有理數(shù),那么存在兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)p,q（互質(zhì)公約數(shù)只有1的兩個(gè)整數(shù)）,使得:
√2=p/q
于是p=(√2)q
兩邊平方得
p^2=2q^2(“^”是幾次方的意思）
由2q^2是偶數(shù),可得p^2是偶數(shù).而只有偶數(shù)的平方才是偶數(shù),所以p也是偶數(shù).
因此可設(shè)p=2s,代入上式,得：
4s^2=2q^2,
即
q^2=2s^2.
所以q也是偶數(shù).這樣,p,q都是偶數(shù),不互質(zhì),這與假設(shè)p,q互質(zhì)矛盾.
這個(gè)矛盾說明, √2不能寫成分?jǐn)?shù)的形式,即√2不是有理數(shù).
實(shí)際上這個(gè)證明的方法還可以有如下不同的解讀，
手工開根號(hào)2
2.2.2唯一分解法
假設(shè)(p/q)^2=2，那么p^2=2q^2。我們將要證明，一個(gè)數(shù)的平方等于另一個(gè)數(shù)的平方的兩倍是根本不可能的。如果對一個(gè)平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，它必然有偶數(shù)個(gè)因子（x^2的所有質(zhì)因子就是把x的質(zhì)因子復(fù)制成兩份）。于是，p^2有偶數(shù)個(gè)質(zhì)因子，q^2有偶數(shù)個(gè)質(zhì)因子，2q^2有奇數(shù)個(gè)質(zhì)因子。等號(hào)左邊的數(shù)有偶數(shù)個(gè)質(zhì)因子，等號(hào)右邊的數(shù)有奇數(shù)個(gè)質(zhì)因子，大家都知道這是不可能的，因?yàn)橥粋€(gè)數(shù)只有一種分解質(zhì)因數(shù)的方法（唯一分解定理）。
2.2.3無限下推法（輾轉(zhuǎn)相除法或無限遞降法）
由2.2.1可知，q也是偶數(shù)，設(shè)q=2t,
故而有√2= p/q=2s/2t=s/t,現(xiàn)在得到一個(gè)分?jǐn)?shù)s/t，它比p/q簡單。
然而，我們發(fā)現(xiàn)對s/t可以精確的重復(fù)以上的同一個(gè)過程，如此一次次重復(fù)下去，永遠(yuǎn)不會(huì)結(jié)束。但是任何分?jǐn)?shù)都不可能永遠(yuǎn)簡化下去，總有一個(gè)最簡單的分?jǐn)?shù)存在，而我們最初假設(shè)的不符合這個(gè)法則，故而，假設(shè)不成立。所以，√2是一個(gè)無理數(shù)。
這個(gè)過程可由如下圖解法進(jìn)行解釋:
現(xiàn)在看怎么解釋，在圖中的BC和BD之間進(jìn)行輾轉(zhuǎn)相除為什么永遠(yuǎn)不能停止。把BD減去BC，剩下一段DE。以DE為邊做一個(gè)新的小正方形DEFG，那么顯然DE=EF=FC（∵△EDF為等腰直角且△BEF≌△BCF）。接下來我們應(yīng)該在BC和DE間輾轉(zhuǎn)相除。BC就等于CD，CD減去一個(gè)DE相當(dāng)于減去一個(gè)FC，就只剩下一段DF了?，F(xiàn)在輪到DE和DF之間輾轉(zhuǎn)相除，而它們是一個(gè)新的正方形的邊和對角線，其比例正好與最初的BC和BD相當(dāng)。于是，這個(gè)操作再次回到原問題，并且無限遞歸下去。最后的結(jié)論用我們的話說就是，不存在一個(gè)數(shù)x使得BC和BD的長度都是x的整倍數(shù)。于是，BD/BC不能表示為兩個(gè)整數(shù)之比p/q（否則BD/p=BC/q，這就成為了那個(gè)x）。
還有一個(gè)更加簡潔的證明，這個(gè)證明雖然與前面的證明有些類似，但它的簡潔性讓我大為折服——沒有最簡，只有更簡，我們一直在路上。
同樣是證明不存在整數(shù)p, q使得p^2=2q^2，這個(gè)證明只需要一句話。假如p、q是最小的正整數(shù)使得p^2=2q^2，看圖，兩個(gè)邊長為q的小正方形放在一個(gè)邊長為p的大正方形里，那么圖中深灰色正方形的面積就等于兩個(gè)白色正方形面積之和（面積守恒），于是我們就找到了具有同樣性質(zhì)的更小的整數(shù)p和q，如此可以無限遞推下去------。
2.2第一次數(shù)學(xué)危機(jī)
希伯索斯的死并沒有引起人們對無理數(shù)問題的深入分析，無理數(shù)這個(gè)邏輯推理生出的怪蛋，一直困惑和折磨著有獨(dú)立意識(shí)的人們，人類認(rèn)識(shí)世界的腳步慢了。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的陰云開始長時(shí)間的籠罩著數(shù)學(xué)這座大廈的上空。（數(shù)學(xué)史上稱在“萬物皆數(shù)”的信仰統(tǒng)治下算不出正方形對角線的長這一數(shù)學(xué)困惑為第一次數(shù)學(xué)危機(jī)）
