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【問(wèn)題描述】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（5,3），在x軸上找一點(diǎn)C使得△ABC是直角三角形，求點(diǎn)C坐標(biāo)．

【幾何法】?jī)删€(xiàn)一圓得坐標(biāo)

（1）若∠A為直角，過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線(xiàn)，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C；

（2）若∠B為直角，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線(xiàn)，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C；

（3）若∠C為直角，以AB為直徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C．（直徑所對(duì)的圓周角為直角）

重點(diǎn)還是如何求得點(diǎn)坐標(biāo)，C1、C2求法相同，以C2為例：

【構(gòu)造三垂直】

C3、C4求法相同，以C3為例：

構(gòu)造三垂直步驟：

第一步：過(guò)直角頂點(diǎn)作一條水平或豎直的直線(xiàn)；

第二步：過(guò)另外兩端點(diǎn)向該直線(xiàn)作垂線(xiàn)，即可得三垂直相似．

【代數(shù)法】表示線(xiàn)段構(gòu)勾股

還剩下C1待求，不妨來(lái)求下C1：

【解析法】

還有個(gè)需要用到一個(gè)教材上并沒(méi)有出現(xiàn)但是大家都知道的算法：

互相垂直的兩直線(xiàn)斜率之積為-1．

考慮到直線(xiàn)AC1與AB互相垂直，k1k2=-1，

可得：kAC=-2，

又直線(xiàn)AC1過(guò)點(diǎn)A（1,1），

可得解析式為：y=-2x+3，

所以與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（1.5,0），

即C1坐標(biāo)為（1.5,0）．

確實(shí)很簡(jiǎn)便，但問(wèn)題是這個(gè)公式出現(xiàn)在高中的教材上~

再特殊一些，如果問(wèn)題變?yōu)榈妊苯侨切未嬖谛?，則同樣可采取上述方法，只不過(guò)三垂直得到的不是相似，而是全等．

【等腰直角存在性——三垂直構(gòu)造全等】

通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決問(wèn)題．

【模型呈現(xiàn)】

如圖，在Rt△ABC，∠ACB=90°，將斜邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，可以推理得到△ABC≌△DAE，進(jìn)而得到AC=DE，BC=AE．

我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型成為“K型”．

推理過(guò)程如下：

【模型遷移】

二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖像交x軸于點(diǎn)A（-1,0），B（4,0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸交直線(xiàn)BC于點(diǎn)N，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，連接AC，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx+2的表達(dá)式；

（2）在直線(xiàn)MN上存在一點(diǎn)P，當(dāng)△PBC是以∠BPC為直角的等腰直角三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．

【直角頂點(diǎn)已知or未知】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=1/2x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B（3,0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)AC與拋物線(xiàn)的另一交點(diǎn)為C（4，5/2），與y軸交點(diǎn)為D，點(diǎn)P是直線(xiàn)AC下方的拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合）．

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式．

（2）點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△OPQ是以O(shè)P為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【小結(jié)】對(duì)于構(gòu)造三垂直來(lái)說(shuō)，直角頂點(diǎn)已知的和直角頂點(diǎn)的未知的完全就是兩個(gè)題目！

也許能畫(huà)出大概位置，但如何能畫(huà)出所有情況，才是問(wèn)題的關(guān)鍵．

其實(shí)只要再明確一點(diǎn)，構(gòu)造出三垂直后，表示出一組對(duì)應(yīng)邊，根據(jù)相等關(guān)系列方程求解即可．

【對(duì)未知直角頂點(diǎn)的分析】

如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+2交x軸于點(diǎn)A（-3,0）和點(diǎn)B（1,0），交y軸于點(diǎn)C．

（1）求這個(gè)拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式．

（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1,0），點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ADCP面積的最大值．

（3）點(diǎn)M為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)，問(wèn)：在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)N，使△MNO為等腰直角三角形，且∠MNO為直角？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【小結(jié)】無(wú)論直角頂點(diǎn)確定與否，事實(shí)上，所有的情況都可以歸結(jié)為同一個(gè)方程：NE=FM．故只需在用點(diǎn)坐標(biāo)表示線(xiàn)段時(shí)加上絕對(duì)值，便可計(jì)算出可能存在的其他情況．

一般直角三角形存在性，同樣構(gòu)造三垂直，區(qū)別于等腰直角構(gòu)造的三垂直全等，沒(méi)了等腰的條件只能得到三垂直相似．

而題型的變化在于動(dòng)點(diǎn)或許在某條直線(xiàn)上，也可能在拋物線(xiàn)上等．

【對(duì)稱(chēng)軸上尋動(dòng)點(diǎn)】

如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-1，且拋物線(xiàn)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，其中A（1,0），C（0,3）．

（1）若直線(xiàn)y=mx+n經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，求直線(xiàn)BC和拋物線(xiàn)的解析式；

（2）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=-1上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)P為拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【拋物線(xiàn)上尋動(dòng)點(diǎn)】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=ax2+2x+c與x軸交于A（-1,0），B（3,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式和直線(xiàn)AC的解析式；

（2）請(qǐng)?jiān)趛軸上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）試探究：在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，P，C為頂點(diǎn)，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【動(dòng)點(diǎn)還可能在……】

如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx-2（a≠0）與x軸交于A（-3,0），B（1,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線(xiàn)y=-x與該拋物線(xiàn)交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式．

（2）P是直線(xiàn)EF下方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PH⊥EF于點(diǎn)H，求PH的最大值．

（3）以點(diǎn)C為圓心，1為半徑作圓，圓C上是否存在點(diǎn)M，使得△BCM是以CM為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．