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前言：大家記得這是多少次看拋物線了么？

題目：

如圖，長方形OABC的OA邊在x軸的正半軸上，OC在y軸的正半軸上，拋物線L經(jīng)過點(diǎn)B（1，4）和點(diǎn)E（3，0）兩點(diǎn)。

1、求拋物線的解析式；

2、若點(diǎn)D在線段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；

3、在題目2條件下，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使得△BDM的周長為最小，并求△BDM周長的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

4、在題目2條件下，從B點(diǎn)到E點(diǎn)這段拋物線的圖象上，是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使得△PAD的面積最大？若存在，請求出△PAD面積的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

分析：跟著問題找條件

題目1：

L含有2個(gè)未知系數(shù)：a，b，需要建立2個(gè)2元1次方程求解。為了建立2個(gè)方程，需要2個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，本題中即為B，E。如下

順手求出對(duì)稱軸x=3/2，頂點(diǎn)（3/2，9/2），與y軸交點(diǎn)（0，0），與x軸另一個(gè)交點(diǎn)（0，0）。

題目2：

問：點(diǎn)D坐標(biāo)怎么求？

答：點(diǎn)D滿足以下2個(gè)條件：

• 點(diǎn)D在線段OC上：這既告訴我們，D的橫坐標(biāo)為0，又給出了D的縱坐標(biāo)的取值范圍；

• 點(diǎn)D滿足“BD⊥DE，BD=DE”：我們翻譯這個(gè)條件即可得到關(guān)于點(diǎn)D坐標(biāo)的方程。

記D（0，d），則有

發(fā)現(xiàn)什么？“BD=DE”和“BD⊥DE”都可以解出d的值，且都滿足取值范圍。其中“BD=DE”解出了唯一同時(shí)滿足取值范圍、“BD=DE”和“BD⊥DE”的解d=1；

題目3：

問：△BDM周長的最小值怎么求？對(duì)應(yīng)M的坐標(biāo)又如何求？

答：只有2種方向

• 第1種，利用距離公式直接計(jì)算出3邊的長度（表達(dá)式），然后求解。不過，這個(gè)方向淺嘗即可發(fā)現(xiàn)“路難行”，面臨2個(gè)根號(hào)，每個(gè)根號(hào)下都是一個(gè)2次函數(shù)；

• 第2種，利用“三角形中2邊和大于等于第3邊，僅當(dāng)3點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)”。關(guān)于這點(diǎn)的利用技巧，之前的文章中已經(jīng)實(shí)踐過多次，也總結(jié)過好幾次。結(jié)合本題，再次贅述如下：讓動(dòng)點(diǎn)M的軌跡與靜點(diǎn)B，D連線有交點(diǎn)。如果沒有交點(diǎn)，則找到BM或DB的等長線段，比如B或D關(guān)于拋物線L對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)。

第一步：找BM（或DM）的等價(jià)線段

記B'與B關(guān)于L對(duì)稱軸x=3/2對(duì)稱，則B'（2，4）。由于M在對(duì)稱軸x=3/2上，則BM= B'M，△BDM周長=B'M+DM+BD，其中BD為定值√10；

第二步：找B'D與M軌跡（即x=3/2）的交點(diǎn)

記這個(gè)交點(diǎn)為M'，則有

第三步：說明B'M+DM的最小值為B'M'+DM'=B'D

在△B'DM中，B'M+DM≥B'D，僅當(dāng)M屬于B'D時(shí)取等號(hào)。所以B'M+DM≥B'M'+DM'=B'D。從而可知△BDM的最小值為B'D+BD=√13+√10；

題目4：

按照數(shù)學(xué)理論：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值與最小值！現(xiàn)在讓我們回到初中，回到現(xiàn)實(shí)，認(rèn)真分析。

問：是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使得△PAD的面積最大？

答：站在初中同學(xué)的角度，不知道！只能先求出△PAD的面積（表達(dá)式，是個(gè)函數(shù)），然后看這個(gè)表達(dá)式是否存在最大值。

問：如何求△PAD的面積（表達(dá)式）？

答：2大方向，其一是間接求解，找圖形組合，用其他面積替代；其二是直接求解。選哪個(gè)都可以，但建議本題優(yōu)選直接求解：容易想到。而間接法，卻沒有現(xiàn)成的替代圖形。

• 直接求：

選一組底與高。這個(gè)應(yīng)該沒有異議吧，大家選擇AD作底，只要再計(jì)算P到AD的高即可：過P作直線PH⊥AD，交點(diǎn)H。記P（p，y），則有

• 間接求：

連接PD，直線PD與x軸的交點(diǎn)有3中情形：

1、PD與x軸交于x負(fù)半軸：記交點(diǎn)為Q，則△PAD面積=△PAQ的面積－△ADQ面積；

2、PD與x軸平行，無交點(diǎn)：此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)（（3+√7）/2，1），以PD為底易求得△PAD面積=（3+√7）/4；

3、PD與x軸交于x正半軸：△PAD面積=△ADQ面積－△PAQ的面積。

然后比較3種情形的最大值。具體計(jì)算不再贅述，大家可以自己試試，計(jì)算量不一定大。

回顧：

今天的回顧與本文無關(guān)！

我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)數(shù)學(xué)？

• 按時(shí)間節(jié)點(diǎn)看，眼前來說要應(yīng)付中考，中期要應(yīng)付高考。如果您學(xué)理科，大學(xué)要應(yīng)付公共課考試，畢業(yè)還有可能應(yīng)付研究生考試。未來還有可能輔導(dǎo)自己的孩子；

• 按實(shí)際功用看，數(shù)學(xué)是數(shù)字化的哲學(xué)，體系的建立從知識(shí)點(diǎn)、技巧、思路、思維、哲學(xué)逐級(jí)搭建，你自己建到哪一層，就會(huì)有哪一層的體會(huì)，只有到了最高層才有資格說“數(shù)學(xué)沒用”。

如何喜歡數(shù)學(xué)？

• 很多時(shí)候，任何一種喜歡、熱愛，都是與成功密不可分的。你被家長逼著，或者自己選擇，就某一項(xiàng)技能、專業(yè)等等進(jìn)行學(xué)習(xí)，你進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，成功了一點(diǎn)點(diǎn)，你就會(huì)加一點(diǎn)點(diǎn)熱愛。你多喜歡一點(diǎn)點(diǎn)，就會(huì)繼續(xù)努力學(xué)習(xí)鞏固已有的成功、優(yōu)勢，你又會(huì)更進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)。如此循環(huán)。

• “成長快樂”還是“快樂成長”，千萬別被雞湯迷了眼，哪個(gè)牛逼大咖是快樂成長起來的？每天樂呵的，想學(xué)學(xué)，想練練，想玩玩，由著性子來，然后還能成長？

• NO PAIN NO GAIN，說的很明白了。PAIN本意是痛苦，翻譯成“付出”都太輕描淡寫了。

（微信公眾號(hào)：數(shù)雅。分享“找到解題方法”的方法！）