人類認(rèn)識(shí)無理數(shù)的過程，遠(yuǎn)要比想象的更加漫長和曲折。從希伯索斯起至基礎(chǔ)理論基本完備止，整整經(jīng)歷了二十多個(gè)世紀(jì)。從“無理數(shù)”三個(gè)字的含義，就足以表明人類接受這一概念的艱難程度。
數(shù)學(xué)家們經(jīng)過不懈的努力，終于在19世界給出了無理數(shù)的準(zhǔn)確定義和性質(zhì)，其中的代表人物有戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind ，1831-1916，偉大的德國數(shù)學(xué)家、理論家和教育家，近代抽象數(shù)學(xué)的先驅(qū)，是數(shù)學(xué)家高斯的得意門生）、羅素（Bertrand Arthur William Russell，1872年-1970年，英國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家、歷史學(xué)家、文學(xué)家，分析哲學(xué)的主要?jiǎng)?chuàng)始人，世界和平運(yùn)動(dòng)的倡導(dǎo)者和組織者）、康托爾（德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始人）、威爾斯斯特拉斯（年輕時(shí)是一位體育教師，快40歲才開始搞數(shù)學(xué)，真正成名已經(jīng)60歲，從他身上看出興趣是最好的老師，只有堅(jiān)持不懈的人才配有不朽的未來）等人。
由于無理數(shù)的引入，排除了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，或者我們應(yīng)該慶幸第一次數(shù)學(xué)危機(jī)來的早，使得無理數(shù)這個(gè)危機(jī)的闖入者早早登上了數(shù)學(xué)的舞臺(tái)。我們應(yīng)當(dāng)為希伯索斯鳴冤叫屈，佩服他的反抗意識(shí)與不屈的精神。傳說中的希伯索斯身高1.41米，體重141磅，他的生理指標(biāo)暗示他就是√2的化身，是上帝派來的天使。傳說只能是傳說，我們姑妄聽之，但有一點(diǎn)是不可姑妄的，那就是科學(xué)精神絕非信仰，科學(xué)是批判的與理智的、疑問的與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、?chuàng)造的和求實(shí)的，科學(xué)工作中不容忍迷信、崇拜和信仰，也希望宗教徒們不要總拉科學(xué)的大褂襟，為其布道保駕護(hù)航。
當(dāng)代生命科學(xué)中的政治糾纏:黃禹錫被打壓
歷史的教訓(xùn)在于給人類以教益?？茖W(xué)完全走出政治強(qiáng)權(quán)的陰影，完全走出李森科之流的陰影，這在今天仍然是人類的一項(xiàng)艱巨的任務(wù)?？刂普摰膭?chuàng)立者諾伯特·維納說：“科學(xué)是一種生活方式，它只在人們具有信仰自由的時(shí)候才能繁榮起來?；谕饨绲拿疃黄热プ駨牡男叛霾⒉皇鞘裁葱叛?，基于這種假信仰而建立起來的社會(huì)必然會(huì)由于癱瘓而導(dǎo)致滅亡，因?yàn)樵谶@樣的社會(huì)里，科學(xué)沒有健康生長的基礎(chǔ)?！?/strong>
3.實(shí)數(shù)
簡單性質(zhì)：
l 實(shí)數(shù)可實(shí)現(xiàn)的基本運(yùn)算有加、減、乘、除、乘方等，對非負(fù)數(shù)（即正數(shù)和0）還可以進(jìn)行開方運(yùn)算。實(shí)數(shù)加、減、乘、除（除數(shù)不為零）、平方后結(jié)果還是實(shí)數(shù)。任何實(shí)數(shù)都可以開奇次方，結(jié)果仍是實(shí)數(shù)，只有非負(fù)實(shí)數(shù)，才能開偶次方其結(jié)果還是實(shí)數(shù)。
l 實(shí)數(shù)集R對加、減、乘、除（除數(shù)不為零）四則運(yùn)算具有封閉性，即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為零）仍然是實(shí)數(shù)。
l 實(shí)數(shù)集是有序的，即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b必定滿足下列三個(gè)關(guān)系之一：a<b,a=b,a>b.
