四元數(shù)是最簡(jiǎn)單的超復(fù)數(shù)。 復(fù)數(shù)是由實(shí)數(shù)加上元素 i 組成，其中i^2 = -1 /,。 相似地，四元數(shù)都是由實(shí)數(shù)加上三個(gè)元素 i、j、k 組成，而且它們有如下的關(guān)系： i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 /, 每個(gè)四元數(shù)都是 1、i、j 和 k 的線性組合，即是四元數(shù)一般可表示為a + bi + cj + dk /,。
性質(zhì)與特點(diǎn)
四元數(shù)(Quaternions)是由
威廉·盧云·哈密頓(William Rowan Hamilton, 1805-1865)在1843年
愛(ài)爾蘭發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)概念。四元數(shù)的
乘法不符合交換律(commutative law)，故 它似乎破壞了科學(xué)知識(shí)中一個(gè)最基本的原則。
明確地說(shuō)，四元數(shù)是復(fù)數(shù)的不可交換延伸。如把四元數(shù)的集合考慮成多維實(shí)數(shù)空間的話(huà)，四元數(shù)就代表著一個(gè)
四維空間，相對(duì)於復(fù)數(shù)為二維空間。
四元數(shù)是除法環(huán)的一個(gè)例子。除了沒(méi)有乘法的交換律外，除法環(huán)與場(chǎng)是相類(lèi)的。特別地，乘法的結(jié)合律仍舊存在、非零元素仍有唯一的逆元素。
四元數(shù)形成一個(gè)在實(shí)數(shù)上的四維
結(jié)合代數(shù)（事實(shí)上是除法代數(shù)），并包括復(fù)數(shù)，但不與復(fù)數(shù)組成結(jié)合代數(shù)。 四元數(shù)（以及實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)）都只是有限維的實(shí)數(shù)結(jié)合除法代數(shù)。
四元數(shù)的不可交換性往往導(dǎo)致一些令人意外的結(jié)果，例如四元數(shù)的 n-階多項(xiàng)式能有多於 n 個(gè)不同的根。
四元數(shù)就是形如 ai+bj+ck+d 的數(shù)
a、b、c、d是實(shí)數(shù)
i^2=j^2=k^2=-1
ij=k ji=-k jk=i kj=-i ki=j ik=-j
(a^2+b^2+c^2+d^2)的平方根 稱(chēng)為四元數(shù)的模.
例子
假設(shè)：
<math>x = 3 + i /,</math>
<math>y = 5i + j - 2k /,</math>
那么：
<math>x + y = 3 + 6i + j - 2k /,</math>
<math>xy = /left( {3 + i} /right)/left( {5i + j - 2k} /right) = 15i + 3j - 6k + 5i^2 + ij - 2ik </math>
<math>= 15i + 3j - 6k - 5 + k + 2j = - 5 + 15i + 5j - 5k /,</math>
群旋轉(zhuǎn)
象在四元數(shù)和空間轉(zhuǎn)動(dòng)條目中詳細(xì)解釋的那樣，非零四元數(shù)的乘法群在R3的取實(shí)部為零的拷貝上以共軛作用可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)。單位四元數(shù)（
絕對(duì)值為1的四元數(shù)）的共軛作用，若實(shí)部為cos(t)，是一個(gè)角度為2t的轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸為虛部的方向。四元數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是：
非奇異表達(dá)（和例如歐拉角之類(lèi)的表示相比）
比
矩陣更緊湊（更快速）
單位四元數(shù)的對(duì)可以表示四維空間中的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)。
