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程鶚斯萊特要將波與粒子結(jié)合起來(lái)描述光子的想法是他的獨(dú)創(chuàng)，卻不是首創(chuàng)。在他之前，愛因斯坦就已經(jīng)為同樣的念頭糾結(jié)了好幾年。
1917年，愛因斯坦在他的輻射論文中提出光子有動(dòng)量，是“實(shí)實(shí)在在”的粒子。原子在輻射時(shí)只能往一個(gè)特定的方向發(fā)射一個(gè)光子。我們之所以沒(méi)法看到這樣的景象，是因?yàn)槿粘５墓庠礋o(wú)論多小都有著太多太多的原子在同時(shí)輻射。它們隨機(jī)地向四面八方發(fā)射光子，我們所看到的光便是一個(gè)球形的波。
這個(gè)解釋與玻爾后來(lái)在BKS論文中所用的手法一致，他們都是將宏觀世界的現(xiàn)象看作大樣本的微觀事件的綜合。但是，這并非一定是微觀事件的真實(shí)體現(xiàn)。所以玻-愛二者的思考區(qū)別在于：玻爾試圖論證微觀世界不遵從能量、動(dòng)量守恒律，認(rèn)為那只是宏觀統(tǒng)計(jì)的平均結(jié)果；而愛因斯坦說(shuō)的是微觀世界的粒子過(guò)程在統(tǒng)計(jì)平均后看起來(lái)會(huì)是宏觀的波動(dòng)。
雖然玻爾的假想很快被實(shí)驗(yàn)否定，但愛因斯坦也無(wú)法自圓其說(shuō)。他清楚，統(tǒng)計(jì)平均的解釋可以對(duì)付點(diǎn)光源的發(fā)光，卻無(wú)法適用光作為波動(dòng)的其它表現(xiàn)。尤其是楊氏1803年展示了光的干涉、衍射之后，光的波動(dòng)說(shuō)就已經(jīng)完全確定，導(dǎo)致牛頓的微粒說(shuō)銷聲匿跡。光作為粒子的運(yùn)動(dòng)無(wú)論有多大的樣本、如何地統(tǒng)計(jì)平均也不可能出現(xiàn)干涉和衍射。從普朗克到玻爾的20多年間，正是這一點(diǎn)是物理學(xué)界頑固地抗拒光子概念的最大理由。即使光是由單個(gè)、實(shí)在的粒子組成，它也必須以某種形式具備波動(dòng)性。這在經(jīng)典物理中沒(méi)有“對(duì)應(yīng)”，只能再度尋找新的理論。
與斯萊特后來(lái)的想法相似，愛因斯坦曾設(shè)想作為粒子的光伴隨有一個(gè)鬼魅般的場(chǎng)（ghost field）。與粒子在特定時(shí)刻只處在空間一個(gè)點(diǎn)相反，這個(gè)鬼場(chǎng)同時(shí)彌漫整個(gè)空間，遵從麥克斯韋方程。原子輻射時(shí)會(huì)產(chǎn)生這樣的場(chǎng)，以球面波傳播光。即發(fā)射的光子是在這個(gè)鬼場(chǎng)的引導(dǎo)下運(yùn)動(dòng)，其在空間某個(gè)點(diǎn)出現(xiàn)的可能性由鬼場(chǎng)在該點(diǎn)的強(qiáng)度決定。這樣，大量光子的集合會(huì)宏觀地呈現(xiàn)出鬼場(chǎng)作為電磁波的形狀和行為，包括干涉、衍射等波動(dòng)特征。
雖然構(gòu)想井井有條，愛因斯坦卻無(wú)法為這個(gè)概念賦予嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述。他沒(méi)有正式發(fā)表論文，只是在與洛倫茲、索末菲、埃倫菲斯特等朋友的信件往來(lái)中私下討論。所以，在當(dāng)時(shí)的學(xué)術(shù)界小圈子里，他的鬼場(chǎng)盡人皆知。
諾貝爾獎(jiǎng)也為愛因斯坦的生活、工作環(huán)境帶來(lái)正面變化。因?yàn)閺V義相對(duì)論的成功，在德國(guó)舉國(guó)上下將他認(rèn)作“德國(guó)物理學(xué)家”，萊納德、斯塔克等人的攻擊也隨之偃旗息鼓。他又有了可以專心學(xué)術(shù)的環(huán)境，但與十年前謀求量子化麥克斯韋方程一樣，他屢戰(zhàn)屢敗，在鬼場(chǎng)上也再度碰壁。于是，他又一次離開量子領(lǐng)域，轉(zhuǎn)戰(zhàn)統(tǒng)一場(chǎng)論，希望能取得比廣義相對(duì)論更為輝煌的成果。
