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一、問題的提出

《有理數(shù)乘法》屬于《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》中的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，是學(xué)生在學(xué)會有理數(shù)加法后學(xué)習(xí)的又一運算類型，它與有理數(shù)的加法運算一樣，也是以小學(xué)算術(shù)為基礎(chǔ)，即有理數(shù)的乘法運算在確定“積”的符號后，其實質(zhì)就是小學(xué)數(shù)學(xué)中的乘法運算.因此，教學(xué)的關(guān)鍵就是如何把中學(xué)有理數(shù)的乘法運算化歸為小學(xué)數(shù)學(xué)中的乘法運算.由于有理數(shù)的乘法是有理數(shù)最基本的運算之一，所以它是進一步學(xué)習(xí)有理數(shù)運算的基礎(chǔ)，也是今后學(xué)習(xí)實數(shù)運算、代數(shù)式運算、解方程以及函數(shù)知識的基礎(chǔ).學(xué)好這部分內(nèi)容，對增強學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)的信心具有十分重要的意義.

由于初一學(xué)生剛接觸負(fù)數(shù)，對負(fù)數(shù)的意義理解不深，因此，與小學(xué)數(shù)學(xué)中的乘法比較，學(xué)生對含有負(fù)數(shù)，特別是兩個負(fù)數(shù)相乘的意義理解，其思維角度變化較大，思維強度也增大.所以，本節(jié)課的重點是有理數(shù)乘法法則，難點是法則的生成（特別是符號法則的生成）.綜上所述，在有理數(shù)乘法的教學(xué)過程中，法則的生成應(yīng)成為課堂教學(xué)中重難點的突破點.筆者曾先后聽了《有理數(shù)乘法（1）》的兩節(jié)課，這兩節(jié)課設(shè)計的教學(xué)框架基本相同，分為以下三個環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)1：回顧小學(xué)學(xué)過的數(shù)及其運算類型，結(jié)合剛學(xué)完的有理數(shù)的概念、有理數(shù)加法，提出本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)——“有理數(shù)的乘法”；

環(huán)節(jié)2：引導(dǎo)學(xué)生在探究中歸納得出有理數(shù)乘法法則；

環(huán)節(jié)3：有理數(shù)乘法法則的簡單應(yīng)用及從中得出的倒數(shù)的定義.

這兩節(jié)課的不同之處主要在于環(huán)節(jié)2中的細(xì)節(jié)處理上.具體實施時，兩節(jié)課都在45分鐘內(nèi)完成了教學(xué)，在學(xué)生的練習(xí)反饋上，學(xué)生似乎也都會了，只是兩節(jié)課上學(xué)生在看演示實驗時的情緒、表情卻相差很多.聽完課后，筆者又認(rèn)真研究了有理數(shù)乘法法則生成的教學(xué)，反復(fù)觀看這兩位教師的教學(xué)錄像，追蹤學(xué)生的思維過程，同時也調(diào)查了初一學(xué)生對有理數(shù)乘法的理解，再反思我們教師的日常教學(xué)，提出自己粗淺的見解，供大家參考.

二、有理數(shù)乘法法則生成的教學(xué)情境

情境A

問題1：小學(xué)時我們學(xué)了哪些數(shù)？學(xué)了哪些運算？我們從小學(xué)升到中學(xué)，又學(xué)了什么數(shù)？又學(xué)了什么運算？

問題2：小學(xué)時，我們已經(jīng)熟悉了正數(shù)及0的乘法運算，引入負(fù)數(shù)以后，怎樣進行有理數(shù)的乘法運算呢？（出示課題）

問題3：如圖1，一只蝸牛沿直線l爬行，它現(xiàn)在的位置恰好在點O上.我們規(guī)定：向左為負(fù)，向右為正，現(xiàn)在前為負(fù)，現(xiàn)在后為正.看看它以相同速度沿不同方向運動后的情況吧?。ń柚嗝襟w技術(shù)，逐一進行實驗演示）

由上可知：

（1）2×3=____；

（2）（-2）×3=____；

（3）（+2）×（-3）=____；

（4）（-2）×（-3）=____；

（5）兩個數(shù)相乘，一個數(shù)是0時，結(jié)果為0.教師進行動畫演示，要求學(xué)生在觀察的同時完成填空.

問題4：觀察上面的式子，你有什么發(fā)現(xiàn)？能說出有理數(shù)乘法法則嗎？

隨后教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出法則.

情境B

問題1：我們小學(xué)時學(xué)過了正數(shù)和0的四則運算及其運算律，升入中學(xué)后又學(xué)了什么數(shù)、什么運算？還應(yīng)學(xué)什么運算呢？教師出示課題.