所有單位四元數(shù)的集合組成一個(gè)三維球S3和在乘法下的一個(gè)群（一個(gè)
李群）。S3是行列式為1的實(shí)正交3×3正交矩陣的群SO(3,R)的雙面覆蓋，因?yàn)槊績(jī)蓚€(gè)單位四元數(shù)通過(guò)上述關(guān)系對(duì)應(yīng)于一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)。群S3和SU(2)同構(gòu)，SU(2)是行列式為1的復(fù)酉2×2矩陣的群。令A(yù)為形為a + bi + cj + dk的四元數(shù)的集合，其中a, b, c和d或者都是整數(shù)或者都是分子為奇數(shù)分母為2的有理數(shù)。集合A是一個(gè)環(huán)，并且是一個(gè)格。該環(huán)中存在24個(gè)四元數(shù)，而它們是
施萊夫利符號(hào)為{3,4,3}的正二十四胞體的頂點(diǎn)。
以矩陣表示四元數(shù)
有兩種方法能以矩陣表示四元數(shù)，并以矩陣之加法、乘法應(yīng)用于四元數(shù)之加法、乘法。
第一種是以二階復(fù)數(shù)矩陣表示。若 h = a + bi + cj + dk 則它的復(fù)數(shù)形式為：
<math>/begin a-di & -b+ci // b+ci & /;/; a+di /end</math>
這種表示法有如下優(yōu)點(diǎn)：
所有復(fù)數(shù) (c = d = 0) 就相應(yīng)于一個(gè)實(shí)矩陣。
四元數(shù)的絕對(duì)值的平方就等于矩陣的行列式。
四元數(shù)的共軛值就等于矩陣的共軛轉(zhuǎn)置。
對(duì)于單位四元數(shù) (|h| = 1) 而言，這種表示方式給了四維球體和SU(2)之間的一個(gè)同型，而后者對(duì)于量子力學(xué)中的自旋的研究十分重要。（請(qǐng)另見(jiàn)
泡利矩陣）
第二種則是以四階實(shí)數(shù)矩陣表示：
<math>/begin/;/;a&-b&/;/;d&-c// /;/;b&/;/;a&-c&-d//-d&/;/;c&/;/;a&-b// /;/;c&/;/;d&/;/;b&/;/;a/end</math>
其中四元數(shù)的共軛等于矩陣的轉(zhuǎn)置。
歷史
四元數(shù)是由
哈密頓在1843年愛(ài)爾蘭發(fā)現(xiàn)的。當(dāng)時(shí)他正研究擴(kuò)展復(fù)數(shù)到更高的維次（復(fù)數(shù)可視為平面上的點(diǎn)）。他不能做到
三維空間的例子，但四維則造出四元數(shù)。根據(jù)哈密頓記述，他于10月16日跟他的妻子在
都柏林的皇家運(yùn)河（Royal Canal）上散步時(shí)突然想到 <math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 /,</math>Image:Quaternion Plague on Broom Bridge.jpg的方程解。之后哈密頓立刻將此方程刻在附近布魯穆橋（Brougham Bridge，現(xiàn)稱(chēng)為金雀花橋 Broom Bridge）。這條方程放棄了交換律，是當(dāng)時(shí)一個(gè)極端的想法（那時(shí)還未發(fā)展出向量和矩陣）。
不只如此，哈密頓還創(chuàng)造了向量的內(nèi)外積。他亦把四元數(shù)描繪成一個(gè)有序的四重實(shí)數(shù)：一個(gè)純量（a）和向量（bi + cj + dk）的組合。若兩個(gè)純量部為零的四元數(shù)相乘，所得的純量部便是原來(lái)的兩個(gè)向量部的純量積的負(fù)值，而向量部則為
向量積的值，但它們的重要性仍有待發(fā)掘。
哈密頓之后繼續(xù)推廣四元數(shù)，并出了幾本書(shū)。最后一本《四元數(shù)的原理》（Elements of Quaternions）于他死后不久出版，長(zhǎng)達(dá)八百多頁(yè)。
用途爭(zhēng)辯
即使到目前為止四元數(shù)的用途仍在爭(zhēng)辯之中。一些哈密頓的支持者非常反對(duì)奧利夫·亥維賽的向量
代數(shù)學(xué)和 Willard Gibbs 的向量
微積分的發(fā)展，以維持四元數(shù)的超然地位。對(duì)于三維空間這可以討論，但對(duì)于更高維四元數(shù)就失效了（但可用延伸如