然而，在1924年的夏天，他接連收到兩封不期而至的來(lái)信，將他的注意力又暫時(shí)地拉回到量子世界。
第一封信來(lái)自印度，作者是一位名叫玻色（Satyendranath Bose）的年輕物理學(xué)家。他出生于印度的加爾各答，其家境尚可，從小接受了良好的教育。由于印度被英國(guó)控制，玻色很難謀得像樣的好職位，只能混跡于三流學(xué)校。在學(xué)術(shù)上，他與同事一起翻譯愛因斯坦的著作，也自己發(fā)表過(guò)幾篇不受人注意的論文。
玻色
這一次，當(dāng)玻色投稿英國(guó)刊物的論文在審稿中被拒之后，他異想天開，直接給愛因斯坦寫信，請(qǐng)求他將英文稿件翻譯成德語(yǔ)，安排在德國(guó)著名的《物理學(xué)雜志》上發(fā)表。他在信中寫道：“我們素昧平生，但我提出這個(gè)請(qǐng)求時(shí)絲毫不帶躊躇。因?yàn)樵?jīng)從你的著述中獲益匪淺，我們都是你的學(xué)生?！?div style="height:15px;">
愛因斯坦經(jīng)常收到這類素昧平生的作者來(lái)信，他卻奇跡般地沒(méi)有忽略這封信，而是用他很不嫻熟的英文仔細(xì)閱讀了論文。在短短的兩頁(yè)紙中，玻色做到了愛因斯坦過(guò)去沒(méi)能做到的事：完全從光子出發(fā)推導(dǎo)出黑體輻射的普朗克定律。
愛因斯坦1917年在輻射論文中第一次推導(dǎo)出普朗克定律，那是借助玻爾的原子模型，通過(guò)輻射體與輻射場(chǎng)的熱平衡才獲得成功。黑體空腔內(nèi)部的輻射可以完全決定自己的平衡態(tài)狀況，沒(méi)必要依賴作為腔壁的原子。在普朗克之前，瑞利和愛因斯坦都曾只對(duì)空腔內(nèi)部的電磁波進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，推導(dǎo)出瑞利定律，揭示了經(jīng)典理論中的紫外災(zāi)難。
按照量子理論，空腔內(nèi)的輻射不再是連續(xù)分布的電磁波，而是不同頻率的光子。光子之間沒(méi)有相互作用，那是一個(gè)物理學(xué)家熟悉的理想氣體系統(tǒng)。用統(tǒng)計(jì)手段推導(dǎo)它的狀態(tài)輕而易舉。愛因斯坦和其他人都嘗試過(guò)，卻始終沒(méi)能得出普朗克定律而只能得到近似的維恩定律。
玻色聲稱他解決了這個(gè)問(wèn)題，愛因斯坦自然不會(huì)掉以輕心。
在瑞利和愛因斯坦最早的經(jīng)典推算中，他們通過(guò)數(shù)空腔內(nèi)電磁波能形成的駐波數(shù)目來(lái)計(jì)算各個(gè)頻率的自由度，然后根據(jù)能均分定理得出能量分布。理想氣體系統(tǒng)中相應(yīng)的是要數(shù)出光子所能有的狀態(tài)數(shù)目。就像一個(gè)盒子里有若干個(gè)小球，它們可以任意分布，不同的排列組合便是不同的狀態(tài)，需要一一計(jì)數(shù)。
愛因斯坦發(fā)現(xiàn)玻色在計(jì)數(shù)時(shí)耍了一個(gè)似乎不起眼的花招：如果將盒子里的兩個(gè)小球彼此交換位置，本來(lái)應(yīng)該是一個(gè)與原先不同的新狀態(tài)，即使兩個(gè)小球一模一樣。玻色則認(rèn)為這樣交換小球的位置會(huì)看不出區(qū)別，或者說(shuō)可以忽略二者的區(qū)別，也就是小球（光子）互相交換位置時(shí)不改變狀態(tài)。這似乎是一個(gè)非常低級(jí)的錯(cuò)誤，可是這樣一來(lái)，空腔內(nèi)光子所能有的狀態(tài)數(shù)目就大大減少了，最終的結(jié)果就出現(xiàn)了普朗克定律。
