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本期內(nèi)容有哪些
聽(tīng)一聽(tīng)：“平行四邊形面積”之難
讀一讀：“平行四邊形面積”教學(xué)分析與啟示
賞一賞：數(shù)學(xué)小故事-變成兩個(gè)三角形
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本期內(nèi)容：郜舒竹．“平行四邊形面積”之難[J]．教學(xué)月刊，2020（2）：4-7.
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“平行四邊形面積”
教學(xué)分析與啟示
一般而言，平行四邊形面積可以用出入相補(bǔ)的原理歸結(jié)為長(zhǎng)方形的面積。平行四邊形面積教學(xué)在于培育推理能力和發(fā)展空間觀念。一般教學(xué)教學(xué)是將平行四邊形通過(guò)剪拼法，轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，進(jìn)而運(yùn)用長(zhǎng)方形面積推導(dǎo)出平行四邊形的面積。
教師在備課時(shí)候需要思考的問(wèn)題是：學(xué)生怎么會(huì)自覺(jué)想到通過(guò)高進(jìn)行割補(bǔ)，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化？學(xué)生怎么會(huì)想到平行四邊形面積不能用鄰邊相乘呢？學(xué)生怎么會(huì)想到所有的平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形呢？
學(xué)生怎么會(huì)自覺(jué)想到通過(guò)高進(jìn)行割補(bǔ)，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化？
一、聚焦說(shuō)理，自覺(jué)發(fā)生
有這樣一個(gè)經(jīng)典的平行四邊形面積的教學(xué)過(guò)程【1】：
第一步：直奔主題，真實(shí)解決問(wèn)題。老師會(huì)提問(wèn)：我們同學(xué)中都有這樣一個(gè)平行四邊形，你能自己想辦法， 算出紙上這個(gè)平行四邊形的面積是多少嗎？你能知道平行四邊形面積的計(jì)算方法可能是怎樣的嗎？
第二步：開(kāi)始教學(xué)，學(xué)生開(kāi)始測(cè)量每條邊的長(zhǎng)度，幾分鐘之后，學(xué)生開(kāi)始有了不同的答案，學(xué)生呈現(xiàn)了35平方厘米、28 平方厘米、32 平方厘米、 24 平方厘米、14 平方厘米。老師分別寫(xiě)到黑板上面。
第三步：深入說(shuō)理，說(shuō)明每一個(gè)答案的理由。教師引導(dǎo)學(xué)生一個(gè)個(gè)說(shuō)出答案的想法，教師一個(gè)個(gè)從黑板上擦掉了學(xué)生排除的答案。教師陸續(xù)把 “24” 擦了，又把 “32” 擦了，結(jié)合學(xué)生的回答， 教師板書(shū)：7× 4÷2=14（ 平方厘米），針對(duì)這樣的想法的學(xué)生，老師會(huì)這樣評(píng)價(jià)：“敢于發(fā)表自己的意見(jiàn)， 這一點(diǎn)就很好，很勇敢。這樣列式計(jì)算， 到底有沒(méi)有道理呢？”
第四步：對(duì)比思辨，兩種意見(jiàn)：一種認(rèn)為是28平方厘米，另一種認(rèn)為是35平方厘米?？纯吹降渍l(shuí)能說(shuō)服誰(shuí)！學(xué)生小組開(kāi)始激烈地爭(zhēng)論，學(xué)生匯報(bào)了排除法、平移法等說(shuō)明28平方厘米的正確。老師追問(wèn)：“為什么只有你們的28 平方厘米才是正確的呢？”學(xué)生思辨過(guò)程，排除了答案是14平方厘米。教師一步步引導(dǎo)學(xué)生思考，并且動(dòng)態(tài)演示了平行四邊形拉動(dòng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生觀察“不斷拉動(dòng)平行四邊形過(guò)程（見(jiàn)圖1），平行四邊形快要變成什么了，面積呢？”教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積與什么有關(guān)系？
第五步：一般推導(dǎo)。為什么平行四邊形面積計(jì)算等于底乘高呢？用字母表示過(guò)程。
【分析與啟示】