問題2：有理數(shù)按其性質(zhì)符號可分為哪幾類？由此，請同學(xué)們想一想有理數(shù)相乘會有幾種類型？除去小學(xué)時已經(jīng)會的正數(shù)乘正數(shù)、正數(shù)乘以0后，若將其余的情形沿用小學(xué)已學(xué)的乘法交換律，又可簡化為幾種？（教師將學(xué)生的結(jié)論寫在黑板上，指出今天的學(xué)習(xí)任務(wù)即為解決負(fù)數(shù)乘正數(shù)、負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)乘0的問題）

問題3：同學(xué)們能將今天的任務(wù)具體到三道題目嗎？（教師將學(xué)生任意出的相應(yīng)的題出示在題板上：（-6）×（+5），（-7）×0，（-2）×（-3），再提問）這些題怎么算呢？教師引導(dǎo)學(xué)生對這三道題逐一進行分析討論.

首先研究（-6）×（+5）：

生1：（-6）×（+5）=-30.

教師問：為什么呢？

生1：5×6=30，而-6有負(fù)號嘛.

生2：根據(jù)法則嘛.

生3：因為-6的絕對值大于+5的絕對值，所以結(jié)果為負(fù).

生4：根據(jù)小學(xué)的經(jīng)驗，（-6）×（+5）就表示5個（-6）相加，和是-30.

教師與學(xué)生共同分析得出，生4的方法最合理.

接著研究（-7）×0：

生齊答：任何數(shù)與0相乘都得0.

最后研究（-2）×（-3）：

生5：（-2）×（-3）=+6.

師：為什么不是-6呢？能否也用小學(xué)時的經(jīng)驗進行思考？

教師引導(dǎo)學(xué)生一起尋求解題的思路：首先，（-2）×0=0，而怎樣的兩個數(shù)相加會得0呢？比如（-3）+（+3）=0，所以（-2）與0相乘就可以看成（-2）與（-3）+（+3）相乘，依據(jù)小學(xué)時的分配律，就等于（-2）×（-3）+（-2）×（+3），由前面可知，（-2）×（+3）=（-2）+（-2）+（-2）=-6，所以（-2）×（-3）就是-6的相反數(shù)+6，即（-2）×（-3）=+6.

問題4：以上三道題的解決都沿用了同學(xué)們小學(xué)時已經(jīng)學(xué)過的知識，也就是在假設(shè)小學(xué)的運算律對中學(xué)的有理數(shù)仍能適用的前提下得到的，那么，所得的答案是否符合實際情形呢？請同學(xué)們觀察以下實驗：如圖1，一只蝸牛沿直線l爬行，它現(xiàn)在的位置恰好在點O上.我們規(guī)定：向左為負(fù)，向右為正，現(xiàn)在前為負(fù)，現(xiàn)在后為正.看看它以相同速度沿不同方向運動后的情況吧?。ń柚嗝襟w技術(shù)，逐一進行實驗演示）

問題5：觀察上面實驗中得出的式子，再結(jié)合我們剛才假設(shè)下得出的結(jié)論，你有什么發(fā)現(xiàn)？由此，你能總結(jié)出關(guān)于有理數(shù)乘法的規(guī)則嗎？

隨后教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出法則.

三、兩節(jié)有理數(shù)乘法法則生成課例的教學(xué)反思

1.有理數(shù)乘法法則為什么要從符號和絕對值兩方面進行規(guī)定

在課余，筆者曾口頭調(diào)查過一些學(xué)生，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的回答很不一致：

生1：課本中的法則就是這么寫的.

生2：這樣會好記些吧？老師讓大家就是先定符號再定絕對值的.

生3：因為有理數(shù)加法的法則也是從這兩方面進行定義的，乘法也差不多吧.

顯然，這些回答都是“答非所問”，原因就是很多學(xué)生根本沒有思考過這個問題，或者教師在課堂上也根本沒問過這個問題.所以，學(xué)生對于這法則的得出，或是源于教師的課堂教學(xué)，或者就是從書上看來的，而很少有從有理數(shù)本身的角度去研究有理數(shù)乘法法則的.反思這兩節(jié)課中法則的生成過程，兩位教師都是從已有知識出發(fā)，通過探究，歸納出法則，再到鞏固應(yīng)用，而缺少了一個環(huán)節(jié)——讓學(xué)生歸納出法則后，再得出有理數(shù)與有理數(shù)相乘后所得的積仍是有理數(shù)，所以法則的實質(zhì)就是為了確定“積”這個有理數(shù).事實上，有理數(shù)的加、減、乘、除的結(jié)果都仍是有理數(shù)，我們的教師若能在生成法則后都及時進行這一本質(zhì)的回歸，則既能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，又能對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力起到積極的效果.