玻色的論文對(duì)這一關(guān)鍵步驟沒(méi)有作出解釋，只是一筆帶過(guò)。他后來(lái)承認(rèn)他當(dāng)時(shí)完全沒(méi)有意識(shí)到這有什么新奇之處。
愛因斯坦看出了玻色的戲法，一時(shí)卻也無(wú)法領(lǐng)悟其物理含義——玻色的推導(dǎo)“很優(yōu)雅但其實(shí)質(zhì)卻非常隱晦”。畢竟玻色由此推導(dǎo)出了普朗克定律，其中必有合理之處。他立即依照玻色的請(qǐng)求將稿件翻譯成德語(yǔ)，推薦給《物理學(xué)雜志》，并附上一段譯者注：“在我看來(lái)玻色對(duì)普朗克定律的推導(dǎo)標(biāo)志著一個(gè)重要的進(jìn)展。他采用的方法還能導(dǎo)致理想氣體的量子理論，我會(huì)另外提供具體信息?！庇捎谟袗垡蛩固怪魉]，玻色的論文立即被發(fā)表。
短短幾個(gè)星期之后，愛因斯坦完全明白了玻色算法背后的物理意義。他在自己“另外提供具體信息”的論文中表示，在量子世界中，粒子是“不可分辨”的：兩個(gè)同樣頻率的光子就是完全相同的光子，無(wú)法分辨彼此。將這樣的兩個(gè)光子互相交換位置，前后沒(méi)有任何區(qū)別，系統(tǒng)便不會(huì)改變狀態(tài)。
這又是一個(gè)在經(jīng)典物理中不存在“對(duì)應(yīng)”的、量子世界獨(dú)有的特性。愛因斯坦指出，這個(gè)不可分辨不僅僅是適用于作為輻射的光子，而是所有微觀粒子——電子、原子——屬于普遍性質(zhì)。以此來(lái)看，麥克斯韋、玻爾茲曼的統(tǒng)計(jì)理論只適用于可分辨粒子的經(jīng)典系統(tǒng)；在量子世界必須采用新的計(jì)數(shù)方法，即“玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)”。
愛因斯坦之所以如此斷言，在于他發(fā)現(xiàn)這個(gè)新的統(tǒng)計(jì)方法解決了另一個(gè)讓他頭疼的問(wèn)題。十幾年前，他通過(guò)對(duì)固體比熱的量子計(jì)算證明當(dāng)溫度趨于絕對(duì)零度時(shí)，系統(tǒng)的自由度將一個(gè)個(gè)被“凍結(jié)”，導(dǎo)致整體的熵趨于零。遺憾的是，他當(dāng)時(shí)的比熱計(jì)算只適用于低溫的固體、液體，而氣體尤其是理想氣體卻不遵循這一規(guī)律。
理想氣體是物理學(xué)中的一個(gè)理想化模型，其中的粒子沒(méi)有相互作用，也就不會(huì)像常規(guī)氣體那樣在低溫時(shí)發(fā)生相變而成為液體或固體。無(wú)論溫度如何降低，理想氣體的自由度都沒(méi)法被凍結(jié)，熵不會(huì)降為零。這違反了熱力學(xué)第三定律。雖然這只是現(xiàn)實(shí)中不存在的模型，但愛因斯坦卻一直放心不下。
他這時(shí)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，如果采用新的量子統(tǒng)計(jì)，理想氣體在溫度趨于零時(shí)會(huì)發(fā)生一個(gè)奇妙的相變：大量粒子將“凝聚”在一起，不再以單個(gè)的粒子存在。在絕對(duì)零度，所有的粒子都進(jìn)入這樣的一個(gè)共同狀態(tài)，不再有任何個(gè)體差異。這樣，系統(tǒng)的熵便等于零，完全符合熱力學(xué)第三定律。
這一在經(jīng)典世界中不存在對(duì)應(yīng)的量子奇跡，叫做“玻色-愛因斯坦凝聚”。整整70年后的，玻色-愛因斯坦凝聚終于在1995年被新一代的物理學(xué)家所證實(shí)，再一次凸顯了愛因斯坦非凡的物理思考及其卓越遠(yuǎn)見。
處理玻色來(lái)信之后不久，愛因斯坦又收到另一個(gè)小字輩的論文。有所不同，這一次的信來(lái)自近在咫尺的巴黎，是老朋友郎之萬(wàn)請(qǐng)求他幫忙定奪他的一個(gè)學(xué)生剛剛完成的博士論文。郎之萬(wàn)告訴說(shuō)，這篇論文很有點(diǎn)奇怪，當(dāng)初玻爾的原子模型也是很有點(diǎn)奇怪，他不敢輕易下結(jié)論。