學(xué)生怎么會(huì)自覺(jué)想到通過(guò)高進(jìn)行割補(bǔ)，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化？實(shí)際上，學(xué)生真實(shí)想法是并不顯然能夠想到。因此，教師如果創(chuàng)造開(kāi)放的問(wèn)題空間，理解學(xué)生想到各種方法的真實(shí)想法，那么，學(xué)生有各種想法都是合情的。教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“說(shuō)理”，一步步深入下去，學(xué)生逐一呈現(xiàn)理由，并給出辯論機(jī)會(huì)。
聚焦說(shuō)理，邏輯推理培育自覺(jué)發(fā)生的實(shí)現(xiàn)，主要原因是：
第一，教師創(chuàng)造了人文的空間，激發(fā)了平行四邊形面積概念與推導(dǎo)研究的動(dòng)機(jī)，準(zhǔn)確把握學(xué)情，基于學(xué)情。
第二，平行四邊形面積一課對(duì)于培育學(xué)生推理能力有重要價(jià)值。其一，學(xué)生建構(gòu)了認(rèn)知的對(duì)比。郜舒竹教授認(rèn)為【2】，對(duì)于平行四邊形面積之難體現(xiàn)在長(zhǎng)方形和平行四邊的差異，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬一旦確定，則長(zhǎng)方形的形狀和面積大小隨之確定。一般的平行四邊形不具有這樣的確定性。一般平行四邊形和長(zhǎng)方形第二個(gè)差異，反映在面積與其一條邊的協(xié)變關(guān)系。平行四邊的一邊邊長(zhǎng)增加，其面積可以不變，甚至可能減少。如果教學(xué)關(guān)注了這些，學(xué)生的思維會(huì)獲得發(fā)展。因?yàn)?，學(xué)生是自己經(jīng)歷解決問(wèn)題，自己嘗試，平行四邊形面積可能是周長(zhǎng)之和、可能是周長(zhǎng)之和的一半、可能是底和高乘積，可能是底和高乘積一半等等。最終發(fā)現(xiàn)，平行四邊形面積和高和底有關(guān)。其二， “說(shuō)理”與 “轉(zhuǎn)化”法之間的聯(lián)系，教師如果更積極轉(zhuǎn)向先進(jìn)行“說(shuō)理”角度，其積極意義在于，平行四邊形面積教學(xué)積累了對(duì)合情推理的結(jié)論必須進(jìn)行驗(yàn)證的思維經(jīng)驗(yàn)。
有了上面的認(rèn)識(shí)，我們了解到，聚焦說(shuō)理，邏輯推理能力得以實(shí)現(xiàn)。那么，還有什么問(wèn)題呢？
學(xué)生怎么會(huì)想到平行四邊形面積不能用鄰邊相乘呢？
二、聚焦文化，自然接納
有這樣一個(gè)經(jīng)典的教學(xué)【3】
第一步：微視頻播放，老師提問(wèn)：“土地分配公平嗎？”
第二步：學(xué)生解決問(wèn)題，學(xué)生提出猜想，平行四邊形的面積s=ab。（a、b是相鄰兩條邊）。板書(shū)（平行四邊形面積S=ab）
第三步：驗(yàn)證，板書(shū)（驗(yàn)證）。教師提示小組要求，任務(wù)驅(qū)動(dòng)，圍繞學(xué)具，開(kāi)展探究。圍繞問(wèn)題，拼出的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與原來(lái)的平行四邊形的關(guān)系？你能推到平行四邊形面積計(jì)算公式嗎？
第四步：學(xué)生匯報(bào)割補(bǔ)方法。推導(dǎo)出平行四邊形計(jì)算公式。
通過(guò)驗(yàn)證，得出結(jié)論：平行四邊形的面積等于底乘高。教師補(bǔ)充：沿任意一條高都可以割補(bǔ)成長(zhǎng)方形。
第五步：評(píng)估與延伸，平行四邊形周長(zhǎng)不變，圖中的面積變小。（見(jiàn)圖2）
教師進(jìn)一步補(bǔ)充，我們的探究和古埃及數(shù)學(xué)家的探究方法有相似的情況。數(shù)學(xué)在不斷犯錯(cuò)和糾錯(cuò)中進(jìn)步。
第六步：結(jié)論應(yīng)用，一邊和對(duì)應(yīng)邊上的高乘積可以求平行四邊形面積。等底等高的平行四邊形面積相等變式練習(xí)。
【分析與啟示】
教學(xué)的過(guò)程蘊(yùn)含了融入數(shù)學(xué)史知識(shí)，其自然接納體現(xiàn)在于：
第一、接納兒童的錯(cuò)誤思想，與數(shù)學(xué)家的思想聯(lián)系。兒童把“平行四邊形面積”想成是鄰邊相乘，這是自然的，因?yàn)槠叫兴倪呅尾贿^(guò)是一個(gè)歪了的長(zhǎng)方形。相同在于，從形式上，都是四邊形；從特性上看，都滿(mǎn)足“對(duì)邊平行且相等”。【2】