八元數(shù)和柯利弗德代數(shù)學(xué)）。而事實(shí)上，在二十世紀(jì)中葉的科學(xué)和工程界中，向量幾乎已完全取代四元數(shù)的位置。
詹姆斯·克拉克·麥克斯韋曾經(jīng)在他的《電磁場(chǎng)動(dòng)力理論》（A Dynamical Theory of Electromagnetic Field）直接以20條有20個(gè)變量的微分方程組來(lái)解釋電力、磁力和電磁場(chǎng)之間的關(guān)系。某些早期的
麥克斯韋方程組使用了四元數(shù)來(lái)表述，但與后來(lái)亥維賽使用四條以向量為基礎(chǔ)的麥克斯韋方程組表述相比較，使用四元數(shù)的表述并沒(méi)有流行起來(lái)。
運(yùn)算
綜述
四元數(shù)運(yùn)算在電動(dòng)力學(xué)與廣義相對(duì)論中有廣泛的應(yīng)用。四元數(shù)可以用來(lái)取代
張量表示。有時(shí)候采用帶有復(fù)數(shù)元素之四元數(shù)會(huì)比較容易，導(dǎo)得結(jié)果不為除法代數(shù)之形式。然而亦可結(jié)合共軛運(yùn)算以達(dá)到相同的運(yùn)算結(jié)果。
此處僅討論具有實(shí)數(shù)元素之四元數(shù)，并將以?xún)煞N形式來(lái)描述四元數(shù)。其中一種是向量與純量的結(jié)合，另一形式兩個(gè)創(chuàng)建量(constructor)與雙向量(bivector；i、j與k)的結(jié)合。
定義兩個(gè)四元數(shù):
<math>q = a + /vec = a + bi + cj + dk</math>
<math>p = t + /vec = t + xi + yj + zk</math>
其中<math>/vec</math>表示矢量<b, c, d>，而<math>/vec</math>表示矢量<x, y, z>.
加、乘和一般函數(shù)
四元數(shù)加法p + q
跟復(fù)數(shù)、向量和矩陣一樣，兩個(gè)四元數(shù)之和需要將不同的元素加起來(lái)︰
<math>p + q = a + t + /vec + /vec = (a + t) + (b + x)i + (c + y)j + (d + z)k</math>
加法遵循實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的所有交換律和結(jié)合律。
四元數(shù)乘法pq
兩個(gè)四元數(shù)之間的非可換乘積通常被
格拉斯曼稱(chēng)為積，這個(gè)積上面已經(jīng)簡(jiǎn)單介紹過(guò)，它的完整型態(tài)是︰
<math>pq = at - /vec/cdot/vec + a/vec + t/vec + /vec/times/vec</math>
<math>pq = (at - bx - cy - dz) + (bt + ax + cz - dy)i + (ct + ay + dx - bz)j + (dt + za + by - xc)k /,</math>
由于四元數(shù)乘法的非可換性，pq并不等于qp。格拉斯曼積常用在描述許多其他代數(shù)函數(shù)。qp乘積的向量部分是:
<math>qp = at - /vec/cdot/vec + a/vec + t/vec - /vec/times/vec</math>
四元數(shù)點(diǎn)積 p · q
點(diǎn)積也叫做
歐幾里德內(nèi)積，四元數(shù)的點(diǎn)積等同于一個(gè)四維向量的點(diǎn)積。點(diǎn)積的值是p中每個(gè)元素的數(shù)值與q中相應(yīng)元素的數(shù)值的乘積的和。這是四元數(shù)之間的可換積，并返回一個(gè)標(biāo)量。
<math>p /cdot q = at + /vec/cdot/vec = at + bx + cy + dz</math>
點(diǎn)積可以用格拉斯曼積的形式表示:
<math>p /cdot q = /frac{p^*q + q^*p}</math>
這個(gè)積對(duì)于從四元數(shù)分離出一個(gè)元素有用。例如，i項(xiàng)可以從p中這樣提出來(lái)：
<math>p /cdot i = x</math>
