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打開數(shù)學(xué)，解開疑惑

基礎(chǔ)知識點(diǎn)：

   1.角的平分線分得的兩個角相等，角是一個軸對稱圖形，它的對稱軸是角平分線所在的直線；

   2.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等；

   3.角平分線性質(zhì)定理的逆定理：在角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的角平分線上。

   4.三角形的內(nèi)心：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等，這個交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心；

   5.等腰三角形底邊上的高（或中線）平分頂角（三線合一）。

一、根據(jù)對稱性，截長補(bǔ)短構(gòu)造全等

例題、已知：如圖，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求證：AB-AC=CD

解析：

方法一、截長構(gòu)造全等

      在線段AB上取點(diǎn)E，使得AC=AE

      易證△ACD≌△AED

      再證等腰△EBD即可

方法二、補(bǔ)短構(gòu)造全等

      延長AC到E，使得CE=CD

      ∴∠E=1/2∠ACD=∠B

      再證△ABD≌△AED即可

二、根據(jù)角平分線的性質(zhì)向角兩邊作垂線構(gòu)全等

例題、如圖，已知AB＞AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180°

解析：    由C點(diǎn)向∠BAF的兩邊作垂線

        HL證明Rt△BCN≌Rt△DCM

      由此得到∠ADC+∠B=180°

三、根據(jù)等腰三角形三線合一，作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形

   從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）

例題、如圖，∠BAD=∠DAC，AB＞AC,CD⊥AD于D，H是BC中點(diǎn)。求證：2DH=（AB-AC）

解析：    延長CD交AB于點(diǎn)E

   則可得等腰△ACE

   進(jìn)而得到DH為△CBE的中位線

   問題可證

四、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線構(gòu)造等腰三角形

有角平分線時，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。或通過一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如下圖所示

例題、如圖已知：在△ABC，∠B的角平分線與∠C的外角平分線相交于M，過M做BC的平行線分別交AB、AC于E、F。求證EF=BE-CF。

解析：           等腰△BEM與等腰△CFM

        得到BE=ME、CF=MF

        進(jìn)而得到EF=ME-MF=BE-CF

三角形內(nèi)外角平分線有關(guān)結(jié)論

結(jié)論1：如圖1，點(diǎn)D是△ABC兩個內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，則∠D=90°+ 1/2∠A.

結(jié)論2：如圖2，點(diǎn)D是△ABC兩個外角平分線的交點(diǎn)，則∠D=90°- 1/2∠A.

結(jié)論3：如圖3，點(diǎn)D是△ABC一個外角平分線和一個內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)，則∠D=1/2∠A.

結(jié)論4：如圖3，點(diǎn)D是△ABC一個外角平分線和一個內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)，則AD是△ABC的外角平分線.點(diǎn)DD是△ABC旁心（三角形旁切圓的圓心,簡稱為三角形旁心，它是三角形一個內(nèi)角的平分線和其他兩個內(nèi)角的外角平分線的交點(diǎn)；顯然，任何三角形都存在三個旁切圓、三個旁心）

結(jié)論5：如圖4，點(diǎn)D是△ABC一個內(nèi)角平分線和一邊的交點(diǎn)，則BA:BC=AD:CD

結(jié)論6：如圖5，點(diǎn)D是△ABC一個內(nèi)角平分線和一邊的交點(diǎn)，則BA:AC=BD:CD