通過(guò)數(shù)學(xué)史發(fā)現(xiàn)，我們看到任意古埃及面積計(jì)算的背景是尼羅河的泛濫，計(jì)算公式是任意四邊形的面積s=(a+c)/2/×（b+d）/2（a 、b、c、d都是四條邊的長(zhǎng)）。
第二、正是因?yàn)檫@樣，學(xué)生在小組合作中進(jìn)一步思考兩個(gè)核心問(wèn)題，使得研究過(guò)程變得深刻，變得讓學(xué)習(xí)過(guò)程更為自然。
因?yàn)?，以基本方法“割補(bǔ)法”看做邏輯起點(diǎn)，考慮到了學(xué)生空間觀念的發(fā)生發(fā)展過(guò)程。因?yàn)椋横槍?duì)面積的計(jì)算基本圖形，平行四邊形的面積是割補(bǔ)法。
有了上面的認(rèn)識(shí)，指向?qū)W生的全面發(fā)展。對(duì)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的基本想法，可以讓學(xué)生接納相關(guān)命題的差異。那么，還有什么問(wèn)題呢？
學(xué)生怎么會(huì)想到所有的平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形呢？
三、聚焦結(jié)構(gòu)，內(nèi)化關(guān)聯(lián)
（1）
調(diào)整序列結(jié)構(gòu)，內(nèi)化升華
“平行四邊形的面積”，除了剪拼法轉(zhuǎn)化，還有哪些教學(xué)的路徑，還可以調(diào)整教學(xué)的路徑【4】，將三角形面積教學(xué)放置在平行四邊形面積教學(xué)前面，從邏輯上并沒(méi)有沖突。這樣一來(lái)，它擴(kuò)充了將平行四邊形分割成兩個(gè)三角形， 以三形面積公式為基礎(chǔ)，通過(guò)“底×高÷2×2”推理得出平行四邊形面積公式。
可以呈現(xiàn)出一個(gè)新的教學(xué)【5】
第一步：復(fù)習(xí)引入，揭示課題。
第二步：自主轉(zhuǎn)化，經(jīng)歷公式的推導(dǎo)。（見(jiàn)圖3）
第三步：鞏固內(nèi)化。
后測(cè)研究表明【5】，讓學(xué)生自主探究，經(jīng)歷了平行四邊形的面積的公式轉(zhuǎn)化過(guò)程，溝通中實(shí)現(xiàn)了三角形面積和長(zhǎng)方形面積的梳理，長(zhǎng)方形學(xué)生更為熟悉，面積計(jì)算方法也比較簡(jiǎn)單，但轉(zhuǎn)化中長(zhǎng)寬和底高的對(duì)應(yīng)難度更大一些；三角形面積計(jì)算方法略顯復(fù)雜，但轉(zhuǎn)化中面積公式推導(dǎo)更為簡(jiǎn)單。
【分析與啟示】
學(xué)生怎么會(huì)想到所有的平行四邊形面積都可以用底乘高計(jì)算，如何實(shí)現(xiàn)？
教學(xué)的過(guò)程實(shí)踐了調(diào)整序列的構(gòu)想，其內(nèi)化習(xí)得體現(xiàn)在于：
第一、這種轉(zhuǎn)化的過(guò)程是一個(gè)顯現(xiàn)與發(fā)展割補(bǔ)方式多樣性有關(guān)。
第二、一種被稱(chēng)為斜而長(zhǎng)的平行四邊形，顯然可以得到面積公式的推導(dǎo)。因?yàn)闊o(wú)論是什么樣的平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)面積一樣的三角形，從而獲得公式的推導(dǎo)。
（2）
調(diào)整序列結(jié)構(gòu)，關(guān)聯(lián)升華
還有這樣的一個(gè)教學(xué)【“三角形面積和平行四邊形面積”（朱蕾，2015）】：
第一步：新舊聯(lián)系，引發(fā)思考
1.從一個(gè)長(zhǎng)方形（長(zhǎng)是5厘米，寬是3厘米）。求長(zhǎng)方形面積？如果在長(zhǎng)方形中剪出盡可能大的三角形，你會(huì)怎么剪？
第二步：深入研究，探究公式
1.初探三角形面積
學(xué)生剪出兩種三角形，剪出來(lái)的三角形面積會(huì)有什么？剪出來(lái)三角形面積和原來(lái)的長(zhǎng)方形的面積關(guān)系。學(xué)生可能會(huì)認(rèn)為是長(zhǎng)方形的一半。
2.二探三角形面積
一般三角形面積公式推導(dǎo)。
第三步：探究平行四邊形面積計(jì)算公式
1.探究平行四邊形面積公式
接著探究平四邊形面積，就是原來(lái)三角形的2倍。
2.小結(jié)，說(shuō)一說(shuō)三角形面積和平行四邊形面積公式有什么區(qū)別，為什么?
