如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，2)，D是OA的中點(diǎn)，OE⊥CD交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線OE運(yùn)動(dòng)．
(1)求直線OE的解析式；
(2)設(shè)以C，P，D，B為頂點(diǎn)的凸四邊形的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位：秒)，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；
(3)設(shè)點(diǎn)N為矩形的中心，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P，使以P，C，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解析：
(1)正比例函數(shù)，代入點(diǎn)E坐標(biāo)即可。由題目條件可知△COD為等腰直角三角形，OE⊥CD，可得△OCE也為等腰三角形，從而E為BC中點(diǎn)，坐標(biāo)不難求；
(2)點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，分成在線段OF上，線段FE上和剩余射線上三種情況，不妨用鉛筆在圖上描畫(huà)一番，由于題目限定了是凸四邊形，所以當(dāng)點(diǎn)P在線段FE上時(shí)，不符合要求，剩下兩段符合，如下圖所示：
求四邊形面積時(shí)，通常將它分割成兩個(gè)三角形，恰好有一個(gè)△CBD面積始終為定值，當(dāng)點(diǎn)P在線段OF上時(shí)，我們只需要關(guān)注△CDP，此時(shí)PF即為它的高，CD為底，PF=OF-OP=√2-2t，CD=2√2；
而當(dāng)點(diǎn)P在剩余射線上時(shí)，我們只需要關(guān)注△CBP，此時(shí)它的底為CB，高為PG，PG=PE÷√2=(OP-OE)÷√2=(2t-2√2)÷√2=√2t-2,如下圖所示：S與t的函數(shù)關(guān)系式請(qǐng)自行求解。
(3)解決直角三角形的存在性問(wèn)題，先確定哪個(gè)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，例如這里點(diǎn)P、C、N均有可能，但是C和N是兩個(gè)定點(diǎn)，優(yōu)先從它們開(kāi)始討論
，若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，那么CN便為其一條直角邊，我們過(guò)點(diǎn)C作CN的垂線，就能得到這個(gè)直角三角形的另一條直角邊，可我們發(fā)現(xiàn)，這條垂線與直線OE的交點(diǎn)不在射線OE上，不符合要求，如下圖所示；
若點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)，我們過(guò)點(diǎn)N作CN的垂線，發(fā)現(xiàn)它與射線OE有一個(gè)交點(diǎn)，它就是我們找到的第一個(gè)符合條件的P點(diǎn)。下面我們來(lái)求t值和它的坐標(biāo)，利用解析法，先求直線AC的解析式，找到它的斜率，然后根據(jù)互相垂直的直線，斜率互為負(fù)倒數(shù)，得到直線PN的斜率，代入點(diǎn)N坐標(biāo)，即得PN解析式，再聯(lián)立OE和PN解析式，求出交點(diǎn)P坐標(biāo)，最后根據(jù)OP=2t求出t值，如下圖所示；
若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，意味著CN為斜邊，此時(shí)難點(diǎn)在于如何確定P在射線OE上的位置，至少要作出草圖，相比拿鉛筆在上面亂點(diǎn)一氣，不如靜下心來(lái)好好想想，怎么準(zhǔn)確地找到它。這時(shí)最有效的工具便是圓周角，如果以CN為直徑作圓，這個(gè)圓與射線OE有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)一定是我們要找的P點(diǎn)，因?yàn)椤螩PN是直徑所對(duì)的圓周角，如下圖：
我們作圖后發(fā)現(xiàn)，有一個(gè)P點(diǎn)恰好與E點(diǎn)重合，這是正常的，而另一個(gè)交點(diǎn)位于線段OF上，是本題難點(diǎn)，利用平面內(nèi)兩點(diǎn)距離公式，分別求出CP2、PN2，利用勾股定理列出一個(gè)關(guān)于t的一元二次方程，這個(gè)方程可用十字相乘法或配方法來(lái)解，兩根分別是無(wú)理數(shù)，請(qǐng)根據(jù)以上思路自行求解。
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