2.有理數(shù)乘法法則與有理數(shù)加法法則之間的遷移關(guān)系

有理數(shù)乘法是繼有理數(shù)加法后的又一運算類型，它與加法都屬于有理數(shù)的基本運算，學(xué)生剛學(xué)完有理數(shù)的加法，體驗到有理數(shù)的運算來源于生活又用于解決實際問題，能讓學(xué)生對后續(xù)的有理數(shù)的運算產(chǎn)生學(xué)習(xí)的動力；有理數(shù)的加法法則是從符號和絕對值兩方面進行考慮的，這有利于有理數(shù)乘法法則歸納思路的形成；小學(xué)時學(xué)過的加法運算律對有理數(shù)加法仍能適用，這種經(jīng)驗對于研究有理數(shù)乘法法則也是很有用的.這些都是正遷移，這種遷移能讓學(xué)生將面臨的新問題與已經(jīng)會的舊知識聯(lián)系起來學(xué)習(xí)，對后續(xù)的學(xué)習(xí)很有幫助.但是，有理數(shù)乘法與加法畢竟不同，在研究有理數(shù)的乘法法則時，有理數(shù)加法的法則也會對其造成負(fù)遷移.因為兩個法則都是從符號和絕對值兩部分進行規(guī)定，特別是符號部分，都分同號與異號兩種情形，而已經(jīng)學(xué)過的加法法則容易對剛學(xué)的乘法法則造成記憶上的干擾，正如情境B中生3的回答，正是將加法法則用于解決乘法問題的錯誤例子.我們知道，所有的新知識的學(xué)習(xí)都涉及遷移，先前的知識可以幫助或妨礙學(xué)生對新知識的學(xué)習(xí)，因此，我們教師要善于通過分析、研究新舊知識在內(nèi)容與方法上的聯(lián)系與區(qū)別，以幫助學(xué)生全面、準(zhǔn)確、深刻地了解所學(xué)知識內(nèi)容的本質(zhì)特征以及知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進新舊知識的積極遷移.

3.利用數(shù)軸通過蝸牛運動的實驗對生成有理數(shù)乘法法則的有效性

提出這一問題，主要源于有理數(shù)加法與有理數(shù)乘法本質(zhì)上的不同及學(xué)生的實際反饋.眾所周知，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識主要來源于兩個方面：一是已有知識，二是生活實踐.從本質(zhì)上看，相對而言，有理數(shù)加法與學(xué)生的生活經(jīng)驗聯(lián)系的更直接，也就更能體現(xiàn)一種直觀上的累積，所以有理數(shù)加法法則的生成，先從計算足球賽的凈勝球數(shù)等許多的生活實例引入，主要是借助數(shù)軸上一個物體的左右運動實驗直接得出的，直觀而有效.而有理數(shù)乘法則不同，它是在保持小學(xué)已有的乘法及其運算律不變的基礎(chǔ)上，對運算中數(shù)的范圍擴大到有理數(shù)后的情形.所以，有理數(shù)乘法法則的生成過程，從本質(zhì)上看就是數(shù)理上的探索過程，也就應(yīng)該考慮數(shù)學(xué)本身的繼承與發(fā)展.對于有理數(shù)乘法法則，學(xué)生相關(guān)的已有知識主要有：小學(xué)時學(xué)過的正數(shù)與正數(shù)相乘，正數(shù)與0相乘及乘法交換律、分配律，中學(xué)里剛學(xué)完的有理數(shù)的加法法則及其從符號和絕對值兩方面進行歸納的思路.本節(jié)教材也仍然借助數(shù)軸來研究有理數(shù)的乘法，兩節(jié)課中教師也都用到了，不同的是：情境A中，教師將該實驗作為法則生成的主要載體；情境B中，教師先引導(dǎo)學(xué)生回憶小學(xué)時已學(xué)的乘法知識，接著假設(shè)這些知識在有理數(shù)范圍內(nèi)仍能適用，巧妙地推理出運算結(jié)果，然后去猜想有理數(shù)乘法法則，再利用該實驗進行驗證，最后師生一起提煉出數(shù)系擴大到有理數(shù)范圍后的乘法法則.在課后，筆者也曾向?qū)W生了解他們對該實驗的評價，許多學(xué)生覺得實驗中既要分時間上的先后又要分方向上的左右，覺得很麻煩，用學(xué)生的原話概括：暈乎乎的！其實，不僅是學(xué)生覺得理解有困難，就是教師本身在演示過程中出現(xiàn)表述不清的現(xiàn)象也很常見.因此，筆者認(rèn)為本節(jié)教材中的數(shù)軸實驗只宜用于驗證.值得一提的是，在情境B的生成過程中，學(xué)生不僅收獲了法則的生成，同時更經(jīng)歷了一次很有意義的理性思維過程，其思維能力無疑也得到了提升.

總之，有理數(shù)乘法作為有理數(shù)基本運算之一，因其有負(fù)數(shù)的參與，學(xué)生對它的學(xué)習(xí)往往會產(chǎn)生許多問題.如果我們教師能在教學(xué)素材的選用上優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，在引導(dǎo)問題的啟發(fā)性上盡量讓學(xué)生感受和體驗知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程，在數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用上注重分類討論、數(shù)形結(jié)合、類比等思想方法的滲透，在知識的拓展與創(chuàng)新上重視知識的積極遷移，讓學(xué)生在探究中培養(yǎng)起理性思考能力，對學(xué)生后續(xù)研究有理數(shù)以及實數(shù)等的相關(guān)運算都將起到積極的作用.