在1911年第一屆索爾維會(huì)議上，與會(huì)物理學(xué)家沒(méi)有留意他們下榻的旅館里有一位19歲的法國(guó)小青年德布羅意（Louis de Broglie）。他當(dāng)時(shí)只是他哥哥的小跟班。比他大17歲的哥哥在郎之萬(wàn)指導(dǎo)下剛獲得博士學(xué)位，因?qū)熧p識(shí)，他被邀請(qǐng)擔(dān)任索爾維會(huì)議書記員。德布羅意不過(guò)是跟著他哥哥來(lái)看熱鬧。
兄弟倆出生顯赫，他們家族同時(shí)擁有法國(guó)公爵（duke）和德國(guó)王爵（prince）的世襲封號(hào)，三百多年來(lái)在政界出過(guò)多名部長(zhǎng)、外交官、將軍等，甚至還有過(guò)一位總理。德布羅意14歲時(shí)他父親去世，由兄長(zhǎng)負(fù)責(zé)撫養(yǎng)。
德布羅意的哥哥曾經(jīng)在海軍服役九年。因?yàn)樨?fù)責(zé)艦船之間的無(wú)線通訊而對(duì)科學(xué)發(fā)生了興趣。他違背家族意愿退伍，去法蘭西大學(xué)攻讀博士，還在自己家里修建了一個(gè)研究X射線的實(shí)驗(yàn)室。
德布羅意從小本來(lái)傾向政治文史，上大學(xué)時(shí)選修了歷史，但畢業(yè)時(shí)他卻開始厭倦歷史。他頻繁地在他哥哥的實(shí)驗(yàn)室里幫忙，進(jìn)而逐漸對(duì)物理產(chǎn)生了興趣。索爾維會(huì)議期間，每天晚上聽他哥哥眉飛色舞地描述會(huì)議內(nèi)容，更令他向往科學(xué)。興趣驅(qū)使他重返大學(xué)又修習(xí)了物理專業(yè)。
當(dāng)他再次畢業(yè)、按規(guī)定服兵役時(shí)，第一次世界大戰(zhàn)爆發(fā)了。他哥哥通過(guò)關(guān)系把他調(diào)到通訊部隊(duì)，一起駐扎在埃菲爾鐵塔下。在那里，德布羅意度過(guò)了四年時(shí)光，實(shí)踐了通過(guò)天線進(jìn)行無(wú)線通信，切身體驗(yàn)麥克斯韋電磁波的效用。與此同時(shí)，他鉆研了從哥哥那里得到的索爾維會(huì)議紀(jì)要。
德布羅意
及至戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)束，他已經(jīng)27歲，又去拜郎之萬(wàn)為師，攻讀物理博士。
受索爾維會(huì)議影響，德布羅意琢磨得最多的是他聽到的、讀到的量子問(wèn)題。導(dǎo)師郎之萬(wàn)是杰出的實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家，基本上不涉及理論研究。那時(shí)在巴黎也很難找到一個(gè)像樣的理論物理學(xué)家，他只能靠自己。
1923年，他終于有了一個(gè)新奇的想法：愛因斯坦揭示了光同時(shí)具備波和粒子的特征，那大概不會(huì)只是光的特別，應(yīng)該可以擴(kuò)展到其它所有的物質(zhì)。如果光波可以表現(xiàn)得如同粒子組成，那么，由粒子組成的電子束難道就不會(huì)表現(xiàn)得猶如波動(dòng)？
這是一個(gè)相當(dāng)樸素、簡(jiǎn)單的想法，但德布羅意的博士論文在數(shù)學(xué)上搞得相當(dāng)復(fù)雜，并用了相對(duì)論等一連串“重武器”。與玻色類似，他早前在法國(guó)期刊上發(fā)表了幾篇論文，都絲毫沒(méi)有引起注意。隨后，他一起匯總寫成博士論文。郎之萬(wàn)對(duì)這充滿數(shù)學(xué)公式的東西一頭霧水，只好讓德布羅意再打印一份，由他去找愛因斯坦裁決。
愛因斯坦只記得索爾維會(huì)議上的那個(gè)德布羅意，對(duì)來(lái)自他“小弟弟”的論文頗為好奇。他又一次表現(xiàn)出非凡耐心，花時(shí)間梳理名不見經(jīng)傳的新手的亂麻邏輯，從中發(fā)現(xiàn)了深藏的精華。