l 實(shí)數(shù)大小具有傳遞性，即若a>b,b>c,則有a>c.
l 實(shí)數(shù)集R具有稠密性，即兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)之間必有另一個(gè)實(shí)數(shù)，既有有理數(shù)，也有無理數(shù).
l 如果在一條直線（通常為水平直線）上確定O作為原點(diǎn)，指定一個(gè)方向?yàn)檎较颍ㄍǔ０阎赶蛴业姆较蛞?guī)定為正方向），并規(guī)定一個(gè)單位長度，則稱此直線為數(shù)軸。任一實(shí)數(shù)都對應(yīng)與數(shù)軸上的唯一一個(gè)點(diǎn)；反之，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)也都唯一的表示一個(gè)實(shí)數(shù)。于是，實(shí)數(shù)集R與數(shù)軸上的點(diǎn)有著一一對應(yīng)的關(guān)系。
l 實(shí)數(shù)集是不可數(shù)的，也就是說，實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)嚴(yán)格多于自然數(shù)的個(gè)數(shù)（盡管兩者都是無窮大）。后續(xù)會(huì)有專門論述
4、 虛數(shù)
4.1虛數(shù)出現(xiàn)與發(fā)展
正當(dāng)人們依舊困惑于負(fù)數(shù)和無理數(shù)的時(shí)候，另一位披著神秘面紗的不速之客出現(xiàn)了。
12世紀(jì)的印度大數(shù)學(xué)家婆什伽羅認(rèn)為方程x^2+1=0是沒有解的。他認(rèn)為正數(shù)的平方是正數(shù)，負(fù)數(shù)的平方也是正數(shù)，因此，一個(gè)正數(shù)的平方根是兩重的；一個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)沒有平方根，因此負(fù)數(shù)不是平方數(shù)。這等于不承認(rèn)方程的負(fù)數(shù)平方根的存在。
1484年，法國數(shù)學(xué)家舒開在一本書中，把方程4+x2=3x的根寫成：
盡管他一再聲明這根是不存在的，但畢竟第一次在形式上出現(xiàn)了負(fù)數(shù)的平方根。
1545，意大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)在討論是否可能將10分為兩個(gè)部分，而使兩者之積等于40時(shí)，他指出：盡管這個(gè)問題沒有實(shí)數(shù)解，然而，假如把答案寫成如下兩個(gè)令人詫異的形式，就能滿足題目的要求。他驗(yàn)證說（利用的工具是韋達(dá)定理）：
1637年法國數(shù)學(xué)家笛卡爾，在其《幾何學(xué)》中第一次給出“虛數(shù)”（ 本意就是指它是虛假的）的名稱，并和“實(shí)數(shù)”相對應(yīng)。
又大約過了140年，大數(shù)學(xué)家歐拉開始使用i（imaginary虛幻）表示√-1。歐拉盡管在許多地方用了虛數(shù)，但又說：“一切形如,√-1，√-2的數(shù)學(xué)式子都是不可能有的，想象的數(shù)，因?yàn)樗鼈兯硎镜氖秦?fù)數(shù)的平方根。對于這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻?！?/p>
1801年，高斯系統(tǒng)地使用了符號(hào)i，并把它與實(shí)數(shù)混成物a+bi(a,b為實(shí)數(shù))稱為復(fù)數(shù)。此后i與復(fù)數(shù)便漸漸通行于世界。
大膽揭示虛數(shù)神秘面紗的，是挪威的測量學(xué)家魏塞爾，他找到了復(fù)數(shù)的幾何表示法。
4.2虛數(shù)的解釋與表示
4.2.1什么是虛數(shù)？
首先，假設(shè)有一根數(shù)軸，上面有兩個(gè)反向的點(diǎn)：+1和-1。
這根數(shù)軸的正向部分，可以繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。顯然，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度，+1就會(huì)變成-1。
這相當(dāng)于兩次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度。
因此，我們可以得到下面的關(guān)系式：
