中考數(shù)學(xué)壓軸題解析2:拋物線、圓、等底等高三角形面積，他鄉(xiāng)巧遇費(fèi)馬點(diǎn)

題目呈現(xiàn)

分析解答

看完第三問(wèn)的解題過(guò)程，有同學(xué)會(huì)問(wèn)：y=--x這條直線有什么特殊性？為什么CN與之的交點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)呢？我們先來(lái)了解內(nèi)角都小于120°的任意三角形（舉銳角三角形為例）中費(fèi)馬點(diǎn)的找法。如圖4，分別以三角形的邊為邊，向外作等邊三角形，再連接三組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得到的交點(diǎn)P就是費(fèi)馬點(diǎn)。它在三角形內(nèi)。

如圖5所示，在最大角大于或等于120°的鈍角三角形中，按照?qǐng)D4的作法，我們發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)M在三角形外或與鈍角頂點(diǎn)重合。這時(shí)費(fèi)馬點(diǎn)P應(yīng)該是鈍角頂點(diǎn)C。因?yàn)镸A+MC＞AC,MC+MB＞CB,MC=0時(shí)PA+PB+PC的值最小。

現(xiàn)在可以回答那兩個(gè)問(wèn)題了。如圖6所示，直線CP是邊AB的垂直平分線，又是∠ACB的平分線，費(fèi)馬點(diǎn)在其上。這就正如本題第三問(wèn)中，y=--x這條直線平分二、四象限，OC=OB,所以CN與之的交點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)。

反思總結(jié)

本題第一問(wèn)很簡(jiǎn)單，也很常規(guī)，要求我們基本功要扎實(shí)。第二問(wèn)，利用圓周角性質(zhì)，由∠ABC=45°求出∠ADO=45°，進(jìn)而確定點(diǎn)D的坐標(biāo)是一個(gè)關(guān)鍵的跳板；等積變換也是本題的亮點(diǎn)之一。至于第三問(wèn)，綜合程度很高，涉及的小知識(shí)點(diǎn)很多，要求平時(shí)練題有一定拓展，深入思考理解，見多方能識(shí)廣。