四元數(shù)外積Outer(p,q)
歐幾里德外積并不常用; 然而因?yàn)橥夥e和內(nèi)積的格拉斯曼積形式的相似性.它們總是一同被提及:
<math>/operatorname(p,q) = /frac{p^*q - q^*p}</math>
<math>/operatorname(p,q) = a/vec - t/vec - /vec/times/vec</math>
<math>/operatorname(p,q) = (ax - tb - cz + dy)i + (ay - tc - dx + bz)j + (az - td - by + xc)k</math>
四元數(shù)偶積：Even(p,q)
四元數(shù)偶積也不常用，但是它也會(huì)被提到，因?yàn)樗推娣e的相似性。它是純對(duì)稱(chēng)的積；因此，它是完全可交換的。
<math>/operatorname(p,q) = /frac{pq + qp}</math>
<math>/operatorname(p,q) = at - /vec/cdot/vec + a/vec + t/vec</math>
<math>/operatorname(p,q) = (at - bx - cy - dz) + (ax + tb)i + (ay + tc)j + (az + td)k</math>
四元數(shù)叉積：p × q
四元數(shù)叉積也稱(chēng)為奇積。它和向量叉積等價(jià)，并且只返回一個(gè)向量值：
<math>p /times q = /frac{pq - qp}</math>
<math>p /times q = /vec/times/vec</math>
<math>p /times q = (cz - dy)i + (dx - bz)j + (by - xc)k</math>
四元數(shù)轉(zhuǎn)置：p−1
四元數(shù)的轉(zhuǎn)置通過(guò)p−1p = 1被定義。 它定義在上面的定義一節(jié)，位于屬性之下（注意變量記法的差異）。其建構(gòu)方式相同于復(fù)倒數(shù)(complex inverse)之構(gòu)造：
<math>p^ = /frac{p^*}{p/cdot p}</math>
一個(gè)四元數(shù)的自身點(diǎn)積是個(gè)純量。四元數(shù)除以一個(gè)純量等效于乘上此純量的倒數(shù)，而使四元數(shù)的每個(gè)元素皆除以此一除數(shù)。
四元數(shù)除法p−1q
四元數(shù)的不可換性導(dǎo)致了 p−1q 和 qp−1的不同。 這意味著除非p是一個(gè)標(biāo)量,否則不能使用q/p這一
符號(hào)。
四元數(shù)純量部：Scalar(p)
四元數(shù)的標(biāo)量部分可以用前面所述的點(diǎn)積來(lái)分離出來(lái)：
<math>1/cdot p = /frac{p + p^*} = a</math>
四元數(shù)向量部Vector(p)
四元數(shù)的向量部分可以用外積提取出來(lái)，就象用點(diǎn)
積分離標(biāo)量那樣：
<math>/operatorname(1, p) = /frac{p - p^*} = /vec = bi + cj + dk</math>
四元數(shù)模：|p|
四元數(shù)的絕對(duì)值是四元數(shù)到原點(diǎn)的距離。
<math>|p| = /sqrt{p /cdot p} = /sqrt{p^*p} = /sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}</math>
四元數(shù)符號(hào)數(shù)：sgn(p)
一復(fù)數(shù)之符號(hào)數(shù)乃得出單位圓上，一個(gè)方向與原復(fù)數(shù)相同之復(fù)數(shù)。四元數(shù)的符號(hào)數(shù)亦產(chǎn)生單位四元數(shù)：
<math>/sgn(p) = /frac{|p|}</math>
四元數(shù)幅角：arg(p)
幅角函數(shù)可找出一4-向量四元數(shù)偏離單位純量(即：1)之角度。此函數(shù)輸出一個(gè)純量角度。
<math>/arg(p) = /arccos/left(/frac{/operatorname(p)}{|p|}/right)</math>