第四步：練習(xí)鞏固
1.應(yīng)用練習(xí)
2.回顧小結(jié)
3.課后延伸
【分析與啟示】
學(xué)生怎么會(huì)想到所有的平行四邊形面積都可以用底乘高計(jì)算，如何實(shí)現(xiàn)？
教學(xué)的過(guò)程實(shí)踐了調(diào)整序列的構(gòu)想，其關(guān)聯(lián)升華體現(xiàn)在于：
第一，教學(xué)序列調(diào)整，可以對(duì)長(zhǎng)方形的面積、平行四邊形面積、三角形面積進(jìn)行實(shí)質(zhì)上的對(duì)比。
第二，為什么要有結(jié)構(gòu)教？因?yàn)閷W(xué)生不僅知道如何進(jìn)行公式推導(dǎo)，而且也會(huì)進(jìn)行知識(shí)關(guān)聯(lián)。
第三，深入挖掘 “轉(zhuǎn)化”過(guò)程中所蘊(yùn)含要的思想方法。還可能提供給學(xué)生經(jīng)歷與體驗(yàn)運(yùn)用面積公式的機(jī)會(huì)，因而可能在回應(yīng)學(xué)生 “一種斜而長(zhǎng)的平行四邊形怎么轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形？”促進(jìn)與豐富學(xué)生對(duì)整個(gè)單元有概念性理解，以達(dá)到對(duì)平行四邊形面積深度理解上留下痕跡。
張奠宙先生認(rèn)為【6】，對(duì)于面積本質(zhì)的真正理解， 需要借助現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的測(cè)度理論。簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)意義上的積測(cè)量，其實(shí)質(zhì)是要對(duì)某些平面圖形指定一個(gè)合適的數(shù)，使之滿(mǎn)足三個(gè)基本特性：有限可加性、運(yùn)動(dòng)不變性和正則性。因此，無(wú)論平行四邊形面積如何教學(xué)，有說(shuō)理地教、有文化地教、有結(jié)構(gòu)地教，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生推理能力發(fā)展、空間觀念的培育、建模和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展。
參考文獻(xiàn)
［1］潘小明．?dāng)?shù)學(xué)思維的發(fā)展不是空洞的— “平行四邊形面積”教學(xué)實(shí)踐及思考[J]．人民教育，2012(12):34-37.
［2］郜舒竹．“平行四邊形面積”之難[J]．教學(xué)月刊，2020（2）：4-7.
［3］文萍， 岳增成．基于數(shù)學(xué)史的探究式教學(xué)研究[J]．教學(xué)月刊，2019(11):23-24.
［4］宋煜陽(yáng)．“面積公式推導(dǎo)”教學(xué)序列思考與實(shí)踐[J]．教學(xué)月刊，2019(4):6-11.
［5］方巧娟．應(yīng)用推廣與關(guān)系梳理—平行四邊形面積公式探索[J]．教學(xué)月刊，2019(4):18-20.
［6］張奠宙，鞏子坤，任敏龍，張園，殷文娣．小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理—核心概念的理解與呈現(xiàn)[M]．上海：上海教育出版社，2018：240．
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賞一賞：數(shù)學(xué)小故事
小林放學(xué)途中，突然聽(tīng)到書(shū)包里有哭泣聲。他打開(kāi)書(shū)包，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)幾何圖形在哭泣，如右圖。
“你怎么了？”小林奇怪地問(wèn)，“難道是其他伙伴不和你玩嗎?
“不是!”這個(gè)幾何圖抹著眼淚回答。
“那是為什么？”
“是你欺負(fù)我！”幾何圖形說(shuō)完后，哭聲更大了。
“我怎么欺負(fù)你了？”小林不解地問(wèn)，“你要跟我說(shuō)明白才行呀！”
幾何圖形抹干眼淚說(shuō)：“以前，我是一個(gè)四邊形，只要畫(huà)一條線(xiàn)就變成了兩個(gè)三角形?？墒?，你今天卻把我的拐角扯掉了，現(xiàn)在畫(huà)一條線(xiàn)再也不能變成兩個(gè)三角形！我好傷心！”
小林一聽(tīng)，“哦”原來(lái)是這樣。
“別哭了！我一定幫你！”小林安慰幾何圖形。
于是，小林開(kāi)始啟動(dòng)大腦，不一會(huì)兒，大腦里便蹦出一個(gè)好辦法，他把這個(gè)辦法說(shuō)給幾何圖形聽(tīng)，幾何圖形樂(lè)得呱呱叫。
你知道小林是怎么做的嗎？
答案：用一條線(xiàn)畫(huà)成一個(gè)長(zhǎng)方形，使得長(zhǎng)方形正好把缺角處覆蓋，然后得到兩個(gè)三角形。
審核人：藍(lán)海鵬 陳玲玲 陸肖麗
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