頻率是波動(dòng)的特征。普朗克提出的能量子概念首次將頻率與能量聯(lián)系起來(lái)。經(jīng)愛因斯坦推廣，光量子有能量和動(dòng)量，都與其頻率成正比。這是光從波“變成”粒子的途徑。作為粒子的電子沒(méi)有頻率，它的能量和動(dòng)量由其質(zhì)量和速度決定。德布羅意在這一點(diǎn)上把普朗克關(guān)系倒過(guò)來(lái)用，通過(guò)電子的能量、動(dòng)量計(jì)算出它在某個(gè)速度時(shí)所對(duì)應(yīng)的“頻率”。這樣一來(lái)，電子就從粒子“變成”了波。
接著，德布羅意把這個(gè)關(guān)系套用到玻爾的原子模型上，可以看到一個(gè)奇妙的圖像。當(dāng)一根琴弦被兩頭固定時(shí)，它只能演奏出幾個(gè)鮮明的曲調(diào)。那是來(lái)自琴弦上所能形成的駐波。電子繞原子核運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道是一個(gè)圓周，其周長(zhǎng)相當(dāng)于琴弦的固定長(zhǎng)度。在這個(gè)長(zhǎng)度上能形成的駐波數(shù)目同樣固定、有限：軌道的周長(zhǎng)必須是駐波波長(zhǎng)的整數(shù)倍。
德布羅意把電子在軌道上運(yùn)轉(zhuǎn)的速度換算成頻率和波長(zhǎng)，赫然發(fā)現(xiàn)玻爾規(guī)定的那些允許軌道正好滿足這個(gè)條件。在那些軌道上，與電子相應(yīng)的波首尾相連，像兩端固定的琴弦一樣形成穩(wěn)定的駐波。而軌道周長(zhǎng)對(duì)波長(zhǎng)的倍數(shù)正是玻爾引進(jìn)的第一個(gè)量子數(shù)。
電子在軌道上形成駐波的示意圖（中間是原子核，r是軌道半徑，λ是波長(zhǎng)）
至于在那些沒(méi)有電子的其它軌道上，則是因?yàn)殡娮拥南鄳?yīng)波長(zhǎng)與軌道周長(zhǎng)不“匹配”，電子不能在那里棲身，那里也就沒(méi)有穩(wěn)定的駐波。既然同時(shí)存在有駐波的電子軌道和無(wú)駐波的電子軌道，豈不正好對(duì)應(yīng)原子光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)。
玻爾當(dāng)初是根據(jù)之前尼科爾森的建議，采取了角動(dòng)量為普朗克常數(shù)整數(shù)倍的那些軌道為允許軌道，這并非是一個(gè)說(shuō)得過(guò)去的理由。德布羅意把電子的運(yùn)動(dòng)看作波動(dòng)，電子繞原子核的“公轉(zhuǎn)”就成了不隨時(shí)間變化的駐波。這是那些軌道穩(wěn)定性的第一個(gè)像樣的根據(jù)，一個(gè)源自幾何的論證。
愛因斯坦立即給郎之萬(wàn)回信，“德布羅意的論文令我非常佩服。他終于揭開了一個(gè)巨大面紗的一角?！?div style="height:15px;">
那年11月，德布羅意做論文答辯，專家組由法國(guó)最著名的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家組成，但其中沒(méi)有一個(gè)人能讀懂他的論文。由于他們都得知了愛因斯坦的熱情首肯，便輕而易舉地讓他通過(guò)了博士論文答辯。
與玻色一樣，德布羅意的論文給愛因斯坦極大啟發(fā)，引導(dǎo)他揭示量子世界更為意想不到的奇妙。年底，他給洛倫茲寫信報(bào)告，“我們認(rèn)識(shí)的那個(gè)德布羅意的小弟弟在畢業(yè)論文里針對(duì)玻爾-索末菲量子定則做了一個(gè)非常有意思的解釋。我相信這是解決我們這個(gè)最糟糕的物理謎團(tuán)中第一束微薄的曙光。我自己也發(fā)現(xiàn)了能支持他這個(gè)設(shè)想的證據(jù)?！?