(+1) * (逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度) * (逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度) = (-1)
如果把+1消去，這個(gè)式子就變?yōu)椋?/p>
(逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度)^2 = (-1)
將'逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度'記為 i ：
i^2 = (-1)
這個(gè)式子很眼熟，它就是虛數(shù)的定義公式。
所以，我們可以知道，虛數(shù) i 就是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，i 不是一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)旋轉(zhuǎn)量。
4.2.2復(fù)數(shù)的定義
既然 i 表示旋轉(zhuǎn)量，我們就可以用 i ，表示任何實(shí)數(shù)的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)。
將實(shí)數(shù)軸看作橫軸，虛數(shù)軸看作縱軸，就構(gòu)成了一個(gè)二維平面。旋轉(zhuǎn)到某一個(gè)角度的任何正實(shí)數(shù)，必然唯一對應(yīng)這個(gè)平面中的某個(gè)點(diǎn)。
只要確定橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，比如( 1 , i )，就可以確定某個(gè)實(shí)數(shù)的旋轉(zhuǎn)量（45度）。
數(shù)學(xué)家用一種特殊的表示方法，表示這個(gè)二維坐標(biāo)：用 + 號(hào)把橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)連接起來。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。這種表示方法就叫做復(fù)數(shù)（complex number），其中 1 稱為實(shí)數(shù)部，i 稱為虛數(shù)部。
道路是曲折的，前途是光明的。在我們振臂高呼的時(shí)候不要忘了那些為科學(xué)默默奮斗的科學(xué)家，為他們點(diǎn)個(gè)贊吧。
5.復(fù)數(shù)
形如z=a+bi的數(shù)稱為復(fù)數(shù)（complex number)，其中規(guī)定i為虛數(shù)單位，且i^2=i×i=－1（a，b是任意實(shí)數(shù)）
我們將復(fù)數(shù)z=a+bi中的實(shí)數(shù)a稱為復(fù)數(shù)z的實(shí)部（real part)記作Rez=a
實(shí)數(shù)b稱為復(fù)數(shù)z的虛部（imaginary part）記作 Imz=b.
已知：當(dāng)b=0時(shí)，z=a，這時(shí)復(fù)數(shù)成為實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0；
當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，z=bi，我們就將其稱為純虛數(shù)。
將復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的平方和的正的平方根的值稱為該復(fù)數(shù)的模，記作∣z∣.
即對于復(fù)數(shù)z=a+bi，它的模
∣z∣=√（a2+b2)
復(fù)數(shù)的集合用C表示，實(shí)數(shù)的集合用R表示，顯然，R是C的真子集。
復(fù)數(shù)集是無序集，不能建立大小順序。
至此數(shù)的發(fā)展史已全部寫完，其中有詳有略，感謝喜歡的朋友，因?yàn)閭€(gè)人能力有限如有不當(dāng)之處歡迎批評(píng)指正。其中包含的豐富的人生哲理這里不再贅述，只想說科學(xué)的發(fā)展道路注定是坎坷的、艱辛的，甚至是殘酷的、血腥的。愿我們能溫柔以待那些和我們膚色不同的人、思想不同的人、習(xí)俗不同的人，少一點(diǎn)侮辱、少一點(diǎn)殘忍、少一點(diǎn)爭斗，畢竟科學(xué)發(fā)展的終極目的就是讓我們有權(quán)利成為自己，并且會(huì)被寬容的對待。
注：下次更新關(guān)于“運(yùn)算”的思考，歡迎朋友們關(guān)注與討論。
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