不知道大家有沒有發(fā)現(xiàn)?我們平時運用拋物線開口的性質,一般都只運用到開口方向的問題。很少用到拋物線開口大小的性質。那么你知道拋物線開口大小到底可以應用在哪里嗎?下面這道中考數(shù)學關于拋物線的壓軸題,就可以運用到拋物線開口大小的性質。不過這道題最難的一步,還是在求重疊部分的面積上。我們一起來看題:
如圖所示, 在平面直角坐標系中,二次函數(shù)y=a(x-2)2-1圖像的頂點為P,與x軸交點為A, B,與y軸交于點C, 連結BP并延長交y軸于點D.
(1)寫出點P的坐標;
(2)連接AP,如果△APB為等腰直角三角形,求a的值及點C, D的坐標;
(3)在(2)的條件下,連結BC, AC, AD,點E(0,b)在線段CD(端點CD除外)上,將△BCD繞點E逆時針方向旋轉90?,得到一個新三角形。設該三角形與△ACD重疊部分的面積為S,根據(jù)不同情況,分別用含b的代數(shù)式表示S,選擇其中一種情況給出解答過程,其它情況直接寫出結果。判斷當b為何值時,重疊部分的面積最大?寫出最大值.
分析:(2)第一小題是送分題:題目給了二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)=a(x-h)^2+k, 頂點坐標就是(h,k),而h=2, k=1,所以頂點坐標是P(2,-1).
(2)第二小題求a就可以運用到拋物線開口大小的性質了。注意,下面這個定理,課本上是沒有的。當拋物線在橫軸上的開口大小為2時,拋物線的二次項系數(shù)a=-k (k是頂點式中的參數(shù)). 這個定理是怎么來的呢?在老黃之前的視頻中有過部分介紹。等老黃有空,再專門寫一篇文章,證明給大家看。由于圖中AB=2,所以a=1. 不會用這個定理,則需要一個解題過程。可以根據(jù)韋達定理的拓展公式,xB-xA=2,代入公式就可能求a了。
C點的坐標和D點的坐標都是可以直接寫出來的。因為OC=OB=OD。當然,這里也可以有一個證明過程。因為在等腰直角三角形APB中,角ABP等于45度,所以直角三角形BOD也是等腰直角三角形。而點C的坐標則來自于拋物線的一般式,由一般式的參數(shù)c(就是常數(shù)項)可得。
(3)第三小題有三種情形,但分析時要寫成五種。分別包括0<=b<3, -1<=b<0和-3<b<-1,其中b=0和b=-1要單獨分析。
為了描述方便,需要記一些點,比如CD的旋轉對應邊與AC的交點F,交AD于H,BC的旋轉對應邊與y軸的交點G,BD的旋轉對應邊交AD于K,過F作y軸的垂線段FJ,過K作y軸的垂線段KL。
當0<b<3時,如下圖,重疊部分面積就是三角形CEF的面積。
當-1<b<0時,如下圖,重疊部分面積等于三角形ACD的面積減去三角形CFG的面積再減去三角形DEH的面積;
當-3<b<-1時,如下圖,重疊部分面積等于三角形DKG的面積減去三角形DEH的面積。
以下組織解題過程:【】中部分不需要寫在試卷中
解:(1)P(2,-1).
(2)AB=2, a=1.
C(0,3), D(0,-3).
解:(3)如圖, 記CD的旋轉對應邊C’D’交AC于F.
BC的旋轉對應邊B’C’交y軸于G.
當0<b<3時, ∵△C’EF∽△COB,∴EG=C’E=CE=3-b,即點G和點C重合.
∵EF//x軸, ∴EF=OA·CE/OC=(3-b)/3.
S=EF·CE/2=(3-b)^2/6,
當b=0時,S=3/2,
【當b<0時, D’在BD上, EG=ED’=ED=b+3,
CG=CD-DG=6-2EG=-2b,
記C’D’交AD于點H, 則
EH=OA·DE/OD=(b+3)/3,】
當-1<b<0時, 可設F(f, -3f+3),
過F作FJ⊥y軸于點J, 則FJ=OG-OJ=EG-OE-OJ,
即f=2b+3f, f=-b,
S=S△ACD-S△CFG-S△DEH=3-b^2-(b+3)^2/6=(-7b^2-6b+9)/6.】
當-1<b<0時,S=(-7b^2-6b+9)/6.
【當-3<b<-1時, 記B’D’交AD于點K,
可記K(k, 3k-3), 過K作KL⊥y軸于點L,則KL=OL+OG=OL+EG-OE,
即k=3-3k+b+3+b, 解得:k=(b+3)/2,
S=S△DKG-S△DEH=(b+3)^2/2-(b+3)^2/6=(b+3)^2/3.】
當-3<b<-1時, S=(b+3)^2/3.
綜上, 當b=-3/7時, S=12/7最大.
由于過程過長,所以能省略的全省略了。大家覺得這道題怎么樣呢?
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